{"id":3680,"date":"2026-08-06T05:11:34","date_gmt":"2026-08-06T05:11:34","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3680"},"modified":"2026-08-06T05:12:12","modified_gmt":"2026-08-06T05:12:12","slug":"integrirovanie-po-chastyam","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/integrirovanie-po-chastyam.html","title":{"rendered":"\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438 \u041f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u044b\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"

\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432<\/a>. \u0415\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438\u043b\u0438 \u0435\u0433\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0426\u0435\u043b\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430: \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043b\u0435\u0433\u0447\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n

\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435.<\/p>\n

\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430: \u041a\u0430\u043a \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c<\/h2>\n

\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/p>\n

\\[
\n\\int u(x)\\cdot v'(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e, \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439:<\/p>\n

\\[
\n\\left(u(x)\\cdot v(x)\\right)’
\n=
\nu'(x)\\cdot v(x)
\n+
\nu(x)\\cdot v'(x).
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( u(x)\\cdot v'(x) \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b. \u0412\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435:<\/p>\n

\\[
\nu(x)\\cdot v'(x)
\n=
\n\\left(u(x)\\cdot v(x)\\right)’
\n—
\nv(x)\\cdot u'(x).
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430:<\/p>\n

\\[
\n\\int u(x)\\cdot v'(x)\\,dx
\n=
\n\\int
\n\\left(u(x)\\cdot v(x)\\right)’
\n\\,dx
\n—
\n\\int v(x)\\cdot u'(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043e\u0441\u0441\u0442\u0430\u043d\u0430\u0432\u043b\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/a> \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0434\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0432\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439, \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043e\u0431\u0449\u0443\u044e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \\( C \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n

\\[
\n\\int u(x)\\cdot v'(x)\\,dx
\n=
\nu(x)\\cdot v(x)
\n—
\n\\int v(x)\\cdot u'(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u042d\u0442\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c. \u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0435\u0451 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n

\\[
\n\\int u\\,dv
\n=
\nu\\cdot v
\n—
\n\\int v\\,du.
\n\\]<\/p>\n

\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c<\/p>\n

\\[
\ndu=u'(x)\\,dx,
\n\\qquad
\ndv=v'(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \u043a \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0443 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \\( C \\).<\/p>\n

\u0412\u044b\u0431\u043e\u0440 \u0421\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0445: \u041a\u0430\u043a \u041f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c \u041f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h2>\n

\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439, \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \\( u \\) \u0438 \\( dv \\). \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( u \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442:<\/p>\n

\\[
\ndu=u'(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( dv \\), \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442, \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442:<\/p>\n

\\[
\nv=\\int dv.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \\( v \\) \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442.<\/p>\n

\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u044e\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0432\u0438\u0434. \u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( dv \\) \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\), \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0435\u0451 \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c. \u0423\u0434\u0430\u0447\u043d\u044b\u043c \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440, \u043f\u0440\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/p>\n

\\[
\n\\int v\\,du
\n\\]<\/p>\n

\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e.<\/p>\n

\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/p>\n

\\[
\n\\int x^2\\cdot\\ln(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0446\u0435\u043b\u0435\u0441\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n

\\[
\nu=\\ln(x),
\n\\qquad
\ndu=\\frac{1}{x}\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( dv \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u043e\u043c \\( dx \\):<\/p>\n

\\[
\ndv=x^2\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n

\\[
\nv
\n=
\n\\int x^2\\,dx
\n=
\n\\frac{x^3}{3}.
\n\\]<\/p>\n

\u0410 \u0431\u044b\u043b \u0431\u044b \u0443\u0434\u043e\u0431\u0435\u043d \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440? \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e<\/p>\n

\\[
\nu=x^2,
\n\\qquad
\ndv=\\ln(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \\( v \\) \u043f\u0440\u0438\u0448\u043b\u043e\u0441\u044c \u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b<\/p>\n

\\[
\nv=\\int\\ln(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441\u0430\u043c \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u043d\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443.<\/p>\n

\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0427\u0430\u0441\u0442\u044c: \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u0432 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445<\/h2>\n

\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0443\u0441\u0432\u0430\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432. \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439. \u0412 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d \u0440\u0430\u0437, \u0430 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u2014 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437.<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b
\n\\[
\n\\int x\\cdot e^x\\,dx.
\n\\]<\/h3>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0446\u0435\u043b\u0435\u0441\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( x \\), \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443:<\/p>\n

\\[
\nu=x,
\n\\qquad
\ndu=dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( dv \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\):<\/p>\n

\\[
\ndv=e^x\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( v \\):<\/p>\n

\\[
\nv
\n=
\n\\int e^x\\,dx
\n=
\ne^x.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c:<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot e^x\\,dx
\n=
\nx\\cdot e^x
\n—
\n\\int e^x\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c:<\/p>\n

\\[
\n\\int e^x\\,dx
\n=
\ne^x.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot e^x\\,dx
\n=
\nx\\cdot e^x-e^x+C.
\n\\]<\/p>\n

\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( e^x \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot e^x\\,dx
\n=
\ne^x\\cdot(x-1)+C.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b
\n\\[
\n\\int x\\cdot\\cos(3\\cdot x)\\,dx.
\n\\]<\/h3>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( x \\):<\/p>\n

\\[
\nu=x,
\n\\qquad
\ndu=dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( dv \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\):<\/p>\n

\\[
\ndv=\\cos(3\\cdot x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \\( v \\) \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0443\u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \\( 3 \\) \u0432 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0435 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430:<\/p>\n

\\[
\nv
\n=
\n\\int\\cos(3\\cdot x)\\,dx
\n=
\n\\frac{1}{3}\\cdot\\sin(3\\cdot x).
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\cos(3\\cdot x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x}{3}\\cdot\\sin(3\\cdot x)
\n—
\n\\frac{1}{3}\\int\\sin(3\\cdot x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n

\\[
\n\\int\\sin(3\\cdot x)\\,dx
\n=
\n-\\frac{1}{3}\\cdot\\cos(3\\cdot x),
\n\\]<\/p>\n

\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\cos(3\\cdot x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x}{3}\\cdot\\sin(3\\cdot x)
\n—
\n\\frac{1}{3}\\cdot
\n\\left(
\n-\\frac{1}{3}\\cdot\\cos(3\\cdot x)
\n\\right)
\n+
\nC.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\cos(3\\cdot x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x}{3}\\cdot\\sin(3\\cdot x)
\n+
\n\\frac{1}{9}\\cdot\\cos(3\\cdot x)
\n+
\nC.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b
\n\\[
\n\\int\\ln(x)\\,dx.
\n\\]<\/h3>\n

\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0435 \u044f\u0432\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043e. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n

\\[
\n\\ln(x)\\cdot 1.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n

\\[
\nu=\\ln(x),
\n\\qquad
\ndu=\\frac{1}{x}\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( 1 \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u043e\u043c \u043e\u043d \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442<\/p>\n

\\[
\ndv=dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( v \\):<\/p>\n

\\[
\nv
\n=
\n\\int dx
\n=
\nx.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n

\\[
\n\\int\\ln(x)\\,dx
\n=
\nx\\cdot\\ln(x)
\n—
\n\\int x\\cdot\\frac{1}{x}\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n

\\[
\nx\\cdot\\frac{1}{x}=1,
\n\\]<\/p>\n

\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n

\\[
\n\\int\\ln(x)\\,dx
\n=
\nx\\cdot\\ln(x)
\n—
\n\\int dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n

\\[
\n\\int\\ln(x)\\,dx
\n=
\nx\\cdot\\ln(x)-x+C.
\n\\]<\/p>\n

\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0435\u0434\u043b\u0438\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0438 \\(x>0\\), \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\(\\ln(x)\\).<\/p><\/blockquote>\n

\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b
\n\\[
\n\\int x\\cdot\\arctan(x)\\,dx.
\n\\]<\/h3>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0446\u0435\u043b\u0435\u0441\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( \\arctan(x) \\), \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n

\\[
\nu=\\arctan(x),
\n\\qquad
\ndu=\\frac{1}{1+x^2}\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( dv \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\):<\/p>\n

\\[
\ndv=x\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n

\\[
\nv
\n=
\n\\int x\\,dx
\n=
\n\\frac{x^2}{2}.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\arctan(x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x^2}{2}\\cdot\\arctan(x)
\n—
\n\\frac{1}{2}
\n\\int
\n\\frac{x^2}{1+x^2}\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c. \u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435<\/p>\n

\\[
\nx^2
\n=
\n1+x^2-1.
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n

\\[
\n\\frac{x^2}{1+x^2}
\n=
\n\\frac{1+x^2-1}{1+x^2}
\n=
\n1-\\frac{1}{1+x^2}.
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432<\/a>. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\arctan(x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x^2}{2}\\cdot\\arctan(x)
\n—
\n\\frac{1}{2}
\n\\int
\n\\left(
\n1-\\frac{1}{1+x^2}
\n\\right)
\ndx.
\n\\]<\/p>\n

\u0420\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b:<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\arctan(x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x^2}{2}\\cdot\\arctan(x)
\n—
\n\\frac{1}{2}\\int dx
\n+
\n\\frac{1}{2}
\n\\int
\n\\frac{1}{1+x^2}\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b:<\/p>\n

\\[
\n\\int dx=x,
\n\\qquad
\n\\int\\frac{1}{1+x^2}\\,dx=\\arctan(x).
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\arctan(x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x^2}{2}\\cdot\\arctan(x)
\n—
\n\\frac{x}{2}
\n+
\n\\frac{1}{2}\\cdot\\arctan(x)
\n+
\nC.
\n\\]<\/p>\n

\u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u043c \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \\( \\arctan(x) \\):<\/p>\n

\\[
\n\\int x\\cdot\\arctan(x)\\,dx
\n=
\n\\frac{x^2+1}{2}\\cdot\\arctan(x)
\n—
\n\\frac{x}{2}
\n+
\nC.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b
\n\\[
\n\\int e^x\\cdot\\sin(x)\\,dx.
\n\\]<\/h3>\n

\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430\u0436\u0434\u044b. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( I \\):<\/p>\n

\\[
\nI
\n=
\n\\int e^x\\cdot\\sin(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c. \u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u043c \u0435\u0451 \u043a \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0443.<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( u \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n

\\[
\nu=\\sin(x),
\n\\qquad
\ndu=\\cos(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \\( dv \\) \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \\( dx \\):<\/p>\n

\\[
\ndv=e^x\\,dx,
\n\\qquad
\nv=e^x.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n

\\[
\nI
\n=
\ne^x\\cdot\\sin(x)
\n—
\n\\int e^x\\cdot\\cos(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( J \\):<\/p>\n

\\[
\nJ
\n=
\n\\int e^x\\cdot\\cos(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u0414\u043b\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430 \\( J \\) \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c<\/p>\n

\\[
\n\\begin{gathered}
\nu=\\cos(x),
\n\\qquad
\ndu=-\\sin(x)\\,dx,\\\\[4pt]
\ndv=e^x\\,dx,
\n\\qquad
\nv=e^x.
\n\\end{gathered}
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n

\\[
\nJ
\n=
\ne^x\\cdot\\cos(x)
\n—
\n\\int e^x\\cdot\\left(-\\sin(x)\\right)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u043c \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \\( du \\) \u0434\u0430\u044e\u0442 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u043b\u044e\u0441:<\/p>\n

\\[
\nJ
\n=
\ne^x\\cdot\\cos(x)
\n+
\n\\int e^x\\cdot\\sin(x)\\,dx.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u043c \\( I \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n

\\[
\nJ
\n=
\ne^x\\cdot\\cos(x)+I.
\n\\]<\/p>\n

\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e:<\/p>\n

\\[
\nI
\n=
\ne^x\\cdot\\sin(x)
\n—
\n\\left(
\ne^x\\cdot\\cos(x)+I
\n\\right).
\n\\]<\/p>\n

\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n

\\[
\nI
\n=
\ne^x\\cdot\\sin(x)
\n—
\ne^x\\cdot\\cos(x)
\n—
\nI.
\n\\]<\/p>\n

\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \\( I \\) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443. \u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0451\u043c \\( -I \\) \u0432 \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n

\\[
\n2\\cdot I
\n=
\ne^x\\cdot\\sin(x)
\n—
\ne^x\\cdot\\cos(x).
\n\\]<\/p>\n

\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( e^x \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n

\\[
\n2\\cdot I
\n=
\ne^x\\cdot
\n\\left(
\n\\sin(x)-\\cos(x)
\n\\right).
\n\\]<\/p>\n

\u0420\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043d\u0430 \\( 2 \\):<\/p>\n

\\[
\nI
\n=
\n\\frac{e^x}{2}\\cdot
\n\\left(
\n\\sin(x)-\\cos(x)
\n\\right).
\n\\]<\/p>\n

\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n

\\[
\n\\int e^x\\cdot\\sin(x)\\,dx
\n=
\n\\frac{e^x}{2}\\cdot
\n\\left(
\n\\sin(x)-\\cos(x)
\n\\right)
\n+
\nC.
\n\\]<\/p>\n

\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0434\u043b\u044f \u0414\u0430\u043b\u044c\u043d\u0435\u0439\u0448\u0435\u0433\u043e \u0418\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n

\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u2014 \u043b\u0438\u0448\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432. \u0427\u0442\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435? \u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n

    \n
  1. \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0435\u0439: \u0420\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0435 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b.<\/li>\n
  2. \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u043e\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u044b \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u044b \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432 \u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439.<\/li>\n
  3. \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044b \u043e\u0442 \u0438\u0440\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0422\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b<\/a> \u2014 \u0421\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043e\u043a \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f\u043c\u0438 \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u043a \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430\u043c.<\/li>\n<\/ol>\n

    \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c: \u041e\u0442 \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0421\u0445\u0435\u043c\u044b \u0434\u043e \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u041a\u043e\u0434\u0430<\/h2>\n

    \u0423\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c? \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435. \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439<\/a>, \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0438 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439.<\/p>\n

    Pascal<\/em>, Python<\/em><\/a>, JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 C++<\/em> \u2014 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u0437\u0430 \u0432\u0430\u043c\u0438. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c.<\/p>\n

    \"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    \u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u043e\u0432. \u0415\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u0434\u044b\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3704,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[537],"tags":[548,180,538,539,541],"class_list":["post-3680","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-integralnoe-ischislenie","tag-integrirovanie-po-chastyam","tag-matematicheskij-analiz","tag-neopredelennyj-integral","tag-pervoobraznaya-funkcii","tag-primery-integrirovaniya"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3680"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3680"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3680\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3687,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3680\/revisions\/3687"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3704"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3680"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3680"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3680"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}