{"id":3160,"date":"2026-05-28T12:51:27","date_gmt":"2026-05-28T12:51:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3160"},"modified":"2026-05-28T14:51:36","modified_gmt":"2026-05-28T14:51:36","slug":"proizvodnaya-funkcii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-funkcii.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0428\u0430\u0433\u043e\u043c"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0439 <a title=\"\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430<\/a>. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0433\u043b\u0443\u0431\u043e\u043a\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442? \u041e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0433\u043e \u0438 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0432\u044b\u044f\u0441\u043d\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0431\u0435\u0437 \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0431\u0435\u0437 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445, \u0430 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b<\/h2>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( f(x) \\) \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0432 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( a \\). \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\), \u043d\u043e \u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445, \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0445 \u043a \u043d\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0440\u044f\u0434\u043e\u043c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \\( a \\) \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( a+h \\), \u0433\u0434\u0435 \\( h\\neq 0 \\). \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \\( h \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430. \u041f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u043c\u044b \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043c\u0435\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( a \\) \u0432\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043b\u0435\u0432\u043e.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3163 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/derivative-of-a-function1.jpg\" alt=\"\u0418\u043b\u043b\u044e\u0441\u0442\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/derivative-of-a-function1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/derivative-of-a-function1-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><br \/>\n\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( f(a) \\), \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( f(a+h) \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 \\( f(a+h)-f(a) \\).<\/p>\n<p>\u041d\u043e \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u044d\u0442\u0443 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \\( h \\). \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044e\u044e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043e\u0442 \\( a \\) \u0434\u043e \\( a+h \\). \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043d\u0430\u0441 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0432\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u043a, \u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( a \\). \u0427\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c? \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( a+h \\) \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\), \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0443\u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( h \\) \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(a+h)-f(a)}{h},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) \\) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\).<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(a)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c, \u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\).<\/p>\n<h3>\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/h3>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=f(x) \\) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e-\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u043c\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x), \\qquad<br \/>\ny&#8217;, \\qquad<br \/>\n\\frac{dy}{dx}, \\qquad<br \/>\n\\frac{d}{dx}f(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c \\( \\frac{d}{dx} \\) \u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0430\u043a <em>\u00ab\u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) \\) \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\)\u00bb<\/em>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( a \\), \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(a), \\qquad<br \/>\n\\left.\\frac{dy}{dx}\\right|_{x=a}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u043f\u043e-\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u043c\u0443, \u043d\u043e \u0432\u0441\u0435 \u043e\u043d\u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u0441 \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435\u043c \u2014 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<h2>\u041d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0428\u0430\u0433\u043e\u0432<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( a \\) \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \\( x \\), \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\( f'(a) \\), \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043a\u0430\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( f'(x) \\).<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( y=f(x) \\). \u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \\( x \\) \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( h \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \\( x \\) \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \\( x+h \\). \u0422\u0430\u043a \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043d\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x+h) \\).<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u043e\u0432\u044b\u043c \u0438 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \\( h=0 \\) \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( \\frac{0}{0} \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0442\u044c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438, \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435, \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438\u043b\u0438 \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \\( h \\), \u0435\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e. \u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u2014 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u0442\u043e \u043e\u043d \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0451\u043d\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x)<br \/>\n\\rightarrow<br \/>\nf(x+h)<br \/>\n\\rightarrow<br \/>\nf(x+h)-f(x)<br \/>\n\\rightarrow<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}<br \/>\n\\rightarrow<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043e\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u043a \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0443 \u0438\u0445 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u0430 \u0441 \u043c\u0433\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u043f\u043e\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u041d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043a\u0430\u043a \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0451\u0442\u043a\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0439. \u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e: \u043e\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043a \u0442\u0435\u043c, \u0433\u0434\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=3\\cdot x-2 \\)<\/h3>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( f(x+h) \\). \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \\( x \\) \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \\( x+h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=3\\cdot (x+h)-2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=3\\cdot x+3\\cdot h-2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( f(x+h)-f(x) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)-f(x)<br \/>\n=<br \/>\n(3\\cdot x+3\\cdot h-2)-(3\\cdot x-2).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)-f(x)<br \/>\n=<br \/>\n3\\cdot x+3\\cdot h-2-3\\cdot x+2=3\\cdot h.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{3\\cdot h}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( h\\neq 0 \\), \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \\( h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}3=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=3\\cdot x-2 \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( 3 \\). \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u0430 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u043f\u043e\u043c.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^2 \\)<\/h3>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( f(x+h) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=(x+h)^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=x^2+2\\cdot x\\cdot h+h^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u043e\u0432\u044b\u043c \u0438 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)-f(x)<br \/>\n=<br \/>\n(x^2+2\\cdot x\\cdot h+h^2)-x^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)-f(x)=2\\cdot x\\cdot h+h^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{2\\cdot x\\cdot h+h^2}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( h \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{h\\cdot (2\\cdot x+h)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}(2\\cdot x+h).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0443. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\), \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( 2\\cdot x+h \\) \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \\( 2\\cdot x \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=x^3 \\)<\/h3>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( f(x+h) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=(x+h)^3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u043a\u0443\u0431 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=x^3+3\\cdot x^2\\cdot h+3\\cdot x\\cdot h^2+h^3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)-f(x)<br \/>\n=<br \/>\n(x^3+3\\cdot x^2\\cdot h+3\\cdot x\\cdot h^2+h^3)-x^3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( x^3 \\) \u0438 \\( -x^3 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)-f(x)=3\\cdot x^2\\cdot h+3\\cdot x\\cdot h^2+h^3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{3\\cdot x^2\\cdot h+3\\cdot x\\cdot h^2+h^3}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( h \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{h\\cdot (3\\cdot x^2+3\\cdot x\\cdot h+h^2)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n(3\\cdot x^2+3\\cdot x\\cdot h+h^2).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\), \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \\( 3\\cdot x\\cdot h \\) \u0438 \\( h^2 \\) \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u044f\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=3\\cdot x^2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)<\/h3>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \\( x\\neq 0 \\). \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \\( x+h\\neq 0 \\), \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( f(x+h) \\) \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( f(x+h) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=\\frac{1}{x+h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{\\frac{1}{x+h}-\\frac{1}{x}}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0440\u043e\u0431\u0435\u0439. \u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0438\u0445 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{x+h}-\\frac{1}{x}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{x-(x+h)}{x\\cdot (x+h)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nx-(x+h)=x-x-h=-h.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{1}{x+h}-\\frac{1}{x}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{-h}{x\\cdot (x+h)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{\\frac{-h}{x\\cdot (x+h)}}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \\( h \\) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430 \\( \\frac{1}{h} \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{-h}{x\\cdot (x+h)}\\cdot \\frac{1}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{-1}{x\\cdot (x+h)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \\( x+h\\to x \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n-\\frac{1}{x^2},<br \/>\n\\qquad x\\neq 0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=\\sqrt{x} \\)<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u0431 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f: \\( x\\geq 0 \\). \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \\( x&gt;0 \\), \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u043c \u0431\u044b\u043b\u0438 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \\( x \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( f(x+h) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(x+h)=\\sqrt{x+h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{\\sqrt{x+h}-\\sqrt{x}}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \\( h=0 \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( \\frac{0}{0} \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\sqrt{x+h}+\\sqrt{x} \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{\\sqrt{x+h}-\\sqrt{x}}{h}<br \/>\n\\cdot<br \/>\n\\frac{\\sqrt{x+h}+\\sqrt{x}}{\\sqrt{x+h}+\\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(\\sqrt{x+h}-\\sqrt{x})\\cdot (\\sqrt{x+h}+\\sqrt{x})<br \/>\n=<br \/>\n(x+h)-x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( h \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{h}{h\\cdot (\\sqrt{x+h}+\\sqrt{x})}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \\( h \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{x+h}+\\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\), \u0442\u043e \\( \\sqrt{x+h}\\to \\sqrt{x} \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x)=<br \/>\n\\frac{1}{2\\sqrt{x}},<br \/>\n\\qquad x&gt;0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>\u0417\u0430\u043c\u0435\u0447\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/strong> \u0414\u0430\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0442\u0440\u0443\u0434\u043e\u0451\u043c\u043a\u0438\u043c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p><\/blockquote>\n<h2>\u0427\u0442\u043e \u0427\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435: \u0422\u0435\u043c\u044b \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445. \u0422\u0430\u043a \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u041a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442 \u043e \u0442\u043e\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445: \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0438\u043f\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u044c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044e\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0414\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u0439 \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0430 \u0448\u0430\u0433 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435: <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>C++<\/em>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c. \u0418\u0434\u0435\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f, \u043d\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u0430\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=x^2+3\\cdot x-5 \\) \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c\u0438: \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( f'(x)=2\\cdot x+3 \\), \u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e, \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \\( \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\).<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043e\u043d\u0430 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u0438\u043c\u0438. \u0420\u0430\u0437\u0432\u0435 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0447\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c?<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3179 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/derivative-of-a-function2.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=x^2+3\\cdot x-5 \\) \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c\u0438: \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" width=\"600\" height=\"284\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/derivative-of-a-function2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/derivative-of-a-function2-300x142.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0433\u043b\u0443\u0431\u043e\u043a\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3181,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[180,513,515,512,514],"class_list":["post-3160","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-matematicheskij-analiz","tag-opredelenie-proizvodnoj","tag-primery-proizvodnyx","tag-proizvodnaya-funkcii","tag-proizvodnaya-cherez-predel"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3160"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3160"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3160\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3180,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3160\/revisions\/3180"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3181"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3160"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3160"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3160"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}