Обчислення довжини дуги кривої за допомогою визначеного інтеграла

Сьогодні розглянемо ще одну задачу, яка як і задача обчислення площі плоскої фігури та задача обчислення об’ємів тіл, відноститься до категорії найважливіших геометричних задач, що вирішуються методами інтегрального числення, а саме задачу знаходження довжини дуги кривої.

Для цього, припустимо, що в прямокутній системі координат задано неперервну криву , для якої необхідно знайти довжину дуги , яка розташована в інтервалі між  та .

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком

Відмітимо, що розв’язок даної задачі почнемо поділом дуги  точками з абсцисами на частин. На наступному кроці поєднаємо дані точки відрізками , довжини яких позначимо через  відповідно. В результаті виконання даного кроку, ми отримали ламану лінію , вписану в дугу . Довжина даної ламаної складається з довжин відрізків , тобто:

Читати далі

Малюємо графік функції однієї змінної в середовищі програмування delphi

Графік функції доцільно зображувати у вигляді ламаної лінії, яка з’єднує точки, що лежать на графіку. Для того, щоб така кусковолінійна апроксимація давала хороший результат, необхідно, щоб відстань між точками ламаної лінії була достатньо малою.

Для побудови графіка по заданому аналітичному опису функції необхідно обчислити масив значень аргументу і масив відповідних значень функції. Крок зміни аргументу залежить від кількості точок на які розбивають діапазон зміни аргументу і обчислюється за наступною формулою:

Побудова графіка функції

де Побудова графіка функції – крок зміни аргумента; Побудова графіка функції – максимальне значення аргумента; Побудова графіка функції – мінімальне значення аргумента; Побудова графіка функції – задана кількість точок графіка.

Наступним кроком алгоритму побудови графіка є обчислення масиву значень функції Побудова графіка функції, та визначення його мінімального і максимального значення. Дані виличини необхідні для проведення масштабування.

Читати далі

Мінімізація функції методами других порядків (метод Ньютона)

У методах другого порядку при пошуку мінімуму використовують інформацію про функцію та її похідні до другого порядку включно. До цієї групи відносять метод Ньютона, в основі якого лежить квадратична апроксимація, яку отримують шляхом розкладу функції метод Ньютона в ряд Тейлора і відкидаючи члени третього і більш високих порядкув:

Метод Ньютона

де Метод Ньютона – квадратна матриця (матриця Гессе), елементами якої є частинні похідні другого порядку функції optumizacija_metodom_njytona4 в точці Метод Ньютона і які можна обчислити за наступною формулою:

Метод Ньютона

Далі, для визначення напрямку пошуку точки мінімуму за методом Ньютона, замінимо в виразі (1) Метод Ньютона на Метод Ньютона і Метод Ньютона на Метод Ньютона. В результаті отримаємо:

Читати далі

Програма апроксимації таблично заданої функції методом найменших квадратів

На практиці доволі часто виникає необхідність знайти функціональну залежність між величинами x та y, які отримані в результаті деякого експерименту. Для вирішення поставленої задачі була створена програма в середовищі Delphi, яка використовуючи апроксимацію (наближення) функції методом найменших квадратів, знаходить деяку функцію, значення якої мало відрізняються від експерементальних даних.

Інтерфейс програми "Апроксимація функції методом найменших квадратів"

Інтерфейс програми “Апроксимація функції методом найменших квадратів”

Дана форма включає в себе: таблицю в яку заносять експкркментальні дані; список, в який виводяться коефіцієнти апроксимуючого многочлена; графік многочлена; поле вибору, в якому вказуємо степінь многочлена.

Читати далі

Рівномірне наближення функцій методом найменших квадратів

Нехай в результеті деякого експеременту (наукового чи інженерного) отримано систему точок Апроксимація функції методо найменших квадратів. Необхідно знайти наближену функцію (емпіричну формулу) Апроксимація функції методом найменших квадратів, значення якої при Апроксимація функції методом найменших квадратів мало відрізняються від заданих експерементальних даних Апроксимація функції методом найменших квадратів. Для знаходження такої функції скористаємось методом найменших квадратів.

Будемо вважати, що емпірична формула являє собою многочлен степені m (де m<n):

Апроксимація функції методом найменших квадратів

деАпроксимація функції методом найменших квадратів – невідомі параметри. Задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає достатньо добре наближення до таблично заданої функції. Для того, слідуючи методу найменших квадратів, запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок Апроксимація функції методом найменших квадратів.

Читати далі