{"id":3286,"date":"2026-06-11T12:15:00","date_gmt":"2026-06-11T12:15:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3286"},"modified":"2026-07-18T13:00:53","modified_gmt":"2026-07-18T13:00:53","slug":"pravila-differencirovaniya-i-tablica-proizvodnyh","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravila-differencirovaniya-i-tablica-proizvodnyh.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u041f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043a \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445"},"content":{"rendered":"<p><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-funkcii.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/a> \u2014 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0439 <a title=\"\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430<\/a>. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0435\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b \u2014 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445. \u041e\u043d\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0441\u0443\u043c\u043c, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u041a\u0430\u043a \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e? \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0430 \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0438\u043b\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f: \u041a\u0430\u043a \u0420\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0412\u0438\u0434\u0430\u043c\u0438 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043d\u0435 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0430 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b. \u042d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443. \u0412\u0435\u0434\u044c \u0437\u0430\u0447\u0435\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0443, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0443\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b?<\/p>\n<h3>\u0411\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u0421\u0430\u043c\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( C \\) \u2014 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e: \\( (C)&#8217;=0 \\). \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0435\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\), \\( v(x) \\), \\( z(x) \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b \u0432 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x \\), \u0442\u043e \u0438\u0445 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(u(x)\\pm v(x)\\pm z(x))&#8217;=u'(x)\\pm v'(x)\\pm z'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u0430\u0447\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u043a\u0430\u0436\u0434\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^3+\\sin(x)-5 \\), \u0442\u043e \u043c\u044b \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \\( x^3 \\), \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \\( \\sin(x) \\), \u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0430\u044f \\( -5 \\) \u0434\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044c. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b.<\/p>\n<h3>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e<\/h3>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u2014 <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-proizvedeniya-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\) \u0438 \\( v(x) \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x \\), \u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(u(x)\\cdot v(x))&#8217;=u'(x)\\cdot v(x)+u(x)\\cdot v'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435: \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \\( (u(x)\\cdot v(x))&#8217;\\neq u'(x)\\cdot v'(x) \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u2014 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( C \\) \u2014 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \\( (C\\cdot v(x))&#8217;=C\\cdot v'(x) \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0437\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\) \u0438 \\( v(x) \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x \\), \u043f\u0440\u0438\u0447\u0435\u043c \\( v(x)\\neq 0 \\), \u0442\u043e <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-chastnogo-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e<\/a> \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\frac{u(x)}{v(x)}\\right)&#8217;=<br \/>\n\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u0435\u0435, \u043d\u043e \u0435\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f. \u0412 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 \\( \\frac{C}{v(x)} \\), \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\frac{C}{v(x)}\\right)&#8217;=<br \/>\n-\\frac{C\\cdot v'(x)}{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 \\( \\frac{u(x)}{C} \\), \u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( \\frac{u'(x)}{C} \\). \u042d\u0442\u043e \u0435\u0449\u0435 \u0440\u0430\u0437 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<h3>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/h3>\n<p>\u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0433\u0434\u0435 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u00ab\u0432\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0430\u00bb \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0438\u0434\u0430 \\( \\ln(x^2+1) \\), \\( \\sin(3\\cdot x) \\), \\( (2\\cdot x+5)^4 \\).<\/p>\n<p>\u0412 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/a>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( g(x) \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x \\), \u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( g(x) \\), \u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(g(x)) \\) \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(f(g(x)))&#8217;=f'(g(x))\\cdot g'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438? \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043d\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044e\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\ln(x^2+1) \\) \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u2014 \\( x^2+1 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \\( (\\ln(x^2+1))&#8217; \\) \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0435\u0449\u0435 \u0443\u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( x^2+1 \\).<\/p>\n<h2>\u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u042d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043e\u043d\u0430 \u0442\u0430\u043a \u0432\u0430\u0436\u043d\u0430? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u041d\u043e \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0435\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( x^n \\), \\( \\sin(x) \\), \\( \\ln(x) \\), \\( e^x \\) \u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0443.<\/p>\n<table class=\"simple-table\">\n<thead>\n<tr>\n<th>\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f<\/th>\n<th>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\( C,\\ C\\in\\mathbb{R} \\)<\/td>\n<td>\\( (C)&#8217;=0 \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( x^n \\)<\/td>\n<td>\\( (x^n)&#8217;=n\\cdot x^{n-1} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\sqrt{x} \\)<\/td>\n<td>\\( (\\sqrt{x})&#8217;=\\frac{1}{2\\cdot\\sqrt{x}} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\frac{1}{x} \\)<\/td>\n<td>\\( \\left(\\frac{1}{x}\\right)&#8217;=-\\frac{1}{x^2} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\sin(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\sin(x))&#8217;=\\cos(x) \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\cos(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\cos(x))&#8217;=-\\sin(x) \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\tan(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\tan(x))&#8217;=\\frac{1}{\\cos^2(x)} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\cot(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\cot(x))&#8217;=-\\frac{1}{\\sin^2(x)} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( a^x \\)<\/td>\n<td>\\( (a^x)&#8217;=a^x\\cdot\\ln(a) \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( e^x \\)<\/td>\n<td>\\( (e^x)&#8217;=e^x \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\ln(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\ln(x))&#8217;=\\frac{1}{x} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\log_a(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\log_a(x))&#8217;=\\frac{1}{x\\cdot\\ln(a)} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\arcsin(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\arcsin(x))&#8217;=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\arccos(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\arccos(x))&#8217;=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\arctan(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\arctan(x))&#8217;=\\frac{1}{1+x^2} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\( \\operatorname{arccot}(x) \\)<\/td>\n<td>\\( (\\operatorname{arccot}(x))&#8217;=-\\frac{1}{1+x^2} \\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0432\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438: \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430, \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435, \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e. \u0418 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0438\u0437 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f\u0445. \u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0435\u0449\u0435 \u0434\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u2014 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438 \u2014 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0442\u044c. \u0420\u0430\u0437\u0432\u0435 \u043d\u0435 \u043b\u0435\u0433\u0447\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435, \u0430 \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e? \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u0431\u0435\u0436\u0430\u0442\u044c \u043b\u0438\u0448\u043d\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435. \u0412\u0435\u0434\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u044f\u0442\u0441\u044f \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445. \u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e, \u0430 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^5-3\\cdot x^2+7\\cdot x-10 \\)<\/h3>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b \u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=(x^5)&#8217;-(3\\cdot x^2)&#8217;+(7\\cdot x)&#8217;-(10)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445. \u0414\u043b\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \\( (x^n)&#8217;=n\\cdot x^{n-1} \\). \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n(x^5)&#8217;=5\\cdot x^4,<br \/>\n\\\\[4pt]<br \/>\n(3\\cdot x^2)&#8217;=3\\cdot (x^2)&#8217;=3\\cdot 2\\cdot x=6\\cdot x,<br \/>\n\\\\[4pt]<br \/>\n(7\\cdot x)&#8217;=7,<br \/>\n\\\\[4pt]<br \/>\n(10)&#8217;=0.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=5\\cdot x^4-6\\cdot x+7.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=(x^2+1)\\cdot \\sin(x) \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u2014 \\( x^2+1 \\), \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u2014 \\( \\sin(x) \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(u(x)\\cdot v(x))&#8217;=u'(x)\\cdot v(x)+u(x)\\cdot v'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( u(x)=x^2+1 \\), \u0430 \\( v(x)=\\sin(x) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\nu'(x)=(x^2+1)&#8217;=2\\cdot x,<br \/>\n\\\\[4pt]<br \/>\nv'(x)=(\\sin(x))&#8217;=\\cos(x).<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=2\\cdot x\\cdot \\sin(x)+(x^2+1)\\cdot \\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=2\\cdot x\\cdot \\sin(x)+(x^2+1)\\cdot \\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=\\frac{x^3+2\\cdot x}{x^2+1} \\)<\/h3>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(\\frac{u(x)}{v(x)}\\right)&#8217;=<br \/>\n\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( u(x) \\), \u0430 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( v(x) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\nu(x)=x^3+2\\cdot x,<br \/>\n\\\\[4pt]<br \/>\nv(x)=x^2+1.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435. \u0414\u043b\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu'(x)=(x^3+2\\cdot x)&#8217;=3\\cdot x^2+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=(x^2+1)&#8217;=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0432\u0441\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\frac{(3\\cdot x^2+2)\\cdot (x^2+1)-(x^3+2\\cdot x)\\cdot 2\\cdot x}{(x^2+1)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(3\\cdot x^2+2)\\cdot (x^2+1)=3\\cdot x^4+3\\cdot x^2+2\\cdot x^2+2=3\\cdot x^4+5\\cdot x^2+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(x^3+2\\cdot x)\\cdot 2\\cdot x=2\\cdot x^4+4\\cdot x^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot x^4+5\\cdot x^2+2-(2\\cdot x^4+4\\cdot x^2)=x^4+x^2+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=\\frac{x^4+x^2+2}{(x^2+1)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=\\ln(x^2+1) \\)<\/h3>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u2014 \\( x^2+1 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(f(g(x)))&#8217;=f'(g(x))\\cdot g'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044e\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ng(x)=x^2+1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \\( \\ln(g(x)) \\). \u0418\u0437 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \\( (\\ln(x))&#8217;=\\frac{1}{x} \\). \u041d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043f\u043e\u0434 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u043c \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \\( x \\), \u0430 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x^2+1 \\), \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0435\u0449\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ng'(x)=(x^2+1)&#8217;=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=\\frac{1}{x^2+1}\\cdot 2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=\\frac{2\\cdot x}{x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=\\frac{x^2-1}{x} \\)<\/h3>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0431\u044b \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041d\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u0442\u044c? \u041d\u0435\u0442. \u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043d\u0430 \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{x^2-1}{x}=\\frac{x^2}{x}-\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=x-\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043b\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=(x)&#8217;-\\left(\\frac{1}{x}\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \\( (x)&#8217;=1 \\), \u0430 \\( \\left(\\frac{1}{x}\\right)&#8217;=-\\frac{1}{x^2} \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=1-\\left(-\\frac{1}{x^2}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=1+\\frac{1}{x^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433 \u0432 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0434\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u043c \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u043c. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445. \u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435?<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0435\u0437 \u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0430 \u044f\u0432\u043d\u043e.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0420\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430 \u0441 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u043c<\/a> \u2014 \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u0435\u043c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0442 \u043d\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043e\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430, \u0430 \u043e\u0442 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0433\u043e \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0430.<\/li>\n<li><a title=\"\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043b\u044f \u0421\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u041a\u043e\u0434\u0430<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442. \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435: \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c, \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x \\), \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u042d\u0442\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0430\u044f \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0435, \u043d\u043e \u0438 \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435.<\/p>\n<p>\u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>JavaScript<\/em>, <em>C++<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f. \u0420\u0430\u0437\u0432\u0435 \u043d\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u0437\u0430\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0439 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442?<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3314 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/differentiation-rules-and-table-of-derivatives2.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c\" width=\"600\" height=\"263\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/differentiation-rules-and-table-of-derivatives2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/differentiation-rules-and-table-of-derivatives2-300x132.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u2014 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0435\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3316,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[519,180,521,512,522],"class_list":["post-3286","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-zadachi-na-proizvodnuyu","tag-matematicheskij-analiz","tag-pravila-differencirovaniya","tag-proizvodnaya-funkcii","tag-tablica-proizvodnyx"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3286"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3286"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3286\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3292,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3286\/revisions\/3292"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3316"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3286"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3286"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3286"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}