{"id":3488,"date":"2026-07-09T12:25:06","date_gmt":"2026-07-09T12:25:06","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3488"},"modified":"2026-07-18T13:00:52","modified_gmt":"2026-07-18T13:00:52","slug":"uravnenie-kasatelnoy-i-normali-k-krivoy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/uravnenie-kasatelnoy-i-normali-k-krivoy.html","title":{"rendered":"\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u043a \u041a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"<p>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438. \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0438 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043e\u0441\u043e\u0431\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0438 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<h2>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439: \u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f, \u041a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u041d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \\( y=f(x) \\), \u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x_0 \\), \u0442\u043e \u044d\u0442\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/p>\n<p>\u0418\u0437 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \\( k \\), \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=k\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk=f'(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( f'(x_0) \\) \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c, \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \\( y=f(x) \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=f'(x_0)\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430? \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a\u0430\u043a \u0431\u044b <em>\u00ab\u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u00bb<\/em> \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439. \u0410 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( f'(x_0) \\) \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \\( f(x_0) \\), \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \\( f'(x_0) \\), \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x_0)=0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430 \u043e\u0441\u0438 \\( OX \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=f(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0442\u043c\u0435\u0442\u0438\u043c: \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u0442\u043e \u0435\u0435 \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u0441 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u044b\u043c \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=x_0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0442\u0432\u0435\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u0432 \u043a\u0430\u043a\u043e\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443? \u041d\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0435\u0449\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u043c\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438.<\/p>\n<h2>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438: \u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f, \u041f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u0438 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0442\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e. \u041f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u0442 <em>\u00ab\u0432\u0434\u043e\u043b\u044c\u00bb<\/em> \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u2014 <em>\u00ab\u043f\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u043a\u00bb<\/em> \u043d\u0435\u0435 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3492 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve1.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=f(x) \\), \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0 \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve1-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0447\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e? \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0441 \u043a\u0440\u0430\u0442\u0447\u0430\u0439\u0448\u0438\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435\u043c, \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044b \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u0445 \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u043d\u0435 \u0434\u0443\u0431\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e, \u0430 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0435\u0435.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk_t=f'(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u044d\u0442\u0438\u0445 \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u0445 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk_t\\cdot k_n=-1,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \\( k_n \\) \u2014 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438. \u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430, \u0435\u0441\u043b\u0438 \\( f'(x_0)\\neq 0 \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk_n=-\\frac{1}{f'(x_0)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \\( y=f(x) \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=-\\frac{1}{f'(x_0)}\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0438, \u0447\u0442\u043e \\( f'(x_0)\\neq 0 \\). \u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f: \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \\( f'(x_0) \\), \u0430 \u043d\u0430 \u043d\u043e\u043b\u044c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \\( f'(x_0)=0 \\), \u0442\u043e \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx=x_0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x=x_0 \\), \u0442\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=f(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e: \u043e\u043d\u0430 \u0434\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.<\/p>\n<h2>\u0423\u0433\u043e\u043b \u041c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u041a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438: \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0442\u043e \u0434\u0432\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445 \u0432 \u0438\u0445 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0434\u0432\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \\( y=f_1(x) \\) \u0438 \\( y=f_2(x) \\). \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u043e\u043d\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0(x_0,f_1(x_0)) \\). \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u044d\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0431\u0435\u0438\u043c \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c, \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf_1(x_0)=f_2(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u043e\u043c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0438\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a \u044d\u0442\u0438\u043c \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435. \u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434 \u0443\u0433\u043b\u043e\u043c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0438\u0445 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3494 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve2.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \\( y=f_1(x) \\) \u0438 \\( y=f_2(x) \\), \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0438\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( M_0 \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve2-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u043c\u0438 \u2014 \u0438\u0445 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438, \u0442\u043e \u0438\u0445 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk_1=f&#8217;_1(x_0), \\qquad k_2=f&#8217;_2(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\varphi)=\\left|\\frac{k_2-k_1}{1+k_1\\cdot k_2}\\right|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\varphi)=\\left|\\frac{f&#8217;_2(x_0)-f&#8217;_1(x_0)}{1+f&#8217;_1(x_0)\\cdot f&#8217;_2(x_0)}\\right|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0438\u0445 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u0443\u044e \u0440\u043e\u043b\u044c \u0438\u0433\u0440\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \\( f&#8217;_1(x_0) \\) \u0438 \\( f&#8217;_2(x_0) \\).<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1+f&#8217;_1(x_0)\\cdot f&#8217;_2(x_0)=0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( 90^\\circ \\).<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0434\u0430\u044e\u0442 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0427\u0430\u0441\u0442\u044c: \u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u0438 \u0423\u0433\u043e\u043b \u041c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u041a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0430 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0438 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u0421\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \\( y=5\\cdot x^3+3\\cdot x \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0(1,8) \\)<\/h3>\n<p>\u041f\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \\( x_0=1 \\). \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x_0)=f(1)=5\\cdot 1^3+3\\cdot 1=8.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( M_0(1,8) \\) \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x_0=1 \\). \u0414\u043b\u044f \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-funkcii.html\">\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/a>:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(1)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(1)=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{5\\cdot(1+h)^3+3\\cdot(1+h)-8}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438 \u0438 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(1)=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{18\\cdot h+15\\cdot h^2+5\\cdot h^3}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \\( h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(1)=\\lim_{h\\to 0}(18+15\\cdot h+5\\cdot h^2)=18.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( k=f'(1)=18 \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=f'(x_0)\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \\( x_0=1 \\), \\( f(x_0)=8 \\), \\( f'(x_0)=18 \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-8=18\\cdot(x-1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=18\\cdot x-10.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( f'(1)=18\\neq 0 \\), \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=-\\frac{1}{f'(x_0)}\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-8=-\\frac{1}{18}\\cdot(x-1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=-\\frac{1}{18}\\cdot x+\\frac{145}{18}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( y-8=18\\cdot(x-1) \\), \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( y-8=-\\frac{1}{18}\\cdot(x-1) \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u0421\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=-3\\cdot x^2+5 \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M(-1,5) \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( M(-1,5) \\) \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0430 \u043b\u0438\u0448\u044c \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u043e\u0439 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3500 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve3.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=-3\\cdot x^2+5 \\) \u0438 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M(-1,5) \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve3.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve3-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( x_0 \\) \u2014 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=-3\\cdot x^2+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x_0)=-3\\cdot x_0^2+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=-6\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x_0)=-6\\cdot x_0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0441 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441\u043e\u0439 \\( x_0 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=f'(x_0)\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-(-3\\cdot x_0^2+5)=-6\\cdot x_0\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny+3\\cdot x_0^2-5=-6\\cdot x_0\\cdot(x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny+3\\cdot x_0^2-5=-6\\cdot x\\cdot x_0+6\\cdot x_0^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \\( y \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=3\\cdot x_0^2-6\\cdot x\\cdot x_0+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043d\u043e \u043e\u043d\u043e \u0435\u0449\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440 \\( x_0 \\). \u041a\u0430\u043a \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438? \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M(-1,5) \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \\( x=-1 \\), \\( y=5 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n5=3\\cdot x_0^2-6\\cdot(-1)\\cdot x_0+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n5=3\\cdot x_0^2+6\\cdot x_0+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u0432\u0441\u0435 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot x_0^2+6\\cdot x_0=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot x_0\\cdot(x_0+2)=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f: \\( x_0=0 \\) \u0438\u043b\u0438 \\( x_0=-2 \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \\( x_0=0 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=3\\cdot 0^2-6\\cdot x\\cdot 0+5=5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \\( x_0=-2 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=3\\cdot(-2)^2-6\\cdot x\\cdot(-2)+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=12+12\\cdot x+5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=12\\cdot x+17.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0432\u0438\u0434 \\( y=5 \\) \u0438 \\( y=12\\cdot x+17 \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438, \u043f\u043e\u0434 \u043a\u0430\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \\( y=f_1(x)=x^2 \\) \u0438 \\( y=f_2(x)=x^3 \\)<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0432\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2=x^3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u0432\u0441\u0435 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^3-x^2=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2\\cdot(x-1)=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \\( x=0 \\) \u0438\u043b\u0438 \\( x=1 \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f: \\( O(0,0) \\) \u0438 \\( M(1,1) \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf&#8217;_1(x)=2\\cdot x, \\qquad f&#8217;_2(x)=3\\cdot x^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( O(0,0) \\). \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf&#8217;_1(0)=2\\cdot 0=0, \\qquad f&#8217;_2(0)=3\\cdot 0^2=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a \u043e\u0431\u0435\u0438\u043c \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( O(0,0) \\) \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442. \u041e\u0431\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043e\u0441\u044c\u044e \\( OX \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( 0^\\circ \\).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3502 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve4.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \\( y=x^2 \\) \u0438 \\( y=x^3 \\), \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M(1,1) \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve4.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve4-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M(1,1) \\). \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk_1=f&#8217;_1(1)=2\\cdot 1=2, \\qquad k_2=f&#8217;_2(1)=3\\cdot 1^2=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0438\u0445 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438. \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\varphi)=\\left|\\frac{k_2-k_1}{1+k_1\\cdot k_2}\\right|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \\( k_1=2 \\), \\( k_2=3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\varphi)=\\left|\\frac{3-2}{1+2\\cdot 3}\\right|.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\varphi)=\\frac{1}{7}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\varphi=\\arctan\\left(\\frac{1}{7}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0443\u0433\u043e\u043b \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u0430\u0445, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \\( \\varphi\\approx 8.13^\\circ \\).<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \\( y=x^2 \\) \u0438 \\( y=x^3 \\) \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( O(0,0) \\) \u043f\u043e\u0434 \u0443\u0433\u043b\u043e\u043c \\( 0^\\circ \\), \u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M(1,1) \\) \u043f\u043e\u0434 \u0443\u0433\u043b\u043e\u043c \\( 8.13^\\circ \\).<\/p>\n<h2>\u0427\u0442\u043e \u0418\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u0438 \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438. \u041e\u043d\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u0432 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 <a title=\"\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430<\/a>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u044d\u0442\u0438 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u044e\u0442 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravila-differencirovaniya-i-tablica-proizvodnyh.html\">\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u0445 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0438 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-neyavnoy-funktsii.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043d\u043e, \u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u041a\u043e\u0434\u0435: \u041e\u0442 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043a \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0435<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443 \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442. \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u0430\u0445. \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>C++<\/em>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u0432\u0430\u043c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0438\u0442\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0430 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3510 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve5.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\" width=\"660\" height=\"452\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve5.jpg 660w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/equation-of-a-tangent-line-and-equation-of-a-normal-line-to-a-curve5-300x205.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 660px) 100vw, 660px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u043a \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438. \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3512,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[519,180,512,533,534],"class_list":["post-3488","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-zadachi-na-proizvodnuyu","tag-matematicheskij-analiz","tag-proizvodnaya-funkcii","tag-uravnenie-kasatelnoj","tag-uravnenie-normali"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3488"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3488"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3488\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3491,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3488\/revisions\/3491"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3512"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3488"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3488"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3488"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}