{"id":4055,"date":"2026-09-17T12:37:02","date_gmt":"2026-09-17T12:37:02","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=4055"},"modified":"2026-09-17T14:37:38","modified_gmt":"2026-09-17T14:37:38","slug":"nesobstvennye-integraly","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/nesobstvennye-integraly.html","title":{"rendered":"\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b: \u0421\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0420\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"<p>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u044f\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/opredelennyj-integral.html\">\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/a> \u043d\u0430 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0438, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430, \u043d\u043e \u0438 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442.<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 \u0441 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0432\u0438\u0434\u044b \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u0445 \u043e\u043d\u0438 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h2>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b: \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u041d\u0443\u0436\u0435\u043d \u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u041f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434<\/h2>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [a,b] \\). \u041f\u0440\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u0445 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u043e \u0447\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c? \u0418\u043b\u0438 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430? \u0412 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0430. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b \\( +\\infty \\) \u0432 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 <a title=\"\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e<\/a> \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. \u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c. \u041e\u043d\u0430 \u043b\u0438\u0448\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0434\u0430\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0438\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0438 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0435\u0451 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0435\u0433\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b, \u0430 \u0443\u0436\u0435 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0438 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<h2>\u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u041f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a: \u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0420\u043e\u0434\u0430<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0445\u043e\u0442\u044f \u0431\u044b \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^{+\\infty} f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u0434\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b, \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \\( +\\infty \\) \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c \\( b \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^{+\\infty} f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0430 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [a,b] \\). \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( b \\) \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0438 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0438\u0436\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{b} f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{a\\to-\\infty}<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \\( a \\) \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0434\u0430\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0430 \u043e\u0431\u043e\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u043a \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( c \\) \u0438 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{c} f(x)\\,dx<br \/>\n+<br \/>\n\\int_c^{+\\infty} f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043a\u0430\u0436\u0434\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{c} f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{a\\to-\\infty}<br \/>\n\\int_a^c f(x)\\,dx,\\\\[6pt]<br \/>\n\\int_c^{+\\infty} f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\int_c^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u0432\u0430 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0430? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438 \\( x\\to-\\infty \\) \u0438 \u043f\u0440\u0438 \\( x\\to+\\infty \\) \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<h2>\u041d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f: \u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0420\u043e\u0434\u0430<\/h2>\n<p>\u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u2014 \u043d\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430. \u041f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c, \u043d\u043e \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u0435\u0433\u043e \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u043c\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0443 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430 \\( b \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{t\\to b-}<br \/>\n\\int_a^t f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( t\\to b- \\) \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( t \\) \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \\( b \\) \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u0440\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0434\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0430 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430 \\( a \\), \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{t\\to a+}<br \/>\n\\int_t^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c \\( t\\to a+ \\) \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \\( t \\) \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\) \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0430 \u0432\u043e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( c\\in(a,b) \\), \u0438 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \\( c \\) \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_a^c f(x)\\,dx<br \/>\n+<br \/>\n\\int_c^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^c f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{t\\to c-}<br \/>\n\\int_a^t f(x)\\,dx,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u2014 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_c^b f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{t\\to c+}<br \/>\n\\int_t^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0447\u0435\u043c \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430? \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0435\u0431\u044f \u043f\u043e-\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( c \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c, \u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u2014 \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0435\u0433\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043a\u0430\u0436\u0434\u0443\u044e \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<h2>\u0421\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u0420\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c: \u0423\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f \u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432, \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043b\u0438 \u043e\u043d \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435?<\/p>\n<p>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u043c\u0441\u044f, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0438 \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx=L,<br \/>\n\\qquad L\\in\\mathbb{R},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^{+\\infty}f(x)\\,dx=L.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0438\u0441\u043b\u043e \\( L \\) \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c, \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u043c\u0441\u044f. \u0412 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442, \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043e\u043d \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0420\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0445\u043e\u0442\u044f \u0431\u044b \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 \u0441 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u043c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0430\u0442\u044c \u0447\u0451\u0442\u043a\u0443\u044e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h2>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u041d\u0430 \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435: \u041f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430 \u0421\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445. \u0412 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434, \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0438 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u043e \u0435\u0433\u043e \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n\\]<br \/>\n\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u043e\u043d \u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u043c\u0441\u044f.<\/h3>\n<p>\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\frac{1}{x^2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [1,+\\infty) \\). \u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u0430 \u0441 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \\( +\\infty \\) \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c \\( b \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\int_1^b\\frac{1}{x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{x^2}=x^{-2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int x^{-2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^b\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.-\\frac{1}{x}\\right|_1^b.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left.-\\frac{1}{x}\\right|_1^b<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{1}{b}-(-1)<br \/>\n=<br \/>\n1-\\frac{1}{b}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\left(1-\\frac{1}{b}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}\\frac{1}{b}=0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}\\,dx=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f, \u0430 \u0435\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( 1 \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\int_1^b\\frac{1}{x}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( 1\/x \\) \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( x&gt;0 \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( \\ln(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^b\\frac{1}{x}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.\\ln(x)\\right|_1^b.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left.\\ln(x)\\right|_1^b<br \/>\n=<br \/>\n\\ln(b)-\\ln(1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln(1)=0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^b\\frac{1}{x}\\,dx=\\ln(b).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}\\ln(b).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \\( b\\to+\\infty \\) \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}\\ln(b)=+\\infty.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^{+\\infty}\\frac{1}{x}\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u043c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0430\u043c\u043e\u0433\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430. \u0420\u0435\u0448\u0430\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_0^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx<br \/>\n\\]<br \/>\n\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c.<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439, \u043d\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 \\( x\\to0+ \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043d\u0438\u0436\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \\( 0 \\) \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( a&gt;0 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{a\\to0+}<br \/>\n\\int_a^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{x}}<br \/>\n=<br \/>\nx^{-\\frac12}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int x^{-\\frac12}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\sqrt{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.2\\cdot\\sqrt{x}\\right|_a^1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left.2\\cdot\\sqrt{x}\\right|_a^1<br \/>\n=<br \/>\n2-2\\cdot\\sqrt{a}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{a\\to0+}<br \/>\n\\left(2-2\\cdot\\sqrt{a}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{a\\to0+}\\sqrt{a}=0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx=2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( x=0 \\), \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f, \u0430 \u0435\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( 2 \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_{-1}^{1}\\frac{1}{x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\frac{1}{x^2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043d\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438 \\( x=0 \\) \u0438 \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( x=0 \\), \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430 \\( [-1,1] \\), \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-1}^{1}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_{-1}^{0}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n+<br \/>\n\\int_0^1\\frac{1}{x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-1}^{0}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{a\\to0-}<br \/>\n\\int_{-1}^{a}\\frac{1}{x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{1}{x},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-1}^{a}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.-\\frac{1}{x}\\right|_{-1}^{a}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left.-\\frac{1}{x}\\right|_{-1}^{a}<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{1}{a}-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \\( a\\to0- \\)<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{a}\\to-\\infty,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{a\\to0-}<br \/>\n\\left(-\\frac{1}{a}-1\\right)<br \/>\n=<br \/>\n+\\infty.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043b\u0435\u0432\u044b\u0439 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f. \u042d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u043e \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0442\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^1\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to0+}<br \/>\n\\int_b^1\\frac{1}{x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_b^1\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.-\\frac{1}{x}\\right|_b^1<br \/>\n=<br \/>\n-1+\\frac{1}{b}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \\( b\\to0+ \\)<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{b}\\to+\\infty,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{b\\to0+}<br \/>\n\\left(-1+\\frac{1}{b}\\right)<br \/>\n=<br \/>\n+\\infty.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043e\u0431\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442\u0441\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-1}^{1}\\frac{1}{x^2}\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u043c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c <a title=\"\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430-\u043b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/formula-nyutona-leybnitsa.html\">\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430<\/a> \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n\\]<br \/>\n\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c.<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( 0 \\) \u0438 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{0}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n+<br \/>\n\\int_0^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{0}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{a\\to-\\infty}<br \/>\n\\int_a^0\\frac{1}{1+x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( \\arctan(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^0\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.\\arctan(x)\\right|_a^0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\arctan(0)-\\arctan(a)<br \/>\n=<br \/>\n-\\arctan(a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{a\\to-\\infty}\\arctan(a)<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{\\pi}{2},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{0}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\pi}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}<br \/>\n\\int_0^b\\frac{1}{1+x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^b\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\left.\\arctan(x)\\right|_0^b<br \/>\n=<br \/>\n\\arctan(b).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{b\\to+\\infty}\\arctan(b)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\pi}{2},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\pi}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442\u0441\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\pi}{2}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{\\pi}{2}<br \/>\n=<br \/>\n\\pi.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2}\\,dx=\\pi.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u041e\u0442 \u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u041a \u041d\u043e\u0432\u044b\u043c \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u043c: \u0427\u0442\u043e \u0418\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435<\/h2>\n<p>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u2014 \u043b\u0438\u0448\u044c \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438 \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440, \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438.<\/li>\n<li><a title=\"\u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0434\u0443\u0433\u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0434\u0443\u0433\u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/a> \u2014 \u0423\u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 \u0434\u0443\u0433\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b.<\/li>\n<li><a title=\"\u0414\u0432\u043e\u0439\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0414\u0432\u043e\u0439\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b: \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b, \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0420\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u0434\u0432\u043e\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430, \u043d\u0430\u0443\u0447\u0438\u043c\u0441\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0412 \u041a\u043e\u0434\u0435: \u041e\u0442 \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0421\u0445\u0435\u043c\u044b \u0414\u043e \u0421\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u0445 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435. \u041d\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0430\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044e \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4075 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/improper-integrals1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\" width=\"610\" height=\"379\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/improper-integrals1.jpg 610w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/improper-integrals1-300x186.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 610px) 100vw, 610px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041d\u0435\u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u044f\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0438, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":4077,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[537],"tags":[570,180,569,381,571],"class_list":["post-4055","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-integralnoe-ischislenie","tag-vychislenie-integralov","tag-matematicheskij-analiz","tag-nesobstvennye-integraly","tag-opredelyonnyj-integral","tag-primery-integralov"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4055"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4055"}],"version-history":[{"count":19,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4055\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4076,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4055\/revisions\/4076"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/4077"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4055"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4055"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4055"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}