{"id":907,"date":"2025-02-23T10:14:01","date_gmt":"2025-02-23T10:14:01","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=907"},"modified":"2026-07-18T13:02:56","modified_gmt":"2026-07-18T13:02:56","slug":"metod-runge-kutta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/metod-runge-kutta.html","title":{"rendered":"\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0428\u0430\u0433\u043e\u043c: \u041a\u0430\u043a \u041e\u043d \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u041f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435?"},"content":{"rendered":"<p>\u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u043d\u0435\u0440\u0435\u0434\u043a\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439\u00a0<a title=\"\u041e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9E%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener\">\u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/a>, \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0438\u0448\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c. \u041e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0445 \u043c\u043e\u0449\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 &#8212; \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430. \u041e\u043d \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0447\u044c \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0431\u0435\u0437 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0441\u0448\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u0432. \u041d\u043e \u0432 \u0447\u0451\u043c \u0436\u0435 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0430\u043c \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430?<\/p>\n<h2>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0418\u0434\u0435\u044f<\/h2>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024050 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method1.jpg\" alt=\"\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430\" width=\"65\" height=\"15\" \/><\/p>\n<p>\u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435\u043c <em>y(x<sub>0<\/sub>)=y<sub>0<\/sub><\/em>. \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 <em>[a, b]<\/em>. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u043d\u0430 <em>n<\/em> \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u0433\u0434\u0435 <em>h=(b-a)\/n<\/em>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f <em>y<\/em>, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439: <em>x<sub>i<\/sub>=x<sub>0<\/sub>+i\u22c5h<\/em> (\u0434\u0435 <em>i=1,2,3,&#8230;,n<\/em>; <em>x<sub>0<\/sub>=a<\/em>; <em>x<sub>n<\/sub>=b<\/em>).<\/p>\n<p>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f <em>y<sub>0<\/sub><\/em> \u043a <em>y<sub>1<\/sub><\/em>, <em>y<sub>2<\/sub><\/em> \u0438 \u0442\u0430\u043a \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435. \u041a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <em>\u0394y<sub>i<\/sub><\/em>, \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024052 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method2.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430\" width=\"81\" height=\"13\" \/><\/p>\n<p>\u0410 \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0451\u0442\u0441\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e<em> \u0394y<sub>i<\/sub><\/em>? \u0412\u043e\u0442 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e\u0435!<\/p>\n<h2>\u0420\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u041a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b: \u041a\u0430\u043a \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0394y<sub>i<\/sub>?<\/h2>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <em>\u0394y<sub>i<\/sub><\/em>, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <em>y(x)<\/em> \u0432 \u0440\u044f\u0434 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u043c \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b <em>h<\/em>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <em>y(x)<\/em> \u0432 <em>x<sub>i<\/sub><\/em> \u0434\u043e <em>x<sub>i<\/sub>+h<\/em>, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024054 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method3.jpg\" alt=\"\u0440\u044f\u0434 \u0442\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430\" width=\"397\" height=\"30\" \/><\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434, \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435, \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0438 \u0438 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0437\u0430\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434: \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0441\u0448\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u0432 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430\u043c\u0438 <em>&#171;\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439&#187;<\/em> \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<h3>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u041a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b k<sub>1<\/sub>, k<sub>2<\/sub>, k<sub>3<\/sub>, k<sub>4<\/sub><\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b <em>k<sub>1<\/sub><\/em>, <em>k<sub>2<\/sub><\/em>, <em>k<sub>3<\/sub><\/em>, <em>k<sub>4<\/sub><\/em>. \u041e\u043d\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 <em>&#171;\u0441 \u0443\u0447\u0451\u0442\u043e\u043c \u0432\u0435\u0441\u043e\u0432&#187;<\/em> \u0443\u0447\u0435\u0441\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f <em>f(x, y)<\/em> \u0432\u0435\u0434\u0451\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u0448\u0430\u0433\u0430 <em>h<\/em>. \u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u043d\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024057 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method4.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430\" width=\"142\" height=\"87\" \/><\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b? \u0418\u0434\u0435\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e <em>k<sub>1<\/sub><\/em> \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0430, <em>k<sub>2<\/sub><\/em> \u0438 <em>k<sub>3<\/sub><\/em> \u043e\u0442\u0441\u043b\u0435\u0436\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f <em>&#171;\u043f\u043e\u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435&#187;<\/em>, \u0430 <em>k<sub>4<\/sub><\/em> \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0430. \u0422\u0430\u043a \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e <em>&#171;\u0441\u0440\u0435\u0437\u043e\u0432&#187;<\/em> \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b <em>h<\/em>. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043c\u044b \u0441\u0443\u043c\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0441 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u0441\u0430\u043c\u0438:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024058 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method5.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430\" width=\"175\" height=\"27\" \/><\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0432\u0437\u0432\u0435\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e <em>&#171;\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c&#187;<\/em>, \u0447\u0442\u043e \u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0431\u0435\u0437 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0441\u0448\u0435\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430.<\/p>\n<p>\u041e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u0448\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 <em>\u0394y<sub>i<\/sub><\/em> \u0432 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024052 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method2.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430\" width=\"81\" height=\"13\" \/><\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430: \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0422\u0430\u043a \u042d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u0435\u043d?<\/h2>\n<ol>\n<li><strong>\u0412\u044b\u0441\u043e\u043a\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c<\/strong>: \u0427\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0432 <a title=\"\u041a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/metod-ejlera.html\">\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430<\/a> (\u0438 \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0435\u0433\u043e <a title=\"\u041c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/modificirovannyj-metod-ejlera.html\">\u043c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445<\/a>).<\/li>\n<li><strong>\u041d\u0435\u0442 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445<\/strong>: \u041d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435, \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435. \u0412\u0441\u0451 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u0448\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 <em>f(x, y)<\/em> \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/li>\n<li><strong>\u0413\u0438\u0431\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<\/strong>: \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0432 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044f\u0445 &#8212; \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0435, \u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0438, \u0431\u0438\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0438, \u044d\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0438\u043a\u0435 \u0438 \u0432\u0435\u0437\u0434\u0435, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0430\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u043a\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0442\u0435\u0445, \u043a\u0442\u043e \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0438 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0421 \u0435\u0433\u043e \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043a \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043d\u0435 \u0442\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0443\u0441\u0438\u043b\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u043e\u0446\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0432\u0441\u0435 \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0434\u0440\u044f\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0432 \u0441\u0432\u043e\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u044b!<\/p>\n<h2>\u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0441 \u041f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440<\/h2>\n<p>\u041c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c, \u0432 \u0447\u0451\u043c \u0441\u0443\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0438 \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043e\u043d \u0442\u0430\u043a \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u0435\u043d. \u041d\u043e \u043a\u0430\u043a \u0432\u0441\u0451 \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435? \u0414\u043b\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0439 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0438 \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u043c\u0441\u044f, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 <em>&#171;\u0443\u0433\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442&#187;<\/em> \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h6>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u041f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f y&#8217;=y-x, \u0421\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u041d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0423\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e y(0)=1.5, \u043d\u0430 \u041e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 [0, 1], \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u041c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430. \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u0422\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c: y(x)=0.5\u22c5e<sup>x<\/sup>+x+1<\/h6>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024079 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method13.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430 4 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\" width=\"621\" height=\"350\" \/><\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0448\u0430\u0433 <em>h=0.2<\/em>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u044d\u0442\u043e: <em>x<sub>0<\/sub>=0<\/em>, <em>x<sub>1<\/sub>=0.2<\/em>, <em>x<sub>2<\/sub>=0.4<\/em>, <em>x<sub>3<\/sub>=0.6<\/em>, <em>x<sub>4<\/sub>=0.8<\/em>, <em>x<sub>5<\/sub>=1<\/em>.<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c <em>y<sub>i<\/sub><\/em>:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f <em>x<sub>1<\/sub><\/em><\/strong>:<\/li>\n<\/ol>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024066 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method7.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430 4 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\" width=\"430\" height=\"130\" \/><\/p>\n<ol start=\"2\">\n<li><strong>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f <em>x<sub>2<\/sub><\/em><\/strong>:<\/li>\n<\/ol>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024067 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method8.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430 4 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\" width=\"474\" height=\"130\" \/><\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442\u044b \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024069 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method9.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430 4 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\" width=\"220\" height=\"13\" \/><\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 <em>y(x)=0.5\u22c5e<sup>x<\/sup>+x+1<\/em> \u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024072 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method11.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430 4 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\" width=\"311\" height=\"75\" \/><\/p>\n<p>\u041c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430. \u042d\u0442\u043e \u0435\u0449\u0451 \u0440\u0430\u0437 \u043f\u043e\u0434\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430. \u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430, \u0433\u0434\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 <em>&#171;\u043d\u0430\u043a\u0430\u043f\u043b\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f&#187;<\/em> \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435, \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e \u0443\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<h2>\u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b: \u041d\u0430 \u0427\u0442\u043e \u0415\u0449\u0451 \u0421\u0442\u043e\u0438\u0442 \u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0412\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435?<\/h2>\n<p>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 &#8212; \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043d\u043e, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043e\u043d \u043d\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0439, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430:<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430-\u041c\u0435\u0440\u0441\u043e\u043d\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/metod-runge-kutta-mersona.html\">\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430-\u041c\u0435\u0440\u0441\u043e\u043d\u0430<\/a> &#8212; \u041c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0441 \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u043c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0440\u0430\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.<\/li>\n<li><a title=\"\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0410\u0434\u0430\u043c\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/metod-adamsa.html\">\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0410\u0434\u0430\u043c\u0441\u0430<\/a> &#8212; \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 <em>&#171;\u043f\u0440\u043e\u0433\u043d\u043e\u0437\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438&#187;<\/em>, \u0433\u0434\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0432\u044b\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0445 \u0448\u0430\u0433\u043e\u0432.<\/li>\n<li><a title=\"\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u041c\u0438\u043b\u043d\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u041c\u0438\u043b\u043d\u0430<\/a> &#8212; \u0415\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 <em>&#171;\u043f\u0440\u0435\u0434\u0438\u043a\u0442\u043e\u0440-\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440&#187;<\/em>, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f \u0443\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0441\u0442\u043e\u0439\u0447\u0438\u0432\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u041f\u043e\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 \u044d\u0442\u0438\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u043c\u0438 &#8212; \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u044c \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430: \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0451\u043c \u0421\u0432\u043e\u044e \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443<\/h2>\n<p>\u0418 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0436\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u0430, \u0447\u0435\u043c \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430? \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u043d\u0430 \u0432\u0430\u0448\u0435\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043e\u043f\u0438\u0440\u0430\u044f\u0441\u044c \u043d\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 (\u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c). \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0433\u043b\u0443\u0431\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0439\u043c\u0451\u0442\u0435 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044e, \u043d\u043e \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0432\u0435\u0434\u0451\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f <em>&#171;\u0432\u0436\u0438\u0432\u0443\u044e&#187;<\/em> &#8212; \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 \u0441 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438, \u0446\u0438\u043a\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-10024110 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/02\/runge-kutta-method15.jpg\" alt=\"\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0440\u0443\u043d\u0433\u0435-\u043a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430\" width=\"600\" height=\"467\" \/><\/p>\n<p>\u041d\u0438\u0447\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044e \u0442\u0430\u043a, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430. \u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0431\u0435\u0440\u0438\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0434\u0430\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u0434\u0430 \u0438 \u0441\u043c\u0435\u043b\u043e \u0432\u043f\u0435\u0440\u0451\u0434 \u043a \u043d\u043e\u0432\u044b\u043c \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f\u043c!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u043d\u0435\u0440\u0435\u0434\u043a\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439\u00a0\u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0438\u0448\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":908,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[232],"tags":[263,235,262,234,170],"class_list":["post-907","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-chyslennyye-metodyy-reshenyja-obyyknovennyyh-dyfferencyalnyyh-uravnenyj","tag-algoritm-runge-kutta","tag-differencialnye-uravneniya","tag-metod-runge-kutta","tag-priblizhyonnoe-reshenie","tag-chislennye-metody"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/907"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=907"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/907\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1233,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/907\/revisions\/1233"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/908"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=907"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=907"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=907"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}