Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод Гаусса з вибором головного елемента в середовищі програмування Delphi

Знаходження розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь являється однією з основних задач лінійної алгебри, а метод Гаусса (також називають методом послідовного виключення невідомих) – одним з найпоширеніших методів для рішення систем такого виду. Даний метод відомий в різних модифікаціях, серед яких виділяють метод Гаусса з вибором головного елемента.

Метод головних елементів також заснований на приведенні матриці системи до трикутного вигляду. Проте, на відміну від класичного методу Гаусса, в методі головних елементів алгоритм приведення матриці до такого вигляду дещо відрізняється. На прершому кроці, серед елементів матриці системи вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпчику вільних членів. Нехай це буде елемент, який знаходиться в i-му рядку та j-й колонці (головний елемент). Далі, виключаємо з усіх рівнянь системи крім рівняння під номером i, невідому Xj. В результаті отримуємо матрицю, j-й стовпець якої складається з нульових елементів. Викрисливши з розгляду рядок і колонку в яких міститься головний елемен переходимо до нової матриці, яка складається з меншої на одиницю кількості рядків і колонок.

Читати далі

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв’язок:

Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:

Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто . Нехай це буде елемент (даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером , обчислюємо множники:

Читати далі

Метод Гаусса. Розв’язок системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за методом Гаусса (метод послідовного виключення змінних) знаходиться в два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми – прямий хід методу Гаусса. На другому етапі, використовуючи систему трикутної форми, знаходимо значення невідомих величин (обернений хід методу Гаусса).

Прямий хід: нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Нехай (ведучий елемент), цього можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на отримаємо:

Читати далі

Розв’язок СЛАР методом Жордана-Гаусса в середовищі програмування Delphi

Програма знаходить рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь довільній розмірності методом Жордана-Гаусса. В основу алгоритму даного методу покладено ідею приведення матриці коефіцієнтів до діагонального вигляду. Слід зазначити, що перетворення, які здійснюються для приведення матриці коефіцієнтів до такого вигляду, необхідно проводити і для елементів стовпця вільних членів. В результаті виконання даного алгоритму, елементи стовпця вільних членів міститимуть значення, які являтимуться шуканим розв’язком системи. Більш детальну інформацію про метод Жордана-Гаусса можна знайти за посиланням розв’язок СЛАР методом Жордана-Гаусса.

Після запуску програми перед Вами з’явитися робоче вікно програми, в якому, на сам перед, необхідно вказа розмірність системи (оскільки система розміру n на n потрібно ввести тільки одне число).

Метод Жордана-Гаусса на Delphi

Інтерфейс програми, яка для розв’язку СЛАР використовує алгоритм методу Жордана-Гаусса

Далі, заповнюємо матрицю коефіцієнтів та стовпець вільних членів (зображені у вигляді компонентів TStringGrid) відповідними даними, вибираємо модифікацію методу Жордана-Гагусса, після чого натискаємо кнопку “Розв’язати систему рівнянь”.

Читати далі