{"id":3343,"date":"2026-06-19T12:59:47","date_gmt":"2026-06-19T12:59:47","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3343"},"modified":"2026-07-18T13:00:52","modified_gmt":"2026-07-18T13:00:52","slug":"proizvodnaya-neyavnoy-funktsii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-neyavnoy-funktsii.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041a\u0430\u043a \u0420\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f <a title=\"\u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/a> \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \\( x \\) \u0438 \\( y \\) \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \\( y=f(x) \\), \u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0431\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0430\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u044f\u0432\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \\( y \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\). \u0427\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u0438? \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u0418\u0434\u0435\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430. \u041c\u044b \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \\( y \\) \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\), \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\) \u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e. \u0411\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044f\u043c\u0438, \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0441\u0430\u043c\u0438, \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438 \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044f\u043c\u0438.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430<\/h2>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \\( x \\) \u2014 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u0430 \\( y \\) \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043e\u0442 \\( x \\). \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0444\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( y=y(x) \\). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( F(x,y) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e \\( x \\) \u0438 \u043f\u043e \\( y \\), \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \\( F_y(x,y)\\ne 0 \\), \u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( F_x(x,y) \\) \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( F \\) \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\), \u0430 \\( F_y(x,y) \\) \u2014 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( y \\). \u0412\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c: \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \\( F_x \\), \u0442\u043e \\( y \\) \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439. \u0410 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \\( F_y \\), \u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \\( x \\).<\/p>\n<blockquote><p>\u0423\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \\( F_y(x,y)\\ne 0 \\) \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \\( y \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u044d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( F_y(x,y)=0 \\), \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0442\u0430\u043a\u0443\u044e \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p><\/blockquote>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430\u043c \u043d\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0442\u044c \\( y \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\). \u0414\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0434\u0432\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u044d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h2>\u0412\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b: \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u041f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u041c\u0438\u043d\u0443\u0441<\/h2>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( y \\) \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\), \u044d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y(x))=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0432\u0435\u0449\u044c. \u041b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043e\u0442 \\( x \\), \u0445\u043e\u0442\u044f \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0432\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435. \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \\( x \\) \u0432\u043b\u0438\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430 \\( F \\) \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c\u0438: \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0430\u043c\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\) \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( y(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u0430 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \\( x \\). <a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-funkcii.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/a> \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\( 0 \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439. \u0414\u043b\u044f \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438<\/a> \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x(x,y)\\cdot \\frac{dx}{dx}+F_y(x,y)\\cdot \\frac{dy}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( F \\), \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \\( x \\). \u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \\( F_x(x,y)\\cdot \\dfrac{dx}{dx} \\) \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( F \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\). \u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \\( F_y(x,y)\\cdot \\dfrac{dy}{dx} \\) \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( F \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( y \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dx}{dx}=1,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x(x,y)+F_y(x,y)\\cdot \\frac{dy}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e \\( F_x(x,y) \\), \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \\( \\dfrac{dy}{dx} \\), \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \\( y \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043e\u0442 \\( x \\). \u042d\u0442\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0432\u0435\u0434\u044c \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u044b \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_x(x,y)+F_y(x,y)\\cdot \\frac{dy}{dx}=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435. \u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0451\u043c \\( F_x(x,y) \\) \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)\\cdot \\frac{dy}{dx}=-F_x(x,y).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043d\u0430 \\( F_y(x,y) \\). \u042d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0438, \u0447\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)\\ne 0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0437 \u043b\u0438\u0448\u043d\u0438\u0445 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439. \u0413\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u2014 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \\( y \\) \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041e\u043d\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \\( y \\), \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\dfrac{dy}{dx} \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u044b\u043c \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0430 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445. \u0412 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u043e: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( F(x,y) \\), \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( F_x \\), \\( F_y \\), \u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438\u0445 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443.<\/p>\n<blockquote><p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0434\u043b\u044f \u0442\u0435\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0433\u0434\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u042d\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \\( F_y(x,y)\\ne 0 \\).<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( x^2+y^2=25 \\)<\/h3>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0412 \u043d\u0451\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \\( y \\) \u044f\u0432\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0451\u043c \u0432\u0441\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0432 \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx^2+y^2-25=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=x^2+y^2-25.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e \\( x \\), \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044f \\( y \\) \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_x(x,y)=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e \\( y \\), \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044f \\( x \\) \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)=2\\cdot y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{2\\cdot x}{2\\cdot y}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \\( 2 \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{x}{y}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( x\\cdot y+y^2=x^2+1 \\)<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \\( F(x,y)=0 \\). \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0451\u043c \u0432\u0441\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0432 \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx\\cdot y+y^2-x^2-1=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=x\\cdot y+y^2-x^2-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \\( x \\). \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \\( y \\) \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \\( x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( y \\), \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( y^2 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( -x^2 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( -2\\cdot x \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_x(x,y)=y-2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \\( y \\). \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443\u0436\u0435 \\( x \\) \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( x \\), \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( y^2 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 2\\cdot y \\). \u0418\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)=x+2\\cdot y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{y-2\\cdot x}{x+2\\cdot y}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\frac{2\\cdot x-y}{x+2\\cdot y}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( x^3+y^3-3\\cdot x\\cdot y=0 \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043e \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \\( F(x,y)=0 \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=x^3+y^3-3\\cdot x\\cdot y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \\( x \\). \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( y \\) \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x^3 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 3\\cdot x^2 \\), \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( y^3 \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( -3\\cdot x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( -3\\cdot y \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_x(x,y)=3\\cdot x^2-3\\cdot y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \\( y \\). \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \\( x \\). \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x^3 \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( y^3 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 3\\cdot y^2 \\), \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( -3\\cdot x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( -3\\cdot x \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)=3\\cdot y^2-3\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{3\\cdot x^2-3\\cdot y}{3\\cdot y^2-3\\cdot x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \\( 3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{3\\cdot (x^2-y)}{3\\cdot (y^2-x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \\( 3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{x^2-y}{y^2-x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\frac{y-x^2}{y^2-x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\sin(x\\cdot y)+x^2-y=0 \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=\\sin(x\\cdot y)+x^2-y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( F_x(x,y) \\). \u041f\u0440\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043f\u043e \\( x \\) \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( y \\) \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \\( \\sin(x\\cdot y) \\). \u042d\u0442\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0443 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \\( x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( x \\). \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( y \\) \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( y \\). \u0418\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_x(x,y)=y\\cdot\\cos(x\\cdot y)+2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( F_y(x,y) \\). \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443\u0436\u0435 \\( x \\) \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( \\sin(x\\cdot y) \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( x\\cdot\\cos(x\\cdot y) \\), \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( x \\). \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x^2 \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( -y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( -1 \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)=x\\cdot \\cos(x\\cdot y)-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{y\\cdot \\cos(x\\cdot y)+2\\cdot x}{x\\cdot \\cos(x\\cdot y)-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( e^{x+y}+x^2\\cdot y-y^2=0 \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x^2\\cdot y \\). \u041d\u043e \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c \u0436\u0435. \u0417\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF(x,y)=e^{x+y}+x^2\\cdot y-y^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \\( x \\). \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( y \\) \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( e^{x+y} \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( e^{x+y} \\), \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \\( x+y \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 1 \\). \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x^2\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 2\\cdot x\\cdot y \\), \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( -y^2 \\) \u043f\u043e \\( x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_x(x,y)=e^{x+y}+2\\cdot x\\cdot y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \\( y \\). \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\) \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( e^{x+y} \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( e^{x+y} \\), \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x+y \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 1 \\). \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x^2\\cdot y \\) \u043f\u043e \\( y \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( x^2 \\), \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( -y^2 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( -2\\cdot y \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_y(x,y)=e^{x+y}+x^2-2\\cdot y.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=-\\frac{e^{x+y}+2\\cdot x\\cdot y}{e^{x+y}+x^2-2\\cdot y}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u041a\u0443\u0434\u0430 \u0414\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u043c \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c, \u0433\u0434\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0451\u043c\u044b. \u0422\u0430\u043a \u043b\u0435\u0433\u0447\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravila-differencirovaniya-i-tablica-proizvodnyh.html\">\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f<\/a> \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-pokazatelnoy-funktsii.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e \u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0432 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440.<\/li>\n<li><a title=\"\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445, \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u0438 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041e\u0442 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043a \u041a\u043e\u0434\u0443<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0442\u043e \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e, \u043d\u043e \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0432\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u2014 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>C++<\/em>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c. \u0422\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0432 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3364 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/implicit-differentiation1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c\" width=\"776\" height=\"420\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/implicit-differentiation1.jpg 776w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/implicit-differentiation1-300x162.jpg 300w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/implicit-differentiation1-768x416.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 776px) 100vw, 776px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \\( x \\) \u0438 \\( y \\) \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3366,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[519,180,524,523,512],"class_list":["post-3343","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-zadachi-na-proizvodnuyu","tag-matematicheskij-analiz","tag-neyavnoe-differencirovanie","tag-proizvodnaya-neyavnoj-funkcii","tag-proizvodnaya-funkcii"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3343"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3343"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3343\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3367,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3343\/revisions\/3367"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3366"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3343"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3343"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3343"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}