Правило цепочки — одна из самых важных тем дифференциального исчисления, поскольку именно оно позволяет находить производную сложной функции. Когда одна функция зависит от другой, обычных правил уже недостаточно. Тогда возникает естественный вопрос: как правильно продифференцировать такое выражение и при этом не потерять связь между его частями? Именно здесь и помогает правило цепочки. Оно объясняет, как изменение внутреннего выражения влияет на изменение всей функции. Поэтому в этой статье мы рассмотрим основную формулу, подробно проследим её вывод и увидим, как она работает на практике.
Правило Цепочки: Формула для Сложной Функции
Пусть дана сложная функция
\[
y=f(g(x)).
\]
В таком случае её производная вычисляется по формуле
\[
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Это и есть основная формула правила цепочки. Она означает, что сначала нужно найти производную внешней функции, оставив внутреннее выражение без изменений, а затем умножить результат на производную внутренней функции. Иначе говоря, если функция состоит из двух вложенных частей, то при дифференцировании нужно учитывать изменение каждой из них.
Здесь особенно важно не путать внешнюю и внутреннюю функции. В записи \( y=f(g(x)) \) внутренней является функция \( g(x) \), потому что именно она стоит внутри. Внешней является функция \( f \), потому что она применяется к результату \( g(x) \). Именно поэтому в формуле сначала появляется \( f'(g(x)) \), а уже затем множитель \( g'(x) \).
Почему в этой формуле стоит именно произведение? Потому что изменение всей функции происходит в два связанных этапа. Сначала изменяется внутреннее выражение \( g(x) \), а уже через это изменение меняется значение внешней функции \( f \). Итак, правило цепочки — это не просто удобный приём. Оно отражает сам механизм изменения сложной функции.
Иногда эту же формулу записывают и в таком виде:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}, \qquad u=g(x).
\]
Такая запись часто удобна в начале изучения темы, потому что она наглядно показывает промежуточную переменную. Кроме того, она помогает лучше увидеть последовательность действий. Сначала мы дифференцируем внешнюю функцию по переменной \( u \), а затем умножаем на производную \( u \) по \( x \). По смыслу это та же самая формула, просто записанная в более наглядной форме.
Шаг за Шагом: Вывод Формулы Через Предел
Теперь рассмотрим, откуда берётся эта формула. Для этого воспользуемся определением производной через предел. Пусть
\[
H(x)=f(g(x)).
\]
Тогда производная функции \( H(x) \) по определению равна
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{H(x+h)-H(x)}{h}.
\]
Подставим сюда выражение для \( H(x) \). Тогда получим
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}.
\]
На этом этапе мы уже получили верное выражение для производной сложной функции. Однако оно ещё не записано в виде знакомой формулы. Поэтому нужно выполнить такое преобразование, которое позволит отдельно увидеть изменение внешней функции и отдельно — изменение внутренней.
Чтобы это сделать, умножим выражение под знаком предела на дробь
\[
\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}.
\]
Эта дробь равна единице, поэтому значение выражения не меняется. Зачем выполняется такое преобразование? Дело в том, что такое преобразование позволяет выделить два множителя, один из которых затем превратится в производную внешней функции, а второй — в производную внутренней. Именно на этом шаге начинает ясно проявляться структура будущей формулы.
Итак, имеем
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\left(
\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot
\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}
\right).
\]
Теперь перегруппируем множители:
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\left(
\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}
\cdot
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\right).
\]
В таком виде уже хорошо виден смысл каждого множителя. Второй множитель
\[
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\]
является разностным отношением для функции \( g(x) \). Поэтому при \( h\to 0 \) он переходит в производную внутренней функции:
\[
\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x).
\]
Следовательно, можем записать
\[
H'(x)=\left(
\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}
\right)\cdot g'(x).
\]
Теперь обратим внимание на первый множитель. В числителе стоит приращение функции \( f \), а в знаменателе — приращение её аргумента. Однако аргументом функции \( f \) здесь является не просто \( x \), а выражение \( g(x) \). Именно поэтому удобно ввести новое обозначение:
\[
\Delta u=g(x+h)-g(x).
\]
Тогда первый множитель можно переписать так:
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}.
\]
Почему такой переход корректен? Потому что при \( h\to 0 \) значение \( x+h \) стремится к \( x \), а значит, и приращение \( g(x+h)-g(x) \) тоже стремится к нулю. То есть
\[
\Delta u\to 0.
\]
Это означает, что мы фактически переходим от приращения переменной \( x \) к приращению аргумента внешней функции. Поэтому то же самое выражение можно записать уже так:
\[
\lim_{\Delta u\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}.
\]
Но это и есть производная функции \( f \) в точке \( g(x) \). Следовательно,
\[
\lim_{\Delta u\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}=f'(g(x)).
\]
Возвращаясь к предыдущей записи, получаем
\[
H'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Поскольку \( H(x)=f(g(x)) \), окончательно имеем
\[
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Таким образом, формула правила цепочки выведена из определения производной через предел. Как видим, эта формула появляется не случайно. Она естественно возникает тогда, когда мы внимательно прослеживаем, как изменяется сложная функция через изменение её внутренней и внешней частей.
Правило Цепочки: Подробный Разбор Примеров
Теперь, когда основная формула уже рассмотрена и выведена, стоит перейти к практике. Именно на конкретных примерах лучше всего видно, как работает это правило и как правильно распознавать внутреннюю и внешнюю функции. В каждом случае удобно действовать последовательно: сначала определить внешнюю функцию, затем внутреннюю, после этого найти их производные и только потом записывать окончательный ответ.
Пример 1. Найти производную функции \( y=(3\cdot x+1)^5 \)
В этом примере мы имеем сложную функцию. Внешней функцией является возведение в пятую степень, а внутренней — выражение \( 3\cdot x+1 \). Для удобства введём обозначение
\[
u=3\cdot x+1.
\]
Тогда функция примет более простой вид:
\[
y=u^5.
\]
Теперь найдём производную внешней функции по переменной \( u \):
\[
\frac{dy}{du}=5\cdot u^4.
\]
После этого найдём производную внутренней функции:
\[
\frac{du}{dx}=3.
\]
Применяем правило цепочки:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=5\cdot u^4\cdot 3.
\]
Возвращаемся к переменной \( x \):
\[
y’=5\cdot (3\cdot x+1)^4\cdot 3=15\cdot (3\cdot x+1)^4.
\]
Итак,
\[
y’=15\cdot (3\cdot x+1)^4.
\]
Пример 2. Найти производную функции \( y=\sqrt{2\cdot x^2-7} \)
Здесь тоже дана сложная функция. Внешняя функция — квадратный корень, а внутренняя — выражение \( 2\cdot x^2-7 \). Запишем
\[
u=2\cdot x^2-7.
\]
Тогда
\[
y=\sqrt{u}.
\]
Теперь найдём производную внешней функции:
\[
\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u}}.
\]
Далее найдём производную внутренней функции:
\[
\frac{du}{dx}=4\cdot x.
\]
Применим правило цепочки:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u}}\cdot 4\cdot x.
\]
Возвращаемся к переменной \( x \):
\[
y’=\frac{1}{2\cdot \sqrt{2\cdot x^2-7}}\cdot 4\cdot x.
\]
Упростим выражение:
\[
y’=\frac{4\cdot x}{2\cdot \sqrt{2\cdot x^2-7}}=\frac{2\cdot x}{\sqrt{2\cdot x^2-7}}.
\]
Итак,
\[
y’=\frac{2\cdot x}{\sqrt{2\cdot x^2-7}}.
\]
Пример 3. Найти производную функции \( y=\sin(5\cdot x^3) \)
В этом случае внешней функцией является синус, а внутренней — выражение \( 5\cdot x^3 \). Поэтому обозначим
\[
u=5\cdot x^3.
\]
Тогда
\[
y=\sin(u).
\]
Производная внешней функции:
\[
\frac{dy}{du}=\cos(u).
\]
Производная внутренней функции:
\[
\frac{du}{dx}=15\cdot x^2.
\]
Теперь применим правило цепочки и получим:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
=\cos(u) \cdot 15\cdot x^2.
\]
Возвращаемся к исходному аргументу:
\[
y’=\cos(5\cdot x^3)\cdot 15\cdot x^2.
\]
Итак,
\[
y’=15\cdot x^2\cdot \cos(5\cdot x^3).
\]
Пример 4. Найти производную функции \( y=e^{x^2+4\cdot x} \)
Здесь внешней функцией является показательная функция, а внутренней — квадратный трёхчлен \( x^2+4\cdot x \). Обозначим
\[
u=x^2+4\cdot x.
\]
Тогда
\[
y=e^u.
\]
Производная внешней функции:
\[
\frac{dy}{du}=e^u.
\]
Производная внутренней функции:
\[
\frac{du}{dx}=2\cdot x+4.
\]
По правилу цепочки получаем
\[
\frac{dy}{dx}=e^u\cdot (2\cdot x+4).
\]
Вернёмся к переменной \( x \):
\[
y’=e^{x^2+4\cdot x}\cdot (2\cdot x+4).
\]
Итак,
\[
y’=(2\cdot x+4)\cdot e^{x^2+4\cdot x}.
\]
Пример 5. Найти производную функции \( y=\ln(x^2-3\cdot x+2) \)
Здесь внешняя функция — натуральный логарифм, а внутренняя — квадратный трёхчлен \( x^2-3\cdot x+2 \). Обозначим
\[
u=x^2-3\cdot x+2.
\]
Тогда
\[
y=\ln(u).
\]
Производная внешней функции:
\[
\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}.
\]
Производная внутренней функции:
\[
\frac{du}{dx}=2\cdot x-3.
\]
Теперь применим правило цепочки:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot(2\cdot x-3).
\]
Возвращаемся к исходному выражению:
\[
y’=\frac{1}{x^2-3\cdot x+2}\cdot(2\cdot x-3).
\]
Итак,
\[
y’=\frac{2\cdot x-3}{x^2-3\cdot x+2}.
\]
Следующие Материалы: Что Стоит Прочитать Дальше
После темы о правиле цепочки вполне естественно перейти к другим базовым правилам дифференцирования, которые очень часто используют в практических задачах. Именно эти материалы помогут лучше понять, как работают производные в более сложных выражениях и как сочетать несколько правил в одном решении.
- Степенное правило: Формула, доказательство, примеры — В этой статье пойдёт речь о производной степенных функций, логике формулы и её применении в типовых учебных задачах.
- Правило произведения: Формула, доказательство, примеры — Здесь будет рассмотрено, как находить производную произведения двух функций и как правильно использовать это правило на практике.
- Правило частного: Формула, доказательство, примеры — В этом материале будет показано, как вычислять производную частного функций и на что стоит обращать внимание при решении задач.
Правило Цепочки: От Формулы к Собственной Программе
Правило цепочки полезно не только при ручном нахождении производных, но и в программировании, когда нужно исследовать поведение функции численными методами. Если вам интересно объединить математический анализ с написанием кода, попробуйте реализовать алгоритм из приведённой блок-схемы на своём любимом языке программирования и проверить, как на практике находятся критические точки для функции \( y=\sin(x^2-4\cdot x) \). Это хорошая возможность увидеть, как теоретическая формула производной превращается в последовательность вычислений, условий и логических проверок. Именно так математическая идея переходит в полноценную программу.
