{"id":3391,"date":"2026-06-25T12:27:46","date_gmt":"2026-06-25T12:27:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3391"},"modified":"2026-07-18T13:00:52","modified_gmt":"2026-07-18T13:00:52","slug":"logarifmicheskoe-differencirovanie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/logarifmicheskoe-differencirovanie.html","title":{"rendered":"\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"<p>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f <a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-funkcii.html\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/a>, \u043f\u0440\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0417\u0430\u0447\u0435\u043c \u043d\u0443\u0436\u0435\u043d \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433? \u041e\u043d \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u2014 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430.<\/p>\n<p>\u0411\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0433\u043e\u0440\u0430\u0437\u0434\u043e \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u0435\u043d, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438. \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0435\u0451 \u043a \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c.<\/p>\n<h2>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430<\/h2>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( y=f(x) \\). \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \\( f(x)&gt;0 \\) \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u043d\u0430\u0441 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0438 \u043a \u043e\u0431\u0435\u0438\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c<\/a>:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(y\\bigr)=\\ln\\bigl(f(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\). \u0412\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \\( y \\) \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \\( \\ln\\bigl(y\\bigr) \\) \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438<\/a>:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(y\\bigr)\\right)=\\frac{1}{y}\\cdot\\frac{dy}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{y}\\cdot\\frac{dy}{dx}=\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043d\u0430 \\( y \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=y\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( y=f(x) \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=f(x)\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0451 \u043d\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438. \u0412\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c, \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0440\u043e\u043b\u044c \u0432 \u043d\u0435\u0439 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f: \\( \\ln\\bigl(|y|\\bigr)=\\ln\\bigl(|f(x)|\\bigr) \\). \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(|y|\\bigr)\\right)=\\frac{1}{y}\\cdot\\frac{dy}{dx},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435, \u0433\u0434\u0435 \\( f(x)\\ne0 \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{y}\\cdot\\frac{dy}{dx}=\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(|f(x)|\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043d\u0430 \\( y=f(x) \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=f(x)\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(|f(x)|\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0435\u0434\u043b\u0438\u0432\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0430\u0445, \u0433\u0434\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0438 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<h2>\u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432: \u0423\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0421\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439<\/h2>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043b\u0438\u0448\u043d\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433. \u041d\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043e\u043d \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u0435\u0451 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442? \u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( u(x)&gt;0 \\) \u0438 \\( v(x)&gt;0 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(u(x)\\cdot v(x)\\bigr)=\\ln\\bigl(u(x)\\bigr)+\\ln\\bigl(v(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( u(x)&gt;0 \\) \u0438 \\( v(x)&gt;0 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\left(\\frac{u(x)}{v(x)}\\right)=\\ln\\bigl(u(x)\\bigr)-\\ln\\bigl(v(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( u(x)&gt;0 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(u(x)^{v(x)}\\bigr)=v(x)\\cdot\\ln\\bigl(u(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0443 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\). \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0433\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-proizvedeniya-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a>.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=f(x)=u(x)^{\\alpha(x)}\\cdot v(x)^{\\beta(x)},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \\( u(x)&gt;0 \\) \u0438 \\( v(x)&gt;0 \\). \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\alpha(x)\\cdot\\ln\\bigl(u(x)\\bigr)+\\beta(x)\\cdot\\ln\\bigl(v(x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=u(x)^{\\alpha(x)}\\cdot v(x)^{\\beta(x)}\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(\\alpha(x)\\cdot\\ln\\bigl(u(x)\\bigr)+\\beta(x)\\cdot\\ln\\bigl(v(x)\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<h2>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u041d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0438\u0434\u0430. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f: \u043e\u0442 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u0434\u043e \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u0438 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=x^x \\) (\\( x&gt;0 \\))<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \\( x \\) \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438. \u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \\( (x^n)&#8217;=n\\cdot x^{n-1} \\) \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043e\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \\( n \\).<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( f(x)=x^x \\). \u041f\u0440\u043e\u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\ln\\bigl(x^x\\bigr)=x\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=f(x)\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=x^x\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr) \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043d\u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=x&#8217;\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)+x\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( x&#8217;=1 \\), \u0430 \\( \\left(\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=\\dfrac{1}{x} \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=1\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)+x\\cdot\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=\\ln\\bigl(x\\bigr)+1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=x^x\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x\\bigr)+1\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\bigl(x^2+1\\bigr)^x \\)<\/h3>\n<p>\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \\( x^2+1 \\) \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\), \u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439. \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( x^2+1&gt;0 \\) \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \\( x \\), \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( f(x)=\\bigl(x^2+1\\bigr)^x \\). \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\ln\\left(\\bigl(x^2+1\\bigr)^x\\right)=x\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\bigl(x^2+1\\bigr)^x\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0430\u0445 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \\( x \\) \u0438 \\( \\ln\\bigl(x^2+1\\bigr) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=x&#8217;\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)+x\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\ln\\bigl(x^2+1\\bigr) \\) \u2014 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u2014 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( x^2+1 \\). \u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=\\frac{1}{x^2+1}\\cdot\\left(x^2+1\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( \\left(x^2+1\\right)&#8217;=2\\cdot x \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=\\frac{2\\cdot x}{x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=1\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)+x\\cdot\\frac{2\\cdot x}{x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)+\\frac{2\\cdot x^2}{x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\bigl(x^2+1\\bigr)^x\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)+\\frac{2\\cdot x^2}{x^2+1}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=x^{\\sin(x)} \\) (\\( x&gt;0 \\))<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( x \\), \u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\sin(x) \\). \u041e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\).<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( f(x)=x^{\\sin(x)} \\). \u041f\u0440\u043e\u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\ln\\left(x^{\\sin(x)}\\right)=\\sin(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=x^{\\sin(x)}\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(\\sin(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \\( \\sin(x) \\) \u0438 \\( \\ln\\bigl(x\\bigr) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\sin(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=\\left(\\sin(x)\\right)&#8217;\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)+\\sin(x)\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( \\left(\\sin(x)\\right)&#8217;=\\cos(x) \\), \u0430 \\( \\left(\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=\\dfrac{1}{x} \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\sin(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=\\cos(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)+\\sin(x)\\cdot\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\sin(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=\\cos(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)+\\frac{\\sin(x)}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e. \u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=x^{\\sin(x)}\\cdot\\left(\\cos(x)\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)+\\frac{\\sin(x)}{x}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{\\bigl(x^2+1\\bigr)^3\\cdot\\sqrt{x-1}}{x^4} \\) (\\( x&gt;1 \\))<\/h3>\n<p>\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439. \u0415\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c, \u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0433\u0440\u043e\u043c\u043e\u0437\u0434\u043a\u0438\u043c\u0438. \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443, \u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u2014 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\frac{\\bigl(x^2+1\\bigr)^3\\cdot\\sqrt{x-1}}{x^4}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\ln\\left(\\frac{\\bigl(x^2+1\\bigr)^3\\cdot\\sqrt{x-1}}{x^4}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\ln\\left(\\bigl(x^2+1\\bigr)^3\\right)+\\ln\\bigl(\\sqrt{x-1}\\bigr)-\\ln\\bigl(x^4\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( \\sqrt{x-1}=\\bigl(x-1\\bigr)^{\\frac{1}{2}} \\), \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=3\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)+\\frac{1}{2}\\cdot\\ln\\bigl(x-1\\bigr)-4\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\frac{\\bigl(x^2+1\\bigr)^3\\cdot\\sqrt{x-1}}{x^4}\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(3\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)+\\frac{1}{2}\\cdot\\ln\\bigl(x-1\\bigr)-4\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(3\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=3\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(3\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=3\\cdot\\frac{1}{x^2+1}\\cdot\\left(x^2+1\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( \\left(x^2+1\\right)&#8217;=2\\cdot x \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(3\\cdot\\ln\\bigl(x^2+1\\bigr)\\right)&#8217;=\\frac{6\\cdot x}{x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\frac{1}{2}\\cdot\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)&#8217;=\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{x-1}\\cdot\\left(x-1\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( \\left(x-1\\right)&#8217;=1 \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\frac{1}{2}\\cdot\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)&#8217;=\\frac{1}{2\\cdot(x-1)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0433\u043e \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(-4\\cdot\\ln\\bigl(x\\bigr)\\right)&#8217;=-4\\cdot\\frac{1}{x}=-\\frac{4}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{6\\cdot x}{x^2+1}+\\frac{1}{2\\cdot(x-1)}-\\frac{4}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\frac{\\bigl(x^2+1\\bigr)^3\\cdot\\sqrt{x-1}}{x^4}\\cdot\\left(\\frac{6\\cdot x}{x^2+1}+\\frac{1}{2\\cdot(x-1)}-\\frac{4}{x}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)^{x^2} \\) (\\( x&gt;1 \\))<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\). \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0432 \u0435\u0433\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)^{x^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=\\ln\\left(\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)^{x^2}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=x^2\\cdot\\ln\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(f(x)\\bigr)=x^2\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)^{x^2}\\cdot\\frac{d}{dx}\\left(x^2\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u043c \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( x^2 \\), \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u2014 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432. \u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x^2\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)\\right)&#8217;=\\left(x^2\\right)&#8217;\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)+x^2\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043f\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e. \u041e\u0431\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)\\right)&#8217;=\\dfrac{1}{x+1}\\cdot\\left(x+1\\right)&#8217;=\\dfrac{1}{x+1},\\\\[4pt]<br \/>\n\\left(\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)&#8217;=\\dfrac{1}{x-1}\\cdot\\left(x-1\\right)&#8217;=\\dfrac{1}{x-1}.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)&#8217;=\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( \\left(x^2\\right)&#8217;=2\\cdot x \\), \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(x^2\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)\\right)&#8217;=2\\cdot x\\cdot\\left(\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)\\right)+x^2\\cdot\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x-1}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\bigl(x+1\\bigr)-\\ln\\bigl(x-1\\bigr)=\\ln\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0440\u043e\u0431\u0435\u0439. \u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0438\u0445 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x-1}=\\frac{x-1-(x+1)}{(x+1)\\cdot(x-1)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( x-1-x-1=-2 \\), \u0430 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \\( (x+1)\\cdot(x-1)=x^2-1 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x-1}=-\\frac{2}{x^2-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot x\\cdot\\ln\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)-\\frac{2\\cdot x^2}{x^2-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)^{x^2}\\cdot\\left(2\\cdot x\\cdot\\ln\\left(\\frac{x+1}{x-1}\\right)-\\frac{2\\cdot x^2}{x^2-1}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433 \u0432 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434. \u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-stepeni-proizvodnaya.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u043c \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0435\u0451 \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-pokazatelnoy-funktsii.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0442\u0438\u043f\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f \u0435\u0451 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u0438 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u041e\u0442 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043a \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433 \u0432\u043f\u0435\u0440\u0451\u0434: \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u0440\u0443\u0447\u043d\u0443\u044e, \u0430 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435. \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( x^x \\) \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b \u043d\u0430 \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>C++<\/em>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u0432\u0430\u043c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3412 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/logarithmic-differentiation1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\" width=\"600\" height=\"240\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/logarithmic-differentiation1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/logarithmic-differentiation1-300x120.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043f\u0440\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0417\u0430\u0447\u0435\u043c \u043d\u0443\u0436\u0435\u043d \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433? \u041e\u043d<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3414,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[519,526,180,512,527],"class_list":["post-3391","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-zadachi-na-proizvodnuyu","tag-logarifmicheskoe-differencirovanie","tag-matematicheskij-analiz","tag-proizvodnaya-funkcii","tag-proizvodnaya-cherez-logarifmirovanie"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3391"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3391"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3391\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3413,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3391\/revisions\/3413"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3414"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3391"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3391"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3391"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}