Мітки: розв’язати систему

Розв’язок системи лінійних рівнянь використовуючи метод обертань

Метод Гаусса являється не єдиним методом який для розв’язку системи рівнянь використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Існує ще два методи, які можна віднести до категорії методів виключення невідомих, а саме метод обертань та метод відображень. Обидва ці методи базуються на представленні матриці qr_rozklad_matruci51 у вигляді добутку ортогональної матриці qr_rozklad_matruci52 та верхньої трикутної матриці qr_rozklad_matruci45. Нагадаємо, що матриця qr_rozklad_matruci52 називається ортогональною, якщо для неї виконується наступна умова: QR розклад матриці або qr_rozklad_matruci2.

Отже, перейдемо до розгляду методу обертань. Для цього, знову-таки, запишемо систему лінійних рівнянь наступного виду:

qr_rozklad_matruci3

Зазначимо, що даний метод, як і метод Гаусса, складається з прямого і оберненого ходу.

Читати далі

Метод найшвидшого спуску (градієнтний метод) для випадку системи лінійних рівнянь

Нехай потрібно знайти чисельний розв’язок системи рівнянь використовуючи метод найшвидшого спуску (градієнтний метод). Для цього, систему (1) перепишемо у наступному вигляді:

або в матрично-векторній формі , де – матриця коефіцієнтів при невідомих системи (1); – вектор-стовпець вільних члені; – вектор-стовпець невідомих.

Читати далі

Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод оберненої матриці

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими :

Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі , де – матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1), – вектор-стовпець вільних членів, – вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці відмінний від нуля (), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці .

Читати далі

Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня (відноситься до категорії точних чисельних методів) використовується для знаходження розв’язку систем рівнянь, з симетричною матрицею коефіцієнтів при невідомих, тобто для систем виду:

де . Процес відшукання розв’язку за даним методом складається з двох етапів. Перший етап (прямий хід): виходячи з того, що – симетрична матриця, то її можна представити у вигляді добутку двох взаємно транспонованих між собою трикутних матриць: , де

Перемноживши і , отримаємо деяку матрицю, яку прирівнюємо до матриці . В результаті отримаємо формули, для знаходження невідомих :

Читати далі

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв’язок:

Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:

Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто . Нехай це буде елемент (даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером , обчислюємо множники:

Читати далі