{"id":3925,"date":"2026-09-03T12:31:20","date_gmt":"2026-09-03T12:31:20","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3925"},"modified":"2026-09-03T14:31:31","modified_gmt":"2026-09-03T14:31:31","slug":"opredelennyj-integral","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/opredelennyj-integral.html","title":{"rendered":"\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b: \u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u0438 \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430"},"content":{"rendered":"<p>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u2014 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0445\u0430\u0440\u0430\u043a\u0442\u0435\u0440\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c. \u0415\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0443\u0437\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u043e\u0432. \u041d\u043e \u0447\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043d\u0438\u043c?<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0438 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u044b, \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0443, \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c, \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0438 \u0438 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044f\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430\u0445.<\/p>\n<h2>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b: \u041e\u0442 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0421\u0443\u043c\u043c\u044b \u043a \u0427\u0438\u0441\u043b\u0443<\/h2>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [a,b] \\). \u0420\u0430\u0437\u043e\u0431\u044c\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043c\u0435\u043b\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na=x_0&lt;x_1&lt;x_2&lt;\\dots&lt;x_n=b.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n[x_0,x_1],\\ [x_1,x_2],\\ \\dots,\\ [x_{n-1},x_n].<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [x_{i-1},x_i] \\) \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( \\xi_i \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( f(\\xi_i) \\). \u0415\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)\\geq0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\( f(\\xi_i) \\) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0437\u0430 \u0432\u044b\u0441\u043e\u0442\u0443 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0430, \u0430 \\( \\Delta x_i \\) \u2014 \u0437\u0430 \u0435\u0433\u043e \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0443. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(\\xi_i)\\cdot\\Delta x_i.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0438 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sum_{i=1}^{n}f(\\xi_i)\\cdot\\Delta x_i.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0443\u044e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 <a title=\"\u0421\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0420\u0438\u043c\u0430\u043d\u0430\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0443\u043c\u043c\u043e\u0439<\/a>.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0435\u0439 \u0443\u0437\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u041f\u043e\u043a\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0438 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0443, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3927 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral1.jpg\" alt=\"\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0443\u0437\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u043e\u0432\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral1-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c? \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \\( [a,b] \\) \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043c\u0435\u043b\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u0421\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u044f\u0442\u0441\u044f \u0432\u0441\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0437\u043a\u0438\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda=\\max\\Delta x_i.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda\\to0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0430\u044f \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0438 \u0442\u043e\u043c\u0443 \u0436\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0443 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e \u043e\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \\( \\xi_i \\), \u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) \\) \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [a,b] \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx=<br \/>\n\\lim_{\\lambda\\to0}<br \/>\n\\sum_{i=1}^{n}f(\\xi_i)\\cdot\\Delta x_i.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0434\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043a \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u044f\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u044b \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u044f\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0412 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\( a \\) \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0438\u0436\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0430 \\( b \\) \u2014 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439, \u0430 \\( dx \\) \u0443\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [a,b] \\), \u0442\u043e \u0435\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0443\u043c\u043c. \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438.<\/p>\n<h2>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0438 \u0417\u043d\u0430\u043a<\/h2>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [a,b] \\)<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)\\geq0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d \u043d\u0430 \u043e\u0441\u0438 \\( Ox \\) \u0438\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0448\u0435 \u043d\u0435\u0435.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c, \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=f(x),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\) \u0438 \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u043c\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=a,\\qquad x=b,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0430\u043f\u0435\u0446\u0438\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435, \u0442\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0430\u043f\u0435\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx=S.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442: \u043e\u043d \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d \u043d\u0430\u0434 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)\\leq0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx\\leq0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0430\u044f \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043e\u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c\u044e.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0435\u0433\u043e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0442\u043e\u043b\u043a\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0438\u043b\u0438 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439, \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438. \u0427\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0434 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\) \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c <em>\u00ab\u043f\u043b\u044e\u0441\u00bb<\/em>, \u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434 \u043d\u0435\u0439 \u2014 \u0441\u043e \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c <em>\u00ab\u043c\u0438\u043d\u0443\u0441\u00bb<\/em>.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3931 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral2.jpg\" alt=\"\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043d\u0430\u0434 \u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral2-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043d\u0430 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d \u043d\u0430\u0434 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\) \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \\( A_1 \\), \u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u2014 \u043f\u043e\u0434 \u043e\u0441\u044c\u044e \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \\( A_2 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx=A_1-A_2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0443\u044e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0432\u0441\u0435\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u043c \u0438 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\), \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA=A_1+A_2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0438\u043c\u0435\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA_1=A_2,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx=0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0445\u043e\u0442\u044f \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u043c \u0438 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( Ox \\), \u043d\u043e \u0438 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0441 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b \u043e\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438 \u043e\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u044b.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0435\u043d, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043d\u0438\u043c.<\/p>\n<h2>\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b, \u0421\u0443\u043c\u043c\u044b \u0438 \u041f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0435<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0438\u0436\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442, \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^a f(x)\\,dx=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \\( [a,a] \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u043c \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n-\\int_b^a f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439.<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( c \\) \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0443 \\( [a,b] \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_a^c f(x)\\,dx+<br \/>\n\\int_c^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0430\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043f\u043e \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0415\u0433\u043e \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \\( [a,b] \\) \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \\( c \\) \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438, \u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0441\u0443\u043c\u043c\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u0445.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u044f\u0442\u0441\u044f \u043a \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b\\left(f(x)+g(x)\\right)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx+<br \/>\n\\int_a^b g(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b\\left(f(x)-g(x)\\right)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx-<br \/>\n\\int_a^b g(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \\( k \\), \u0442\u043e \u044d\u0442\u0443 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0437\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b k\\cdot f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\nk\\cdot\\int_a^b f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u044d\u0442\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b\\left(\\alpha\\cdot f(x)+\\beta\\cdot g(x)\\right)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\alpha\\cdot\\int_a^b f(x)\\,dx+<br \/>\n\\beta\\cdot\\int_a^b g(x)\\,dx,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \\( \\alpha \\) \u0438 \\( \\beta \\) \u2014 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0435.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438 \u2014 \u0432\u044b\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u044c \u0437\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0441\u0430\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c. \u041e\u043d\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u0438 \u0443\u0441\u0442\u0430\u043d\u0430\u0432\u043b\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b.<\/p>\n<h2>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b: \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u041e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430<\/h2>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [a,b] \\), \u0433\u0434\u0435 \\( a&lt;b \\),<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)\\leq g(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_a^b g(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u044b\u0448\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e, \u0442\u043e \u0438 \u0435\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0436\u0435 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435.<\/p>\n<p>\u0418\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0432\u0430\u0436\u043d\u0430\u044f \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \\( x\\in[a,b] \\)<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nm\\leq f(x)\\leq M,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \\( m \\) \u0438 \\( M \\) \u2014 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0435.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) \\) \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438 \\( m \\) \u0438 \\( M \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0442 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b m\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_a^b M\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b m\\,dx=m\\cdot(b-a)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b M\\,dx=M\\cdot(b-a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nm\\cdot(b-a)<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\nM\\cdot(b-a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\leq f(x)\\leq5,\\qquad x\\in[1,4].<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot(4-1)<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_1^4 f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n5\\cdot(4-1),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n6\\leq<br \/>\n\\int_1^4 f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq15.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0431\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \\( 6 \\) \u0438 \\( 15 \\).<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0435 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0432\u0430\u0436\u043d\u0430\u044f \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u0430 \u0441 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left|\\int_a^b f(x)\\,dx\\right|<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_a^b |f(x)|\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e? \u0412 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0435 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u0435\u043d\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0440\u0443\u0433 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( |f(x)| \\) \u0432\u0441\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043c\u043f\u0435\u043d\u0441\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043e\u0446\u0435\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0435\u0449\u0435 \u0434\u043e \u0435\u0433\u043e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0449\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0443\u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430 \u0438 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<h2>\u0421\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u0427\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0438 \u041d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/h2>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \\( [-a,a] \\). \u041d\u0430 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3936 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral3.jpg\" alt=\"\u0421\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral3.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral3-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u0447\u0435\u0442\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(-x)=f(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u043d \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0438 \\( Oy \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430\u0445 \\( [-a,0] \\) \u0438 \\( [0,a] \\) \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434.<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-a}^{a}f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\int_0^a f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0432\u0438\u043d\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0443\u0434\u0432\u043e\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3938 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral4.jpg\" alt=\"\u0421\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral4.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral4-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(-x)=-f(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u043d \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \\( x \\) \u0438 \\( -x \\) \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0438, \u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u0435\u043d\u0441\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-a}^{a}f(x)\\,dx=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [-a,a] \\) \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439. \u0414\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043a \u043f\u043e\u043b\u043e\u0432\u0438\u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430, \u0430 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<h2>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u041d\u0430 \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435: \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430<\/h2>\n<p>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043b\u0435\u0433\u0447\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u043a \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u043c. \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443, \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0443 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_1^4 3\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u043e\u0431\u044c\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \\( [1,4] \\) \u043d\u0430 \\( n \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4-1=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Delta x=\\frac{3}{n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( \\xi_k \\) \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(\\xi_k)=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS_n=<br \/>\n\\sum_{k=1}^{n}f(\\xi_k)\\cdot\\Delta x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS_n=<br \/>\n\\sum_{k=1}^{n}<br \/>\n3\\cdot\\frac{3}{n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f \\( n \\) \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS_n=<br \/>\nn\\cdot3\\cdot\\frac{3}{n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS_n=9.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \\( n\\to\\infty \\) \u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c \\( 9 \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^4 3\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\lim_{n\\to\\infty}S_n.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^4 3\\,dx=9.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438. \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=3 \\), \u043e\u0441\u044c \\( Ox \\) \u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u0435 \\( x=1 \\) \u0438 \\( x=4 \\) \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a. \u0415\u0433\u043e \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4-1=3,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0430 \u0432\u044b\u0441\u043e\u0442\u0430 \u2014 \\( 3 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0433\u043e \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot3=9.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^4 3\\,dx=9.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_{-4}^{4}f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(-x)=-f(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b \\( -4 \\) \u0438 \\( 4 \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \\( [-4,4] \\) \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u043d \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-a}^{a}f(x)\\,dx=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \\( a=4 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-4}^{4}f(x)\\,dx=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430\u0445 \\( [-4,0] \\) \u0438 \\( [0,4] \\) \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0438, \u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0438. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u0435\u043d\u0441\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-4}^{4}f(x)\\,dx=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u0418\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_0^2 f(x)\\,dx=5,<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\int_0^2 g(x)\\,dx=3.<br \/>\n\\]<br \/>\n\u041d\u0430\u0439\u0442\u0438<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_0^2\\left(2\\cdot f(x)-3\\cdot g(x)\\right)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_a^b<br \/>\n\\left(<br \/>\n\\alpha\\cdot f(x)+\\beta\\cdot g(x)<br \/>\n\\right)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\alpha\\cdot\\int_a^b f(x)\\,dx<br \/>\n+<br \/>\n\\beta\\cdot\\int_a^b g(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \\( f(x) \\) \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 2 \\), \u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \\( g(x) \\) \u2014 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( -3 \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^2<br \/>\n\\left(<br \/>\n2\\cdot f(x)-3\\cdot g(x)<br \/>\n\\right)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\int_0^2 f(x)\\,dx<br \/>\n&#8212;<br \/>\n3\\cdot\\int_0^2 g(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^2<br \/>\n\\left(<br \/>\n2\\cdot f(x)-3\\cdot g(x)<br \/>\n\\right)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot5-3\\cdot3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot5-3\\cdot3=10-9=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^2<br \/>\n\\left(<br \/>\n2\\cdot f(x)-3\\cdot g(x)<br \/>\n\\right)\\,dx=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u0418\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_1^3 f(x)\\,dx=4,<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\int_3^6 f(x)\\,dx=7.<br \/>\n\\]<br \/>\n\u041d\u0430\u0439\u0442\u0438<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_6^1 f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043e\u0442 \\( 1 \\) \u0434\u043e \\( 6 \\).<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( 3 \\) \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u2014 \\( [1,3] \\) \u0438 \\( [3,6] \\). \u041f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443 \u0430\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^6 f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int_1^3 f(x)\\,dx+<br \/>\n\\int_3^6 f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^6 f(x)\\,dx=4+7.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_1^6 f(x)\\,dx=11.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043f\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430\u043c\u0438, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_6^1 f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_6^1 f(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n-\\int_1^6 f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_6^1 f(x)\\,dx=-11.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_6^1 f(x)\\,dx=-11.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u0414\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \\( x\\in[-2,2] \\) \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( 1\\leq f(x)\\leq3 \\). \u0423\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [-2,2] \\)<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1\\leq f(x)\\leq3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u044b\u0448\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e, \u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0438\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-2}^{2}1\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_{-2}^{2}3\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430 \\( [-2,2] \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2-(-2)=4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-2}^{2}1\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n1\\cdot4<br \/>\n=<br \/>\n4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_{-2}^{2}3\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n3\\cdot4<br \/>\n=<br \/>\n12.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n12.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430\u0445<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4<br \/>\n\\leq<br \/>\n\\int_{-2}^{2}f(x)\\,dx<br \/>\n\\leq<br \/>\n12.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433 \u0432 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0418\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0443\u0442\u044c \u043a\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u043c \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c \u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430: \u041a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0435\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043e\u0441\u044f\u043c\u0438.<\/li>\n<li><a title=\"\u041e\u0431\u044a\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041e\u0431\u044a\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043c\u043e\u0432 \u0442\u0435\u043b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0432 \u0421\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0435: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442\u043e\u0432<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c. \u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^2 \\) \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [0,2] \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int_0^2 x^2\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0438\u0442\u0435 \u0437\u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0439 \u0432 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0435, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3951 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral5.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^2 \\) \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( [0,2] \\)\" width=\"600\" height=\"333\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral5.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/definite-integral5-300x167.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u2014 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0445\u0430\u0440\u0430\u043a\u0442\u0435\u0440\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c. \u0415\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3953,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[537],"tags":[517,562,180,381,540],"class_list":["post-3925","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-integralnoe-ischislenie","tag-geometricheskij-smysl","tag-integralnaya-summa","tag-matematicheskij-analiz","tag-opredelyonnyj-integral","tag-svojstva-integrala"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3925"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3925"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3925\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3928,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3925\/revisions\/3928"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3953"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3925"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3925"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3925"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}