{"id":3792,"date":"2026-08-20T12:31:54","date_gmt":"2026-08-20T12:31:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3792"},"modified":"2026-08-20T14:32:07","modified_gmt":"2026-08-20T14:32:07","slug":"integrirovanie-trigonometricheskih-funktsiy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/integrirovanie-trigonometricheskih-funktsiy.html","title":{"rendered":"\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0438 \u041f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f"},"content":{"rendered":"<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044e \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044b <a title=\"\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445<\/a>. \u0427\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432 \u0438\u043b\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041a\u0430\u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434? \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0438\u0434 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0438\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f\u043c\u0438.<\/p>\n<h2>\u0411\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435: \u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0439 \u0410\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442<\/h2>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e <a title=\"\u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/tablica-integralov.html\">\u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445<\/a>:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\int \\sin(x)\\,dx=-\\cos(x)+C,\\\\[4pt]<br \/>\n\\int \\cos(x)\\,dx=\\sin(x)+C,\\\\[4pt]<br \/>\n\\int \\frac{dx}{\\cos^2(x)}=\\tan(x)+C,\\\\[4pt]<br \/>\n\\int \\frac{dx}{\\sin^2(x)}=-\\cot(x)+C.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\int \\tan(x)\\,dx=-\\ln|\\cos(x)|+C,\\\\[4pt]<br \/>\n\\int \\cot(x)\\,dx=\\ln|\\sin(x)|+C.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0432 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430\u0445 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c? \u0422\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(x)=\\frac{\\sin(x)}{\\cos(x)},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\cot(x)=\\frac{\\cos(x)}{\\sin(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\frac{f'(x)}{f(x)}\\,dx=\\ln|f(x)|+C.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\cos(x) \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( -\\sin(x) \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u043c \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441.<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0443\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c \u0441 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( a\\neq 0 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\int \\sin(a\\cdot x+b)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{1}{a}\\cdot\\cos(a\\cdot x+b)+C,\\\\[4pt]<br \/>\n\\int \\cos(a\\cdot x+b)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{a}\\cdot\\sin(a\\cdot x+b)+C.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043f\u0440\u0438 \\( x \\) \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442? \u041f\u0440\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( a \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u0440\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u0435\u043d\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0438 \u043a \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\int \\frac{dx}{\\cos^2(a\\cdot x+b)}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{a}\\cdot\\tan(a\\cdot x+b)+C,\\\\[4pt]<br \/>\n\\int \\frac{dx}{\\sin^2(a\\cdot x+b)}<br \/>\n=<br \/>\n-\\frac{1}{a}\\cdot\\cot(a\\cdot x+b)+C.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u0438\u0434 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043d\u043e \u0438 \u0435\u0451 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442.<\/p>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0421\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u041a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u043c, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u043c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\sin^m(x)\\cdot\\cos^n(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c? \u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438 \\( m \\) \u0438 \\( n \\) \u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438. \u041e\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442, \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\sin(x) \\) \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442. \u041e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0448\u0443\u044e\u0441\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^2(x)=1-\\cos^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441. \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\cos(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=-\\sin(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\sin^3(x)\\cdot\\cos^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^3(x)=\\sin(x)\\cdot\\sin^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^3(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\sin(x)\\cdot\\bigl(1-\\cos^2(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\sin(x)\\cdot<br \/>\n\\bigl(1-\\cos^2(x)\\bigr)\\cdot<br \/>\n\\cos^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \\( u=\\cos(x) \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\int \\bigl(1-u^2\\bigr)\\cdot u^2\\,du.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\sin(x) \\) \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\) \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u043e\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e. \u041e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\cos(x) \\) \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442, \u0430 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0448\u0443\u044e\u0441\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos^2(x)=1-\\sin^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\sin(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=\\cos(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos^3(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\cos(x)\\cdot\\cos^2(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\cos(x)\\cdot\\bigl(1-\\sin^2(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u0441\u0451 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( \\sin(x) \\), \u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\cos(x)\\,dx \\) \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \\( du \\).<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f \u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u0435? \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\sin^2(x)=\\frac{1-\\cos(2\\cdot x)}{2},\\\\[4pt]<br \/>\n\\cos^2(x)=\\frac{1+\\cos(2\\cdot x)}{2}.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^2(x)\\cdot\\cos^2(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1-\\cos(2\\cdot x)}{2}<br \/>\n\\cdot<br \/>\n\\frac{1+\\cos(2\\cdot x)}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0435\u0449\u0451 \u0440\u0430\u0437.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u043e\u0431\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u0435, \u0438\u0445 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438.<\/p>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0422\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430, \u041a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430, \u0421\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430 \u0438 \u041a\u043e\u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441 \u0438 \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441. \u0421\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sec(x)=\\frac{1}{\\cos(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\csc(x)=\\frac{1}{\\sin(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0441\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f\u043c\u0438 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438 \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\tan^m(x)\\cdot\\sec^n(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\sec^2(x)=1+\\tan^2(x),\\\\[4pt]<br \/>\n\\tan^2(x)=\\sec^2(x)-1.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u0430\u0436\u043d\u0443\u044e \u0440\u043e\u043b\u044c \u0438\u0433\u0440\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\bigl(\\tan(x)\\bigr)&#8217;=\\sec^2(x),\\\\[4pt]<br \/>\n\\bigl(\\sec(x)\\bigr)&#8217;=\\sec(x)\\cdot\\tan(x).<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u044e\u0442 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d\u0430 \u0447\u0451\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\sec^2(x) \\). \u041e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0448\u0443\u044e\u0441\u044f \u0447\u0451\u0442\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0447\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\tan(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=\\sec^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\tan^3(x)\\cdot\\sec^4(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430 \u0447\u0451\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0435\u0451 \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sec^4(x)=\\sec^2(x)\\cdot\\sec^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sec^2(x)=1+\\tan^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\tan^3(x)\\cdot<br \/>\n\\bigl(1+\\tan^2(x)\\bigr)\\cdot<br \/>\n\\sec^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \\( u=\\tan(x) \\) \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int u^3\\cdot\\bigl(1+u^2\\bigr)\\,du.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u044e\u0442 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sec(x)\\cdot\\tan(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0448\u0443\u044e\u0441\u044f \u0447\u0451\u0442\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441 \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan^2(x)=\\sec^2(x)-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\sec(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=\\sec(x)\\cdot\\tan(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan^3(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\tan^2(x)\\cdot\\tan(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\bigl(\\sec^2(x)-1\\bigr)\\cdot\\tan(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u044f\u0434\u043e\u043c \u0435\u0441\u0442\u044c \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\sec(x) \\), \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\sec(x)\\cdot\\tan(x)\\,dx \\) \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u043d\u0435 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0433\u043e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c.<\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f\u043c \u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\csc^2(x)=1+\\cot^2(x)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\bigl(\\cot(x)\\bigr)&#8217;=-\\csc^2(x),\\\\[4pt]<br \/>\n\\bigl(\\csc(x)\\bigr)&#8217;=-\\csc(x)\\cdot\\cot(x).<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430\u0445 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0421\u0443\u043c\u043c\u0443<\/h2>\n<p>\u0412 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0441 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c. \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432, \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u041d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e. \u041a\u0430\u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443? \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\sin(\\alpha)\\cdot\\sin(\\beta)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\cos(\\alpha-\\beta)-\\cos(\\alpha+\\beta)<br \/>\n\\bigr),\\\\[4pt]<br \/>\n\\cos(\\alpha)\\cdot\\cos(\\beta)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\cos(\\alpha-\\beta)+\\cos(\\alpha+\\beta)<br \/>\n\\bigr),\\\\[4pt]<br \/>\n\\sin(\\alpha)\\cdot\\cos(\\beta)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\sin(\\alpha+\\beta)+\\sin(\\alpha-\\beta)<br \/>\n\\bigr).<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\sin(3\\cdot x)\\cdot\\cos(2\\cdot x)\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(3\\cdot x)\\cdot\\cos(2\\cdot x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\sin(5\\cdot x)+\\sin(x)<br \/>\n\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\int<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\sin(5\\cdot x)+\\sin(x)<br \/>\n\\bigr)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041e\u043d\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0441 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(2\\cdot x)=2\\cdot\\sin(x)\\cdot\\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\sin(x)\\cdot\\cos(x) \\) \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(x)\\cdot\\cos(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot\\sin(2\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435, \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0434\u0432\u043e\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0433\u043b\u0430.<\/p>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0420\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u0421\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u043c \u0438 \u041a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u043c<\/h2>\n<p>\u0411\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u0432\u0438\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int R\\bigl(\\sin(x),\\cos(x)\\bigr)\\,dx,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \\( R \\) \u2014 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043e\u0442 \\( \\sin(x) \\) \u0438 \\( \\cos(x) \\). \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0432\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0446\u0435\u043b\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0438\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0440\u043e\u043f\u043e\u0440\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \\( \\sin(x) \\) \u0438 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\cos(x)\\,dx \\), \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\sin(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=\\cos(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\frac{\\cos(x)}{1+\\sin(x)}\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \\( u=\\sin(x) \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\frac{du}{1+u}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u0441\u0447\u0435\u0437\u0430\u044e\u0442, \u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0443 \u043e\u0442 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( u \\).<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \\( \\cos(x) \\) \u0438 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\sin(x)\\,dx \\), \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\cos(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=-\\sin(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\frac{\\sin(x)}{2+\\cos(x)}\\,dx<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \\( u=\\cos(x) \\) \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n-\\int \\frac{du}{2+u}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0435 \u043a \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\tan(x),<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=\\frac{dx}{\\cos^2(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{dx}<br \/>\n{\\cos^2(x)\\cdot\\bigl(1+\\tan(x)\\bigr)}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \\( u=\\tan(x) \\) \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\frac{du}{1+u}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0430, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 1\/\\cos^2(x) \\) \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0441\u0440\u0430\u0431\u0430\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438\u043b\u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\tan\\left(\\frac{x}{2}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0435 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043e\u0442 \\( t \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\sin(x)=\\frac{2\\cdot t}{1+t^2},\\\\[4pt]<br \/>\n\\cos(x)=\\frac{1-t^2}{1+t^2},\\\\[4pt]<br \/>\ndx=\\frac{2}{1+t^2}\\,dt.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u0443 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0443 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439? \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0438\u0442\u044c \u0438\u0437 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441, \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\frac{dx}{2+\\sin(x)+\\cos(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \\( t=\\tan(x\/2) \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{2}{1+t^2}\\,dt<br \/>\n}{<br \/>\n2+<br \/>\n\\frac{2\\cdot t}{1+t^2}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{1-t^2}{1+t^2}<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e. \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{2}{t^2+2\\cdot t+3}\\,dt.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u0441\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u0441\u0447\u0435\u0437\u043b\u0438, \u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0441\u044f \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043e\u0442 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u0423\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043b\u044f \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u043e\u0433\u043e \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043e\u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043a \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u044b\u043c \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f\u043c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u043b\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0443\u044e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( \\sin(x) \\), \\( \\cos(x) \\) \u0438\u043b\u0438 \\( \\tan(x) \\).<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438: \u041f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439<\/h2>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043a \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c. \u0412 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0438\u043b\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int \\sin^2(x)\\cdot\\cos^3(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043d\u0435\u0447\u0451\u0442\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\cos(x) \\), \u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos^3(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\cos^2(x)\\cdot\\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos^2(x)=1-\\sin^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos^3(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\bigl(1-\\sin^2(x)\\bigr)\\cdot\\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\sin^2(x)\\cdot<br \/>\n\\bigl(1-\\sin^2(x)\\bigr)\\cdot<br \/>\n\\cos(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u043c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\sin(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndu=\\cos(x)\\,dx,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\nu^2\\cdot\\bigl(1-u^2\\bigr)\\,du.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\bigl(u^2-u^4\\bigr)\\,du.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\bigl(u^2-u^4\\bigr)\\,du<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{u^3}{3}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{u^5}{5}<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\sin(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\sin^2(x)\\cdot\\cos^3(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\sin^3(x)}{3}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{\\sin^5(x)}{5}<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int \\sin^2(x)\\cdot\\cos^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041e\u0431\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0443\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0434\u0432\u043e\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0433\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(2\\cdot x)<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\sin(x)\\cdot\\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin(x)\\cdot\\cos(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot\\sin(2\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^2(x)\\cdot\\cos^2(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{4}\\cdot\\sin^2(2\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{4}\\cdot<br \/>\n\\int \\sin^2(2\\cdot x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^2(2\\cdot x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1-\\cos(4\\cdot x)}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{4}\\cdot<br \/>\n\\int \\sin^2(2\\cdot x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{8}\\cdot<br \/>\n\\int<br \/>\n\\bigl(1-\\cos(4\\cdot x)\\bigr)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0430 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{8}\\cdot\\int dx<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{1}{8}\\cdot\\int\\cos(4\\cdot x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int dx=x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0443\u0447\u0442\u0451\u043c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0439 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\cos(4\\cdot x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{4}\\cdot\\sin(4\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\sin^2(x)\\cdot\\cos^2(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{x}{8}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{1}{32}\\cdot\\sin(4\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int \\tan^2(x)\\cdot\\sec^4(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0435\u043a\u0430\u043d\u0441\u0430 \u0447\u0451\u0442\u043d\u0430\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\sec^2(x) \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\) \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sec^4(x)<br \/>\n=<br \/>\n\\sec^2(x)\\cdot\\sec^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\tan^2(x)\\cdot<br \/>\n\\sec^2(x)\\cdot<br \/>\n\\sec^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \\( \\sec^2(x) \\) \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sec^2(x)=1+\\tan^2(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\tan^2(x)\\cdot<br \/>\n\\bigl(1+\\tan^2(x)\\bigr)\\cdot<br \/>\n\\sec^2(x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u043c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\tan(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ndu=\\sec^2(x)\\,dx,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\nu^2\\cdot\\bigl(1+u^2\\bigr)\\,du.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\bigl(u^2+u^4\\bigr)\\,du.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\bigl(u^2+u^4\\bigr)\\,du<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{u^3}{3}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{u^5}{5}<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\tan(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\tan^2(x)\\cdot\\sec^4(x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{\\tan^3(x)}{3}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{\\tan^5(x)}{5}<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int \\cos(5\\cdot x)\\cdot\\cos(3\\cdot x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(\\alpha)\\cdot\\cos(\\beta)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\cos(\\alpha-\\beta)+\\cos(\\alpha+\\beta)<br \/>\n\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\alpha=5\\cdot x,<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\beta=3\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(5\\cdot x)\\cdot\\cos(3\\cdot x)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\cos(2\\cdot x)+\\cos(8\\cdot x)<br \/>\n\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\int<br \/>\n\\bigl(<br \/>\n\\cos(2\\cdot x)+\\cos(8\\cdot x)<br \/>\n\\bigr)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\int\\cos(2\\cdot x)\\,dx<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\int\\cos(8\\cdot x)\\,dx.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\cos(2\\cdot x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot\\sin(2\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int\\cos(8\\cdot x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{8}\\cdot\\sin(8\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\sin(2\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{1}{2}\\cdot<br \/>\n\\frac{1}{8}\\cdot<br \/>\n\\sin(8\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int \\cos(5\\cdot x)\\cdot\\cos(3\\cdot x)\\,dx<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{4}\\cdot\\sin(2\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{1}{16}\\cdot\\sin(8\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<br \/>\n\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{dx}<br \/>\n{3+\\sin(x)+\\cos(x)}.<br \/>\n\\]<\/h3>\n<p>\u0412 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u0441\u044f \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441. \u0427\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\tan\\left(\\frac{x}{2}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\sin(x)=\\frac{2\\cdot t}{1+t^2},\\\\[4pt]<br \/>\n\\cos(x)=\\frac{1-t^2}{1+t^2},\\\\[4pt]<br \/>\ndx=\\frac{2}{1+t^2}\\,dt.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{2}{1+t^2}\\,dt<br \/>\n}{<br \/>\n3+<br \/>\n\\frac{2\\cdot t}{1+t^2}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{1-t^2}{1+t^2}<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3+<br \/>\n\\frac{2\\cdot t}{1+t^2}<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{1-t^2}{1+t^2}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n3\\cdot\\bigl(1+t^2\\bigr)<br \/>\n+<br \/>\n2\\cdot t<br \/>\n+<br \/>\n1-t^2<br \/>\n}{<br \/>\n1+t^2<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot\\bigl(1+t^2\\bigr)<br \/>\n+<br \/>\n2\\cdot t<br \/>\n+<br \/>\n1-t^2<br \/>\n=<br \/>\n3+3\\cdot t^2+2\\cdot t+1-t^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot t^2+2\\cdot t+4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 2 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot t^2+2\\cdot t+4<br \/>\n=<br \/>\n2\\cdot\\bigl(t^2+t+2\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{2}{1+t^2}\\,dt<br \/>\n}{<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot\\bigl(t^2+t+2\\bigr)<br \/>\n}{<br \/>\n1+t^2<br \/>\n}<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438 \\( 2 \\) \u0438 \\( 1+t^2 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{dt}<br \/>\n{t^2+t+2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430, \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt^2+t+2<br \/>\n=<br \/>\n\\left(t+\\frac{1}{2}\\right)^2<br \/>\n+<br \/>\n\\frac{7}{4}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\( 7\/4 \\) \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{7}{4}<br \/>\n=<br \/>\n\\left(\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\right)^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{dt}<br \/>\n{<br \/>\n\\left(t+\\frac{1}{2}\\right)^2<br \/>\n+<br \/>\n\\left(\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\right)^2<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{du}<br \/>\n{u^2+a^2}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{a}\\cdot<br \/>\n\\arctan\\left(\\frac{u}{a}\\right)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=t+\\frac{1}{2},<br \/>\n\\qquad<br \/>\ndu=dt,<br \/>\n\\qquad<br \/>\na=\\frac{\\sqrt{7}}{2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{dt}<br \/>\n{<br \/>\n\\left(t+\\frac{1}{2}\\right)^2<br \/>\n+<br \/>\n\\left(\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\right)^2<br \/>\n}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{2}{\\sqrt{7}}\\cdot<br \/>\n\\arctan\\left(<br \/>\n\\frac{<br \/>\nt+\\frac{1}{2}<br \/>\n}{<br \/>\n\\frac{\\sqrt{7}}{2}<br \/>\n}<br \/>\n\\right)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{<br \/>\nt+\\frac{1}{2}<br \/>\n}{<br \/>\n\\frac{\\sqrt{7}}{2}<br \/>\n}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{2\\cdot t+1}{\\sqrt{7}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{2}{\\sqrt{7}}\\cdot<br \/>\n\\arctan\\left(<br \/>\n\\frac{2\\cdot t+1}{\\sqrt{7}}<br \/>\n\\right)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\tan\\left(\\frac{x}{2}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\int<br \/>\n\\frac{dx}<br \/>\n{3+\\sin(x)+\\cos(x)}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{2}{\\sqrt{7}}\\cdot<br \/>\n\\arctan\\left(<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot\\tan\\left(\\frac{x}{2}\\right)+1<br \/>\n}{<br \/>\n\\sqrt{7}<br \/>\n}<br \/>\n\\right)<br \/>\n+<br \/>\nC.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435, \u0433\u0434\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430 \\( t=\\tan(x\/2) \\).<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433 \u0432 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0418\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043a \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 \u043d\u043e\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432 \u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u043e\u0442 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u043e\u0442 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0422\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b<\/a> \u2014 \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0438\u0434.<\/li>\n<li><a title=\"\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b: \u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430<\/a> \u2014 \u0412\u044b\u044f\u0441\u043d\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d \u0441 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c\u044e \u0438 \u043a\u0430\u043a\u0438\u043c\u0438 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442.<\/li>\n<li><a title=\"\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430\u2013\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430: \u041a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/a> \u2014 \u0420\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0422\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041e\u0442 \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0421\u0445\u0435\u043c\u044b \u043a \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u041a\u043e\u0434\u0443<\/h2>\n<p>\u0423\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c? \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443. \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0435, \u043d\u0430 \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>JavaScript<\/em>, <em>C++<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u043e \u0432\u0430\u0448\u0435\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0443. \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\sin^2(x)\\cdot\\cos^3(x),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x)=\\frac{\\sin^3(x)}{3}-\\frac{\\sin^5(x)}{5}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0438 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3815 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/integration-of-trigonometric-functions1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e \u0442\u0435\u043c\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439\" width=\"600\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/integration-of-trigonometric-functions1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/integration-of-trigonometric-functions1-300x150.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044e \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044b \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445. \u0427\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3817,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[537],"tags":[180,538,555,539,541],"class_list":["post-3792","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-integralnoe-ischislenie","tag-matematicheskij-analiz","tag-neopredelennyj-integral","tag-ntegrirovanie-trigonometricheskix-funkcij","tag-pervoobraznaya-funkcii","tag-primery-integrirovaniya"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3792"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3792"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3792\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3797,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3792\/revisions\/3797"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3817"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3792"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3792"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3792"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}