{"id":3839,"date":"2026-08-27T12:27:58","date_gmt":"2026-08-27T12:27:58","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3839"},"modified":"2026-08-27T14:27:28","modified_gmt":"2026-08-27T14:27:28","slug":"integrirovanie-irracionalnyh-funkcij","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/integrirovanie-irracionalnyh-funkcij.html","title":{"rendered":"\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0422\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0417\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u0438 \u0420\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f"},"content":{"rendered":"<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u2014 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u0438\u0434 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041a\u043e\u0440\u043d\u0438 \u0438 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b, \u043d\u043e \u0443\u0434\u0430\u0447\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u0443\u0436\u0435 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c.<\/p>\n<h2>\u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u041f\u043e\u0434 \u0417\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0418\u0434\u0435\u044f \u0420\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438<\/h2>\n<p>\u0412 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0438\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u044f\u0442 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f \u0438\u043b\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt[n]{a\\cdot x+b},<br \/>\n\\qquad<br \/>\nx^{\\frac{m}{n}},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043b\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{a\\cdot x^2+b\\cdot x+c}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438? \u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043d\u0438\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0438\u0441\u0447\u0435\u0437\u0430\u0435\u0442. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043b\u0438 \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043e\u0431\u0440\u0451\u043b \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0432\u0438\u0434.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0412 \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0434\u0438\u043d \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432 \u2014 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041a\u043e\u0440\u043d\u0438 \u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u0438. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt[n]{a\\cdot x+b}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0430\u043c \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0441\u0442\u0430\u043b \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\sqrt[n]{a\\cdot x+b}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt^n=a\\cdot x+b.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=\\frac{t^n-b}{a}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx=\\frac{n\\cdot t^{n-1}}{a}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0451\u043c \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0430? \u041a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0441\u0447\u0435\u0437\u0430\u0435\u0442, \u0430 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( t \\). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( t \\), \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt[3]{2\\cdot x+1},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\sqrt[3]{2\\cdot x+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( 2\\cdot x+1 \\) \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c \\( t^3 \\). \u0423\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441 \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0434\u043b\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430: \u043d\u043e\u0432\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441 \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c.<\/p>\n<h2>\u0414\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438: \u041e\u0431\u0449\u0430\u044f \u0417\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0414\u043b\u044f \u041d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0438\u043c \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e. \u0427\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439? \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^{\\frac12},<br \/>\n\\qquad<br \/>\nx^{\\frac13},<br \/>\n\\qquad<br \/>\nx^{\\frac14}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0431\u044b \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0439. \u0413\u043e\u0440\u0430\u0437\u0434\u043e \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u0441\u0435 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0442\u0430\u043b\u0438 \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^{\\frac{m_1}{n_1}},<br \/>\n\\qquad<br \/>\nx^{\\frac{m_2}{n_2}},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\dots,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nx^{\\frac{m_k}{n_k}},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( N \\) \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nn_1,n_2,\\ldots,n_k.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=t^N.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx=N\\cdot t^{N-1}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^{\\frac{m_i}{n_i}}<br \/>\n=<br \/>\nt^{\\frac{N\\cdot m_i}{n_i}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( N \\) \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \\( n_i \\), \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{N\\cdot m_i}{n_i}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \\( x^{\\frac12} \\) \u0438 \\( x^{\\frac13} \\) \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b \\( 2 \\) \u0438 \\( 3 \\), \u0430 \u0438\u0445 \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( 6 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0441\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=t^6.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( x^{\\frac12}=t^3 \\), \u0430 \\( x^{\\frac13}=t^2 \\). \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441 \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f\u043c\u0438. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0446\u0435\u043b\u044c\u044e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b.<\/p>\n<h2>\u041a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0420\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u044b: \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0417\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b<\/h2>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0442\u0438\u043f\u0430 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0420\u0435\u0447\u044c \u0438\u0434\u0451\u0442 \u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u0430\u0445, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{a^2-x^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=a\\cdot\\sin(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441? \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na^2-a^2\\cdot\\sin^2(t)<br \/>\n=<br \/>\na^2\\cdot\\left(1-\\sin^2(t)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410 \u043f\u043e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1-\\sin^2(t)=\\cos^2(t)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0441\u0430\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2+a^2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=a\\cdot\\tan(t),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1+\\tan^2(t)=\\frac{1}{\\cos^2(t)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2-a^2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=\\frac{a}{\\cos(t)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{\\cos^2(t)}-1=\\tan^2(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{9-x^2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=3\\cdot\\sin(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e. \u0415\u0451 \u043f\u043e\u0434\u0431\u0438\u0440\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<h2>\u041a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0422\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d \u041f\u043e\u0434 \u041a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c: \u041f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043a \u0421\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0435<\/h2>\n<p>\u0410 \u0447\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u043b\u0438 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432, \u0430 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na\\cdot x^2+b\\cdot x+c?<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \\( a\\neq0 \\) \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na\\cdot x^2+b\\cdot x+c<br \/>\n=<br \/>\na\\left(x+\\frac{b}{2\\cdot a}\\right)^2<br \/>\n+<br \/>\nc-\\frac{b^2}{4\\cdot a}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0433\u043e\u0440\u0430\u0437\u0434\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u0435\u0435. \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043a \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\nA^2-u^2,\\\\[4pt]<br \/>\nu^2+A^2,<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu^2-A^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u043c\u0443. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d, \u0430 \u0443\u0436\u0435 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0443\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+4\\cdot x+8,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+4\\cdot x+8<br \/>\n=<br \/>\n(x+2)^2+4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=x+2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{u^2+4}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u0436\u0435 \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a\u0430\u044f \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0442\u0438\u043f\u0443.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0430 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u043a \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435.<\/p>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430<\/h2>\n<p>\u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u0430\u043c\u0438, \u043d\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434. \u0414\u043b\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{a\\cdot x^2+b\\cdot x+c}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430. \u0418\u0445 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0446\u0435\u043b\u044c \u2014 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\), \u0438 \u0441\u0430\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \\( a&gt;0 \\), \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{a\\cdot x^2+b\\cdot x+c}<br \/>\n=<br \/>\n\\sqrt{a}\\cdot x+t.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na\\cdot x^2+b\\cdot x+c<br \/>\n=<br \/>\na\\cdot x^2+2\\cdot\\sqrt{a}\\cdot x\\cdot t+t^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u043b\u0435\u043d\u044b \\( a\\cdot x^2 \\) \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f. \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \\( x \\) \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( t \\) \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \\( c&gt;0 \\), \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{a\\cdot x^2+b\\cdot x+c}<br \/>\n=<br \/>\nt\\cdot x+\\sqrt{c}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \\( x \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u043e\u0432\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e.<\/p>\n<p>\u0422\u0440\u0435\u0442\u0438\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d \u0441\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na\\cdot x^2+b\\cdot x+c<br \/>\n=<br \/>\na\\cdot(x-x_1)\\cdot(x-x_2),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{a\\cdot x^2+b\\cdot x+c}<br \/>\n=<br \/>\nt\\cdot(x-x_1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( x-x_1 \\) \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\) \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( t \\).<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0451\u043c \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b? \u0422\u0430\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0436\u0435 \u0446\u0435\u043b\u044c \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430\u044f: \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043a <a title=\"\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0435\u0439\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/integrirovanie-racionalnyh-drobey.html\">\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044e \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438<\/a>.<\/p>\n<h2>\u041a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0417\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b: \u041e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0442 \u043a \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e \u043a\u0430\u043a \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u0430, \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0434\u0430\u043b\u044c\u043d\u0435\u0439\u0448\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0431\u0435\u0437 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439?<\/p>\n<p>\u041d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430. \u041e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f\u043c\u0438. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{\\cos^2(t)}<br \/>\n=<br \/>\n|\\cos(t)|,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \\( \\cos(t) \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=a\\cdot\\sin(t)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0434\u043b\u044f \\( t \\), \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a \\( \\cos(t) \\) \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u0435\u043d. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\frac{\\pi}{2}\\leq t\\leq\\frac{\\pi}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(t)\\geq0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n|\\cos(t)|=\\cos(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0443\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d. \u0418\u043d\u0430\u0447\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u043a \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c <a title=\"\u041e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/oblast-opredelenyja-funkcyy.html\">\u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a> \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na^2-x^2,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na^2-x^2\\geq0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n|x|\\leq|a|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2-a^2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2-a^2\\geq0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n|x|\\geq|a|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=a\\cdot\\tan(t),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\arctan\\left(\\frac{x}{a}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u0432 \u0445\u043e\u0434\u0435 \u0434\u0430\u043b\u044c\u043d\u0435\u0439\u0448\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \\( \\sin(t) \\), \\( \\cos(t) \\) \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0438\u0445 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\).<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0443\u0434\u0430\u0447\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u0430. \u041e\u043d\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435, \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0440\u0443\u0448\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c\u0441\u044f \u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c, \u043d\u043e \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u043e\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0417\u0430\u043c\u0435\u043d<\/h2>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d. \u0412 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u0438 \u0441\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043a \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int\\frac{x}{\\sqrt{2\\cdot x+1}}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \\( 2\\cdot x+1 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0441\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e \u0432\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043d\u043e\u0432\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0430\u043c \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0441\u044f \u0432 \\( t \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\sqrt{2\\cdot x+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt^2=2\\cdot x+1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n2\\cdot x=t^2-1,\\\\[4pt]<br \/>\nx=\\frac{t^2-1}{2}.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b \\( dx \\). \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx=t\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{2\\cdot x+1}=t.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432\u0441\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{x}{\\sqrt{2\\cdot x+1}}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int\\frac{\\frac{t^2-1}{2}}{t}\\cdot t\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( t \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{x}{\\sqrt{2\\cdot x+1}}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\int(t^2-1)\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043e\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{2}\\int(t^2-1)\\,dt<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\frac{t^3}{3}-t\\right)+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\frac{t^3}{3}-t\\right)+C<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{t^3}{6}-\\frac{t}{2}+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\sqrt{2\\cdot x+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{x}{\\sqrt{2\\cdot x+1}}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{(2\\cdot x+1)^{\\frac32}}{6}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{\\sqrt{2\\cdot x+1}}{2}<br \/>\n+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u043b\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u0430.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{x^{\\frac12}+x^{\\frac13}}.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0434\u0432\u0435 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \\( x^{\\frac12} \\) \u0438 \\( x^{\\frac13} \\). \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0441 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438, \u0434\u043b\u044f \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \\( x\\geq0 \\), \u0430 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx&gt;0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439? \u0417\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b \\( 2 \\) \u0438 \\( 3 \\), \u0430 \u0438\u0445 \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( 6 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=t^6.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \\( x&gt;0 \\) \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=x^{\\frac16}&gt;0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx=6\\cdot t^5\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0435 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441 \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f\u043c\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\nx^{\\frac12}<br \/>\n=<br \/>\n(t^6)^{\\frac12}<br \/>\n=<br \/>\nt^3,\\\\[4pt]<br \/>\nx^{\\frac13}<br \/>\n=<br \/>\n(t^6)^{\\frac13}<br \/>\n=<br \/>\nt^2.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{x^{\\frac12}+x^{\\frac13}}<br \/>\n=<br \/>\n\\int\\frac{6\\cdot t^5}{t^3+t^2}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( t^2 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt^3+t^2=t^2\\cdot(t+1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{6\\cdot t^5}{t^3+t^2}\\,dt<br \/>\n=<br \/>\n6\\int\\frac{t^3}{t+1}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{t^3}{t+1}<br \/>\n=<br \/>\nt^2-t+1-\\frac{1}{t+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n6\\int\\frac{t^3}{t+1}\\,dt<br \/>\n=<br \/>\n6\\int\\left(t^2-t+1-\\frac{1}{t+1}\\right)dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n6\\cdot\\left(<br \/>\n\\frac{t^3}{3}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{t^2}{2}<br \/>\n+<br \/>\nt<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\ln|t+1|<br \/>\n\\right)+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \\( 6 \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot t^3<br \/>\n&#8212;<br \/>\n3\\cdot t^2<br \/>\n+<br \/>\n6\\cdot t<br \/>\n&#8212;<br \/>\n6\\cdot\\ln|t+1|<br \/>\n+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u0435\u0440\u043d\u0451\u043c\u0441\u044f \u043a \\( x \\). \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=x^{\\frac16},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt^2=x^{\\frac13},<br \/>\n\\qquad<br \/>\nt^3=x^{\\frac12}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{x^{\\frac12}+x^{\\frac13}}<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot x^{\\frac12}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n3\\cdot x^{\\frac13}<br \/>\n+<br \/>\n6\\cdot x^{\\frac16}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n6\\cdot\\ln\\left|x^{\\frac16}+1\\right|<br \/>\n+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( x&gt;0 \\), \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x^{\\frac16}+1 \\) \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043e\u0434\u043d\u0430 \u043e\u0431\u0449\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u043b\u0430 \u043e\u0431\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int\\sqrt{9-x^2}\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n9-x^2=3^2-x^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na^2-x^2,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=3\\cdot\\sin(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\frac{\\pi}{2}\\leq t\\leq\\frac{\\pi}{2},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0447\u0442\u043e\u0431\u044b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(t)\\geq0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx=3\\cdot\\cos(t)\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{9-x^2}<br \/>\n=<br \/>\n\\sqrt{9-9\\cdot\\sin^2(t)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u043e\u0441\u0438\u043c \\( 9 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{9-9\\cdot\\sin^2(t)}<br \/>\n=<br \/>\n3\\cdot\\sqrt{1-\\sin^2(t)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1-\\sin^2(t)=\\cos^2(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{9-x^2}<br \/>\n=<br \/>\n3\\cdot\\cos(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\sqrt{9-x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\int3\\cdot\\cos(t)\\cdot3\\cdot\\cos(t)\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\sqrt{9-x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n9\\int\\cos^2(t)\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos^2(t)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1+\\cos(2\\cdot t)}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n9\\int\\cos^2(t)\\,dt<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{9}{2}\\int\\left(1+\\cos(2\\cdot t)\\right)dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{9}{2}\\cdot\\left(<br \/>\nt+\\frac{\\sin(2\\cdot t)}{2}<br \/>\n\\right)+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(2\\cdot t)<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\sin(t)\\cdot\\cos(t),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{9}{2}\\cdot<br \/>\n\\left(<br \/>\nt+\\sin(t)\\cdot\\cos(t)<br \/>\n\\right)+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u0435\u0440\u043d\u0451\u043c\u0441\u044f \u043a \\( x \\). \u0418\u0437 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=3\\cdot\\sin(t)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(t)=\\frac{x}{3},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\arcsin\\left(\\frac{x}{3}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(t)<br \/>\n=<br \/>\n\\sqrt{1-\\sin^2(t)}<br \/>\n=<br \/>\n\\sqrt{1-\\frac{x^2}{9}}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\sqrt{9-x^2}}{3}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(t)\\cdot\\cos(t)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{x}{3}\\cdot\\frac{\\sqrt{9-x^2}}{3}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{x\\cdot\\sqrt{9-x^2}}{9}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\sqrt{9-x^2}\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{x\\cdot\\sqrt{9-x^2}}{2}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{9}{2}\\cdot\\arcsin\\left(\\frac{x}{3}\\right)<br \/>\n+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0441\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u043b\u0430 \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \\( \\cos^2(t) \\), \u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0443\u0434\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0443\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+4\\cdot x}}.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u044b. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+4\\cdot x<br \/>\n=<br \/>\nx^2+4\\cdot x+4-4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+4\\cdot x<br \/>\n=<br \/>\n(x+2)^2-4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{(x+2)^2-4}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=x+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndu=dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{du}{\\sqrt{u^2-4}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu^2-2^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+4\\cdot x&gt;0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430\u0445 \\( x&lt;-4 \\) \u0438\u043b\u0438 \\( x&gt;0 \\).<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \\( x&gt;0 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( u&gt;2 \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\frac{2}{\\cos(t)},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n0&lt;t&lt;\\frac{\\pi}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(t)&gt;0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\tan(t)&gt;0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndu<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\frac{\\sin(t)}{\\cos^2(t)}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{u^2-4}<br \/>\n=<br \/>\n\\sqrt{\\frac{4}{\\cos^2(t)}-4}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u043e\u0441\u0438\u043c \\( 4 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{u^2-4}<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\sqrt{\\frac{1}{\\cos^2(t)}-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{\\cos^2(t)}-1=\\tan^2(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{u^2-4}<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\tan(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{du}{\\sqrt{u^2-4}}<br \/>\n=<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot\\frac{\\sin(t)}{\\cos^2(t)}<br \/>\n}{<br \/>\n2\\cdot\\tan(t)<br \/>\n}<br \/>\n\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(t)=\\frac{\\sin(t)}{\\cos(t)},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{du}{\\sqrt{u^2-4}}<br \/>\n=<br \/>\n\\int\\frac{1}{\\cos(t)}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{1}{\\cos(t)}\\,dt<br \/>\n=<br \/>\n\\ln\\left|<br \/>\n\\frac{1}{\\cos(t)}+\\tan(t)<br \/>\n\\right|+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u0435\u0440\u043d\u0451\u043c\u0441\u044f \u043a \\( u \\). \u0418\u0437 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\frac{2}{\\cos(t)}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{\\cos(t)}=\\frac{u}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot\\tan(t)=\\sqrt{u^2-4},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(t)=\\frac{\\sqrt{u^2-4}}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\left|<br \/>\n\\frac{1}{\\cos(t)}+\\tan(t)<br \/>\n\\right|<br \/>\n=<br \/>\n\\ln\\left|<br \/>\n\\frac{u+\\sqrt{u^2-4}}{2}<br \/>\n\\right|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 1\/2 \\) \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{du}{\\sqrt{u^2-4}}<br \/>\n=<br \/>\n\\ln\\left|u+\\sqrt{u^2-4}\\right|+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=x+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+4\\cdot x}}<br \/>\n=<br \/>\n\\ln\\left|<br \/>\nx+2+\\sqrt{x^2+4\\cdot x}<br \/>\n\\right|<br \/>\n+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0443 \u0436\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e, \u0441 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0434\u043b\u044f \\( x&lt;-4 \\).<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \\( u^2-a^2 \\). \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u043b\u0430 \u0443\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0443.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+x+1}}.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0451\u0445\u0447\u043b\u0435\u043d, \u043f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043f\u0440\u0438 \\( x^2 \\) \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0438\u0437 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043e\u043a \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2+x+1}=x+t.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0426\u0435\u043b\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \\( x \\), \\( dx \\) \u0438 \u0441\u0430\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( t \\) \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \\( x \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( t \\). \u0412\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+x+1<br \/>\n=<br \/>\n(x+t)^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+x+1<br \/>\n=<br \/>\nx^2+2\\cdot x\\cdot t+t^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( x^2 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx+1<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot x\\cdot t+t^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441\u0438\u043c \u0447\u043b\u0435\u043d\u044b \u0441 \\( x \\) \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx-2\\cdot x\\cdot t<br \/>\n=<br \/>\nt^2-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u043e\u0441\u0438\u043c \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx\\cdot(1-2\\cdot t)<br \/>\n=<br \/>\nt^2-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=<br \/>\n\\frac{t^2-1}{1-2\\cdot t}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( dx \\). \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e-\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot t(1-2\\cdot t)+2\\cdot(t^2-1)<br \/>\n}{<br \/>\n(1-2\\cdot t)^2<br \/>\n}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot t-4\\cdot t^2+2\\cdot t^2-2<br \/>\n=<br \/>\n-2\\cdot(t^2-t+1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{2\\cdot(t^2-t+1)}{(1-2\\cdot t)^2}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( t \\) \u0441\u0430\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b. \u041f\u043e \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2+x+1}=x+t.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx+t<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{t^2-1}{1-2\\cdot t}+t.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx+t<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{t^2-1+t-2\\cdot t^2}{1-2\\cdot t}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx+t<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{-t^2+t-1}{1-2\\cdot t}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430 \\( -1 \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2+x+1}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{t^2-t+1}{2\\cdot t-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(1-2\\cdot t)^2=(2\\cdot t-1)^2,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndx<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{2\\cdot(t^2-t+1)}{(2\\cdot t-1)^2}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043e\u0431\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+x+1}}<br \/>\n=<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{<br \/>\n-\\frac{2\\cdot(t^2-t+1)}{(2\\cdot t-1)^2}<br \/>\n}{<br \/>\n\\frac{t^2-t+1}{2\\cdot t-1}<br \/>\n}<br \/>\n\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( t^2-t+1 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+x+1}}<br \/>\n=<br \/>\n-2\\int\\frac{dt}{2\\cdot t-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0441\u044f \u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b.<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=2\\cdot t-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndu=2\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-2\\int\\frac{dt}{2\\cdot t-1}<br \/>\n=<br \/>\n-\\int\\frac{du}{u}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\int\\frac{du}{u}<br \/>\n=<br \/>\n-\\ln|u|+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \\( t \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\ln|2\\cdot t-1|+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0437 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sqrt{x^2+x+1}=x+t<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\sqrt{x^2+x+1}-x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\ln\\left|<br \/>\n2\\cdot\\sqrt{x^2+x+1}-2\\cdot x-1<br \/>\n\\right|+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(<br \/>\n2\\cdot\\sqrt{x^2+x+1}-2\\cdot x-1<br \/>\n\\right)<br \/>\n\\cdot<br \/>\n\\left(<br \/>\n2\\cdot\\sqrt{x^2+x+1}+2\\cdot x+1<br \/>\n\\right)<br \/>\n=<br \/>\n3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043c\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( \\ln(3) \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+x+1}}<br \/>\n=<br \/>\n\\ln\\left|<br \/>\n2\\cdot\\sqrt{x^2+x+1}+2\\cdot x+1<br \/>\n\\right|<br \/>\n+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430. \u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u043e\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0447\u0435\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0441 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c.<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433 \u0432 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0418\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u043b\u0438\u0448\u044c \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u043c, \u0438\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b: \u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430<\/a> \u2014 \u0420\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d \u0441 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c\u044e \u0438 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445.<\/li>\n<li><a title=\"\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430: \u041a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/a> \u2014 \u0423\u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0435\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u043c\u0438.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0418\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041e\u0442 \u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u043a \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u041a\u043e\u0434\u0443<\/h2>\n<p>\u0423\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c? \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u2014 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 <em>C++<\/em>. \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e <a title=\"\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e<\/a><\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x)=\\frac{(2\\cdot x+1)^{\\frac32}}{6}-\\frac{\\sqrt{2\\cdot x+1}}{2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\frac{x}{\\sqrt{2\\cdot x+1}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( f(x) \\), \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \\( F'(x) \\) \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u043c \u043a\u043e\u0434\u0435.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3866 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/integration-of-irrational-functions1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e \u0442\u0435\u043c\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439\" width=\"600\" height=\"317\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/integration-of-irrational-functions1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/integration-of-irrational-functions1-300x159.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u2014 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u0438\u0434 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041a\u043e\u0440\u043d\u0438 \u0438 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u044f\u044e\u0442<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3868,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[537],"tags":[557,180,538,539,541],"class_list":["post-3839","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-integralnoe-ischislenie","tag-integrirovanie-irracionalnyx-funkcij","tag-matematicheskij-analiz","tag-neopredelennyj-integral","tag-pervoobraznaya-funkcii","tag-primery-integrirovaniya"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3839"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3839"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3839\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3871,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3839\/revisions\/3871"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3868"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3839"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3839"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3839"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}