Правило частного — это одно из основных правил дифференциального исчисления. Его применяют тогда, когда функция задана как частное двух других функций. То есть мы имеем выражение, в котором одна функция находится в числителе, а другая — в знаменателе.
На первый взгляд может показаться, что производную такой функции можно найти очень просто: отдельно продифференцировать числитель, отдельно знаменатель и разделить полученные результаты. Но здесь сразу возникает важный вопрос: действительно ли такой подход правильно описывает изменение всей дроби? На самом деле нет. Ведь при изменении аргумента меняется не только числитель, но и знаменатель. Именно поэтому для частного функций нужно отдельное правило, которое правильно учитывает изменение обеих частей дроби.
Правило Частного: Как Найти Производную Дроби
Пусть у нас есть две дифференцируемые функции \( u(x) \) и \( v(x) \). Рассмотрим функцию, заданную как их частное:
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
Здесь важно помнить одно условие: знаменатель не может быть равен нулю. То есть формула имеет смысл только в тех точках, где
\[
v(x)\ne 0.
\]
Почему это важно? Потому что если знаменатель равен нулю, само частное не определено. А значит, говорить о производной такой дроби в этой точке уже нельзя.
Тогда производная частного вычисляется по формуле
\[
y’=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Это и есть основная формула правила частного. Её также часто записывают через оператор дифференцирования:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Обратите внимание на порядок действий в числителе. Сначала берём производную числителя \( u'(x) \) и умножаем её на знаменатель \( v(x) \). Затем вычитаем числитель \( u(x) \), умноженный на производную знаменателя \( v'(x) \). А в знаменателе получаем квадрат исходного знаменателя.
Именно знак минус в числителе часто вызывает ошибки. Поэтому формулу лучше запоминать не механически, а через её структуру: изменение числителя учитывается первым слагаемым, а изменение знаменателя — вторым слагаемым, которое вычитается.
Вывод Формулы: Объяснение Через Определение Производной
Теперь подробно рассмотрим, откуда берётся формула правила частного. Для этого воспользуемся определением производной через предел. Пусть функция \( y \) задана как частное двух дифференцируемых функций:
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
По определению производной имеем
\[
y’=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
\]
Поскольку \( y(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \), то значение этой функции в точке \( x+h \) равно
\[
y(x+h)=\frac{u(x+h)}{v(x+h)}.
\]
Подставим эти выражения в определение производной:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)}
}{h}.
\]
На этом этапе мы получили правильное выражение для производной, но оно ещё не имеет вида формулы правила частного. Что нужно сделать дальше? Нужно преобразовать разность дробей в числителе. Для этого приведём их к общему знаменателю:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
\frac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}
{v(x+h)\cdot v(x)}
}{h}.
\]
Теперь деление на \( h \) можно записать так, чтобы \( h \) оказалось в знаменателе всей дроби:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)
}
{
v(x+h)\cdot v(x)\cdot h
}.
\]
На первый взгляд это выражение стало сложнее. Но именно сейчас мы можем подготовить его к появлению производных \( u'(x) \) и \( v'(x) \). Для этого нужно получить разности \( u(x+h)-u(x) \) и \( v(x+h)-v(x) \), потому что именно такие разности входят в определение производной.
Чтобы это сделать, добавим и вычтем одно и то же выражение:
\[
u(x)\cdot v(x).
\]
Это не меняет значение числителя, потому что мы одновременно добавляем и вычитаем одинаковое слагаемое. Однако такой шаг помогает разделить изменение дроби на две части. В одной части будет видно изменение функции \( u(x) \), а в другой — изменение функции \( v(x) \).
Итак, запишем:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)
}
{
v(x+h)\cdot v(x)\cdot h
}.
\]
Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы в первой группе был общий множитель \( v(x) \), а во второй — общий множитель \( u(x) \):
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
v(x)\cdot \bigl(u(x+h)-u(x)\bigr)
—
u(x)\cdot \bigl(v(x+h)-v(x)\bigr)
}
{
v(x+h)\cdot v(x)\cdot h
}.
\]
В этой записи уже хорошо видно, зачем мы добавляли и вычитали промежуточное выражение. Первая разность \( u(x+h)-u(x) \) показывает изменение функции \( u(x) \), а вторая разность \( v(x+h)-v(x) \) показывает изменение функции \( v(x) \). То есть мы специально преобразовали числитель так, чтобы получить две разности, которые затем дадут две производные.
Далее нужно аккуратно распределить множитель \( h \). Он стоит в общем знаменателе, поэтому его можно перенести к каждой разности отдельно. Другими словами, мы переписываем выражение так, чтобы образовались два разностных отношения: одно для функции \( u(x) \), а другое — для функции \( v(x) \).
Поэтому имеем:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{1}{v(x+h)\cdot v(x)}\cdot
\left(
v(x)\cdot \frac{u(x+h)-u(x)}{h}
—
u(x)\cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h}
\right).
\]
Теперь рассмотрим каждый элемент отдельно. Дробь
\[
\frac{u(x+h)-u(x)}{h}
\]
является разностным отношением для функции \( u(x) \). Поэтому, когда \( h\to 0 \), эта дробь стремится к производной \( u'(x) \):
\[
\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x).
\]
Аналогично дробь
\[
\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
\]
является разностным отношением для функции \( v(x) \). Поэтому при \( h\to 0 \) имеем
\[
\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}=v'(x).
\]
Остаётся обратить внимание на множитель \( v(x+h) \) в знаменателе. Поскольку функция \( v(x) \) дифференцируема, она непрерывна в точке \( x \). Поэтому при \( h\to 0 \) значение \( v(x+h) \) стремится к \( v(x) \):
\[
v(x+h)\to v(x).
\]
Теперь можем перейти к пределу во всём выражении:
\[
y’=
\frac{1}{v(x)\cdot v(x)}\cdot
\left(
v(x)\cdot u'(x)-u(x)\cdot v'(x)
\right).
\]
Поскольку \( v(x)\cdot v(x)=\bigl(v(x)\bigr)^2 \), запишем результат короче:
\[
y’=
\frac{
v(x)\cdot u'(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{
\bigl(v(x)\bigr)^2
}.
\]
Теперь используем обычное свойство умножения: \( v(x)\cdot u'(x)=u'(x)\cdot v(x) \). Поэтому эту же формулу можно записать в стандартном виде:
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{
\bigl(v(x)\bigr)^2
}.
\]
Итак, окончательно получаем формулу правила частного:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Таким образом, правило частного непосредственно следует из определения производной через предел. Главный шаг в выводе заключается в том, чтобы правильно преобразовать числитель и получить две разности: одну для функции \( u(x) \), а вторую для функции \( v(x) \). Именно поэтому в окончательной формуле появляются два слагаемых в числителе, между которыми стоит знак минус: одно учитывает изменение числителя, а другое — изменение знаменателя.
Правило Частного: Практика Нахождения Производных
После формулы и её вывода важно увидеть, как правило частного работает в реальных вычислениях. Ведь сама формула становится намного понятнее тогда, когда мы несколько раз применяем её шаг за шагом. Далее рассмотрим типичные примеры, в которых функция задана как частное двух других функций.
Пример 1. Найти производную функции \( y=\frac{x^2+1}{3\cdot x-5} \)
В этом примере у нас есть частное двух функций. В числителе стоит выражение \( x^2+1 \), а в знаменателе — выражение \( 3\cdot x-5 \). Для удобства обозначим
\[
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=3\cdot x-5.
\]
Тогда функцию можно записать так:
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
По правилу частного имеем
\[
y’=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Сначала найдём производную числителя:
\[
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Далее найдём производную знаменателя:
\[
v'(x)=(3\cdot x-5)’=3.
\]
Теперь подставим найденные производные в формулу правила частного:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot (3\cdot x-5)-(x^2+1)\cdot 3
}
{(3\cdot x-5)^2}.
\]
Раскроем скобки в числителе:
\[
y’=
\frac{
6\cdot x^2-10\cdot x-3\cdot x^2-3
}
{(3\cdot x-5)^2}.
\]
Приведём подобные слагаемые и получим окончательный ответ:
\[
y’=
\frac{
3\cdot x^2-10\cdot x-3
}
{(3\cdot x-5)^2}.
\]
Пример 2. Найти производную функции \( y=\frac{x^3-2\cdot x}{\sqrt{x}} \)
Здесь функция задана как частное многочлена и корневой функции. В числителе имеем выражение \( x^3-2\cdot x \), а в знаменателе — \( \sqrt{x} \). Обозначим
\[
u(x)=x^3-2\cdot x,\qquad v(x)=\sqrt{x}.
\]
Тогда
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
Найдём производную числителя:
\[
u'(x)=(x^3-2\cdot x)’=3\cdot x^2-2.
\]
Теперь найдём производную знаменателя. Поскольку \( v(x)=\sqrt{x} \), то
\[
v'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
По правилу частного имеем
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Подставим найденные выражения:
\[
y’=
\frac{
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
—
(x^3-2\cdot x)\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}
}
{(\sqrt{x})^2}.
\]
Поскольку \( (\sqrt{x})^2=x \), получим
\[
y’=
\frac{
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
—
\frac{x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Далее работаем только с алгебраическим упрощением полученного выражения. Само правило частного уже применено, а теперь нужно аккуратно привести дроби к удобному виду.
Первое слагаемое в числителе большой дроби приведём к знаменателю \( 2\cdot \sqrt{x} \):
\[
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
=
\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Тогда имеем
\[
y’=
\frac{
\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)}{2\cdot \sqrt{x}}
—
\frac{x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Объединим дроби в числителе:
\[
y’=
\frac{
\frac{
2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)-(x^3-2\cdot x)
}
{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Раскроем скобки:
\[
y’=
\frac{
\frac{
6\cdot x^3-4\cdot x-x^3+2\cdot x
}
{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Приведём подобные слагаемые:
\[
y’=
\frac{
\frac{
5\cdot x^3-2\cdot x
}
{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Деление на \( x \) даёт
\[
y’=
\frac{5\cdot x^3-2\cdot x}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}.
\]
Теперь сократим числитель и знаменатель на \( x \):
\[
y’=
\frac{5\cdot x^2-2}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Итак, окончательный ответ имеет вид
\[
y’=
\frac{5\cdot x^2-2}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
В этом примере важно помнить, что функция содержит \( \sqrt{x} \). Поэтому, если мы работаем с действительными числами, корректно рассматривать эту функцию только при \( x>0 \).
Пример 3. Найти производную функции \( y=\frac{x^2}{\sin(x)} \)
В этом случае числителем является степенная функция \( x^2 \), а знаменателем — тригонометрическая функция \( \sin(x) \). Обозначим
\[
u(x)=x^2,\qquad v(x)=\sin(x).
\]
По правилу частного имеем
\[
y’=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Найдём производную числителя:
\[
u'(x)=(x^2)’=2\cdot x.
\]
Теперь найдём производную знаменателя:
\[
v'(x)=(\sin(x))’=\cos(x).
\]
Подставим эти производные в формулу:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \sin(x)-x^2\cdot \cos(x)
}
{(\sin(x))^2}.
\]
Итак, окончательно имеем
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \sin(x)-x^2\cdot \cos(x)
}
{\sin^2(x)}.
\]
Пример 4. Найти производную функции \( y=\frac{e^x}{\ln(x)} \)
Здесь имеем частное показательной функции и натурального логарифма. В числителе стоит \( e^x \), а в знаменателе — \( \ln(x) \). Обозначим
\[
u(x)=e^x,\qquad v(x)=\ln(x).
\]
Сначала найдём производную числителя. Поскольку производная \( e^x \) равна самой функции, имеем
\[
u'(x)=(e^x)’=e^x.
\]
Теперь найдём производную знаменателя:
\[
v'(x)=(\ln(x))’=\frac{1}{x}.
\]
По правилу частного имеем
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Подставим найденные производные:
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot \ln(x)-e^x\cdot \frac{1}{x}
}
{(\ln(x))^2}.
\]
В числителе можно вынести общий множитель \( e^x \):
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot \left(\ln(x)-\frac{1}{x}\right)
}
{(\ln(x))^2}.
\]
Это уже правильный ответ. Но иногда его удобно записать без дроби в скобках. Для этого приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\[
\ln(x)-\frac{1}{x}
=
\frac{x\cdot \ln(x)-1}{x}.
\]
Тогда получим
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot (x\cdot \ln(x)-1)
}
{
x\cdot (\ln(x))^2
}.
\]
Итак, окончательный ответ можно записать так:
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot (x\cdot \ln(x)-1)
}
{
x\cdot (\ln(x))^2
}.
\]
Здесь стоит помнить, что натуральный логарифм \( \ln(x) \) определён для положительных значений аргумента. Поэтому при работе с действительными числами нужно учитывать условие \( x>0 \).
Пример 5. Найти производную функции \( y=\frac{x^2+1}{\cos(2\cdot x)} \)
В этом примере функция также задана как частное двух функций. Но знаменатель является сложной функцией, поэтому при нахождении его производной нужно быть особенно внимательными. Обозначим
\[
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=\cos(2\cdot x).
\]
Тогда
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
Найдём производную числителя:
\[
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Теперь найдём производную знаменателя:
\[
v'(x)=(\cos(2\cdot x))’.
\]
Здесь нужно использовать правило дифференцирования сложной функции. Внешней функцией является косинус, а внутренней — выражение \( 2\cdot x \). Поэтому
\[
(\cos(2\cdot x))’=-\sin(2\cdot x)\cdot (2\cdot x)’.
\]
Поскольку \( (2\cdot x)’=2 \), то
\[
v'(x)=-2\cdot \sin(2\cdot x).
\]
Теперь применим правило частного:
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Подставим все найденные выражения:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)
—
(x^2+1)\cdot \bigl(-2\cdot \sin(2\cdot x)\bigr)
}
{(\cos(2\cdot x))^2}.
\]
Теперь учтём, что перед вторым произведением стоит минус, а сама производная знаменателя тоже имеет минус. Поэтому в результате получим плюс:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)
+
2\cdot (x^2+1)\cdot \sin(2\cdot x)
}
{(\cos(2\cdot x))^2}.
\]
Окончательно можно записать:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)
+
2\cdot (x^2+1)\cdot \sin(2\cdot x)
}
{\cos^2(2\cdot x)}.
\]
Этот пример показывает важный момент: правило частного помогает найти производную всей дроби, но для производной числителя или знаменателя иногда нужно дополнительно использовать другие правила дифференцирования. Здесь таким правилом является правило для сложной функции.
Что Читать Дальше: Полезные Темы для Продолжения
После правила частного стоит перейти к другим правилам дифференцирования. Они часто сочетаются в одной задаче, поэтому постепенное изучение этих тем поможет лучше понимать весь процесс нахождения производных.
- Степенное правило: Формула, вывод, примеры — В статье будет объяснено, как находить производные степенных функций и применять это правило в типичных задачах.
- Правило цепочки: Формула, вывод, примеры — Материал поможет разобраться, как находить производные сложных функций шаг за шагом.
- Правило произведения: Формула, вывод, примеры — В статье будет идти речь о производной произведения двух функций и правильном порядке применения формулы.
Правило Частного: Проверка Формулы Через Программирование
Если вам нравится программирование, попробуйте превратить изученное правило частного в небольшой вычислительный эксперимент. Блок-схема ниже показывает алгоритм, который вычисляет производную заданной функции в выбранной точке двумя способами: аналитически по готовой формуле и численно методом центральной разности.
А дальше всё зависит от вас: можно реализовать этот алгоритм на Pascal, Python, C++, JavaScript или любом другом языке, который вам нравится. Разве не интересно увидеть, как формула из математического анализа превращается в рабочую программу и даёт результат, который можно проверить вычислением?
