{"id":3229,"date":"2026-06-04T12:52:36","date_gmt":"2026-06-04T12:52:36","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3229"},"modified":"2026-06-04T13:52:38","modified_gmt":"2026-06-04T13:52:38","slug":"mehanichnyi-i-heometrychnyi-zmist-pohidnoi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/mehanichnyi-i-heometrychnyi-zmist-pohidnoi.html","title":{"rendered":"\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438 \u0421\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c"},"content":{"rendered":"<p>\u0422\u0435\u043c\u0430 <em>\u00ab\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\u00bb<\/em> \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e <a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/a> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0434\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043e\u0442 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0433\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443.<\/p>\n<h2>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0442\u043e\u043b\u043a\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0434\u0430\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( y=f(x) \\) \u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( M_0(x_0,f(x_0)) \\) \u043d\u0430 \u0435\u0451 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435. \u0427\u0442\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435? \u041e\u043d\u0430 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( M_0 \\).<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u044d\u0442\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \\( M(x_0+h,f(x_0+h)) \\). \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( M_0 \\) \u0438 \\( M \\) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0432 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043e\u0442 \\( x_0 \\) \u0434\u043e \\( x_0+h \\).<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3232 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative1.jpg\" alt=\"\u0418\u043b\u043b\u044e\u0441\u0442\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative1-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( k_{M_0M} \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk_{M_0M}=<br \/>\n\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( h \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430. \u0410 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( f(x_0+h)-f(x_0) \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0432 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( M \\) \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\), \u0430 \u0441\u0435\u043a\u0443\u0449\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M_0 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( k \\) \u0438 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0435\u0433\u043e \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}k_{M_0M}=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u0442\u043e \u043e\u043d \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x_0 \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}<br \/>\n=<br \/>\nf'(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u0441\u0438 \\( OX \\) \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( \\alpha \\), \u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( \\tan(\\alpha) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x_0)=\\tan(\\alpha).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u043c\u0443 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435. \u041f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0435\u0434\u0451\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438: \u043f\u043e\u0434\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u043b\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h2>\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0421\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0414\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0443. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439, \u0430 \u0435\u0451 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c \\( S=S(t) \\). \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \\( S \\) \u2014 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0432 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \\( t \\), \u0430 \\( t \\) \u2014 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \\( t \\) \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \\( M \\), \u0430 \u0432 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \\( t+h \\) \u2014 \u0432 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \\( M_1 \\). \u0417\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0435\u0451 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443 \\( S(t+h)-S(t) \\).<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3237 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative2.jpg\" alt=\"\u0418\u043b\u043b\u044e\u0441\u0442\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative2-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044e\u044e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( v_{MM_1} \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv_{MM_1}=<br \/>\n\\frac{S(t+h)-S(t)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438. \u041e\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0441 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u043b\u0430\u0441\u044c \u0432 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043e\u0442 \\( t \\) \u0434\u043e \\( t+h \\). \u041d\u043e \u0432 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u043a\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044e\u044e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442. \u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c?<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044f\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}v_{MM_1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv_{MM_1}=\\frac{S(t+h)-S(t)}{h},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{S(t+h)-S(t)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u0442\u043e \u043e\u043d \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=S'(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0438\u0442\u043e\u0433 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u043c\u044b\u0441\u043b\u0438. \u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u0441\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0439 \u043a \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u0412 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u043a\u0435 \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u043e\u0431\u043e\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b.<\/p>\n<h2>\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043e\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0438 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=5\\cdot x^3+3\\cdot x \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0441 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441\u043e\u0439 \\( 1 \\)<\/h3>\n<p>\u0418\u0437 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c: \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \\( f'(1) \\).<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\left(5\\cdot x^3+3\\cdot x\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c <a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-stepeni-proizvodnaya.html\">\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/a>:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n5\\cdot 3x^2+3=<br \/>\n15\\cdot x^2+3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \\( x=1 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk=f'(1)=<br \/>\n15\\cdot 1^2+3=<br \/>\n15+3=<br \/>\n18.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \\( k=18 \\). \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0441 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441\u043e\u0439 \\( 1 \\) \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0440\u0435\u0437\u043a\u043e \u043f\u043e\u0434\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0432\u0435\u0440\u0445.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u043e\u0441\u0438 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=-\\frac{1}{x} \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M(1,-1) \\)<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3244 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative3.jpg\" alt=\"\u0418\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=-\\frac{1}{x} \\) \u0438 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( M(1,-1) \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative3.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative3-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u043c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( x=1 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(1)=-\\frac{1}{1}=-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( M(1,-1) \\) \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443.<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( \\alpha \\) \u2014 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043e\u0441\u0438 \\( OX \\), \u0442\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\alpha)=f'(x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \\( x_0=1 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)=<br \/>\n-\\frac{1}{x}<br \/>\n=<br \/>\n-x^{-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\left(-x^{-1}\\right)&#8217;=<br \/>\nx^{-2}=<br \/>\n\\frac{1}{x^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x=1 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(1)=<br \/>\n\\frac{1}{1^2}=<br \/>\n1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(\\alpha)=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0443\u0433\u043e\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\alpha=<br \/>\n\\arctan(1)=<br \/>\n\\frac{\\pi}{4}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u043e\u0441\u0438 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( \\frac{\\pi}{4} \\). \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u0441\u0438 \\( OX \\) \u0443\u0433\u043e\u043b \\( 45^\\circ \\). \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( 1 \\), \u0430 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d, \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u0414\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \\( S(t)=t^2-6\\cdot t-3 \\). \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \\( S(t) \\), \u0442\u043e \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=S'(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( S(t) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=<br \/>\nS'(t)=<br \/>\n\\left(t^2-6\\cdot t-3\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=<br \/>\n2\\cdot t-6.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot t-6=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0435\u0448\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n2\\cdot t=6,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nt=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e \u0432 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \\( t=3 \\).<br \/>\n\u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u043a\u0435? \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430, \u0445\u043e\u0442\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^2-4\\cdot x+5 \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0441 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441\u043e\u0439 \\( 3 \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043d\u043e \u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c? \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u2014 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x=3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(3)=<br \/>\n3^2-4\\cdot 3+5=<br \/>\n9-12+5=<br \/>\n2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \\( M(3,2) \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\left(x^2-4\\cdot x+5\\right)&#8217;=<br \/>\n2\\cdot x-4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x=3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nk=f'(3)=<br \/>\n2\\cdot 3-4=<br \/>\n6-4=<br \/>\n2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( M(x_0,f(x_0)) \\) \u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \\( k \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-f(x_0)=<br \/>\nk\\cdot (x-x_0).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \\( x_0=3 \\), \\( f(x_0)=2 \\), \\( k=2 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-2=<br \/>\n2\\cdot (x-3).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny-2=<br \/>\n2\\cdot x-6.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u043c \\( 2 \\) \u043a \u043e\u0431\u0435\u0438\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=<br \/>\n2\\cdot x-4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=2\\cdot x-4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439. \u0410 \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u0414\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \\( S(t)=t^3-3\\cdot t^2+2\\cdot t+1 \\). \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 2 \\)<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u0435\u043d \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \\( S(t) \\), \u0442\u043e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=S'(t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( S(t) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=<br \/>\nS'(t)=<br \/>\n\\left(t^3-3\\cdot t^2+2\\cdot t+1\\right)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(t)=<br \/>\n3\\cdot t^2-6\\cdot t+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 2 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot t^2-6\\cdot t+2=2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0451\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u043b\u0438 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u044b\u0447\u0442\u0435\u043c \\( 2 \\) \u0438\u0437 \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot t^2-6\\cdot t=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 3\\cdot t \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot t\\cdot (t-2)=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0445\u043e\u0442\u044f \u0431\u044b \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\n3\\cdot t=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nt=0,<br \/>\n\\\\[4pt]<br \/>\nt-2=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nt=2.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 2 \\) \u0432 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \\( t=0 \\) \u0438 \\( t=2 \\).<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440? \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442. \u041e\u043d\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h2>\u0427\u0442\u043e \u0427\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b \u043f\u0440\u043e \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u043a\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0412\u0435\u0434\u044c \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u043a\u0430\u043a \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0435\u0451 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c?<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043a \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u044c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044e\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438, \u0430 \u043d\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0421\u043c\u044b\u0441\u043b \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041e\u0442 \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0421\u0445\u0435\u043c\u044b \u043a \u0421\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0435<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433: \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u042d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>C++<\/em>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u044f\u0437\u044b\u043a.<\/p>\n<p>\u0413\u043b\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430 \u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u0430: \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u044c \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0443\u0433\u043e\u043b \u0435\u0451 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a \u043e\u0441\u0438 \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0438\u0442\u0435 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044e, \u0430 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3255 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative4.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u0435\u0451 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430\" width=\"600\" height=\"223\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative4.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/mechanical-and-geometric-interpretation-of-the-derivative4-300x112.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0422\u0435\u043c\u0430 \u00ab\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\u00bb \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3257,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[517,519,180,518,516],"class_list":["post-3229","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-geometricheskij-smysl","tag-zadachi-na-proizvodnuyu","tag-matematicheskij-analiz","tag-mexanicheskij-smysl","tag-proizvodnaya"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3229"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3229"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3229\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3256,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3229\/revisions\/3256"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3257"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3229"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3229"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3229"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}