Розв’язок алгебраїчних рівнянь методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера

Для знаходження розв’язку алгебраїчних рівнянь степінь яких перевищує два можна також застосувати метод послідовних наближень з використанням схеми Горнера для ділення лівої частини рівняння на , де – дійсний корінь рівняння. У методі послідовних наближень, що застосовуються при вирішенні рівнянь такого типу, відшукується послідовність чисел , яка збігається до числа , яке є коренем рівняння. Ми будемо вважати хорошим наближенням до кореня , якщо залишок від ділення лівої частини рівняння на досить малий. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього в рівнянні

відбираємо три останніх члена і знаходимо розв’язок отриманого квадратного рівняння . Якщо корені цього рівняння дійсні, то перерходимо до рішення рівняння , після чого, за перше наближення кореня рівняння (1) приймаємо розв’язок даного рівняння, тобто:

Читати далі

Знаходження найкоротших шляхів в графі методом Шімбелла

Завдяки своєму широкому застосуванню, теорія про знаходження найкоротших шляхів в графі останнім часом інстенсівно розвивається і використовується в різних сферах діяльності, наприклад, для знаходження оптимального матршрута між двома об’єктами на місцевості (найкоротший шлях від будинку до університету), для знаходження оптимального матршрута при перевезеннях, в системах автопілота, в системах комутації інформаційних пакетів в мережі Internet тощо. Найбільш поширені методи визначення зазначених шляхів діляться на дві категорії. Це  індексні та матричні методи.

В основу індексних методів покладено принцип індексації, тобто принцип присвоєння вершинам графа деяких індексів, значення яких змінюються в процесі вирішення. Ці величини в результаті реалізації алгоритму визначають довжину шляху від вихідної до заданої вершини. До індексних методів належать методи Дейкстри, метод Беллмана-Форда, метод Мура та інші.

Всі ж матричні методи пов’язані з побудовою матриці суміжності, елементами якої є довжини відповідних ребер графа. Найкоротші шляхи, в даному випадку, знаходяться послідовним перетворенням цієї матриці. До цих методів належить розглядуваний нижче метод Шімбелла та метод Оттермана.

Читати далі

Топологічне сортування орієнтованого графа методом видалення вершини-джерела

Нагадаємо, що за посиланням топологічне сортування вершин графа нами була розглянута одна з основних задач, що виникає при роботі з орієнтованими графами та один з методів для її рішення.

Задача про топологічне сортуванна графа

Топологічне сортування графа методом видалення вершини-джерела

Сьогодні, для розв’язку задачі такого типу, застосуємо дещо інший алгоритм, заснований на безпосередній реалізації методу зменшення розміру задачі, а якщо бути більш точним, то зменшенням розміру на одиницю.

Основна суть даного алгоритму полягаєв в тому, що на кожній з його ітерацій, здійснюється визначення вершини-джерела орієнтованого графа що залишився (джерелом називається вершина в яку не входить жодне ребро), і, в подальшому, видалення його з усіма, що виходять з нього, ребрами. Якщо таких вершин декілька, довільним чином вибирається одна з них. Порядок видалення таким чином вершин, дає рішення задачі про топологічне сортування. Відмітимо, що якщо на деякому кроці виявиться, що для орієнтованого графа що залишився, вершини-джерела не існує, то задача про тополігічне сортування розв’язків немає.

Читати далі

Застосування методу Крилова для знаходження власних векторів матриці

Метод Крилова, як і метод Данилевського, дає можливість достатньо просто знайти власні вектора матриці, якщо коефіцієнти характеристичного полінома та його корені визначені. Продемонструємо це і для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний многочлен  матриці , має різні корені .

Отже, нехай – вектори, використовувані в методі Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор за власними векторами матриці отримаємо:

де – деякі коефіцієнти.

Звідси, враховуючи, що , отримаємо:

Нехай,  – довільна система многочленів. Тоді, складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами з (3) та в силу співвідношень (1) і (2), знаходимо:

Читати далі

Обчислення власних векторів матриці методом Данилевського

Розглянутий в параграфі Обчислення власних значень матриці метод Данилевського дає можливість визначати не тільки всі власні значення матриці , а і всі її власні вектори, при умові, що відповідні їм власні значення являються відомими. Покажемо, яким чином це реалізується. Отже, нехай – власне значення матриці , а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса .

Знайдемо власний вектор матриці , який відповідає власному значенню . Для цього, запишемо лінійне рівняння наступного вигляду: . Звідси або у матрично-векторній формі:

Перемноживши матриці, отримаємо систему для визначення координат власного вектора :

Система (3) – однорідна. Рішення її може бути знайдене в такий спосіб. Покладемо . Тоді, починаючи з останнього рівняння, послідовно отримаємо:

Читати далі