{"id":3060,"date":"2026-05-14T12:05:20","date_gmt":"2026-05-14T12:05:20","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=3060"},"modified":"2026-05-14T14:05:48","modified_gmt":"2026-05-14T14:05:48","slug":"pravilo-chastnogo-proizvodnaya","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-chastnogo-proizvodnaya.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e: \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0414\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0428\u0430\u0433\u043e\u043c"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0415\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435, \u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430\u044f \u2014 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e: \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c, \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b. \u041d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043b\u0438 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438? \u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u043d\u0435\u0442. \u0412\u0435\u0434\u044c \u043f\u0440\u0438 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c, \u043d\u043e \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e: \u041a\u0430\u043a \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0414\u0440\u043e\u0431\u0438<\/h2>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\) \u0438 \\( v(x) \\). \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u043a\u0430\u043a \u0438\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=\\frac{u(x)}{v(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435: \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0442\u0435\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445, \u0433\u0434\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(x)\\ne 0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0441\u0430\u043c\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e. \u0410 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442\u044c \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f.<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 <a title=\"\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/a> \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0415\u0451 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{u(x)}{v(x)}\\right)=<br \/>\n\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0439 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \\( u'(x) \\) \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u0435\u0451 \u043d\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \\( v(x) \\). \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( u(x) \\), \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f \\( v'(x) \\). \u0410 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u044b\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0435\u0451 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443: \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u043c \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u043c, \u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f \u2014 \u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<h2>\u0412\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b: \u041e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0451\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( y \\) \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=\\frac{u(x)}{v(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}\\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( y(x)=\\frac{u(x)}{v(x)} \\), \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x+h \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny(x+h)=\\frac{u(x+h)}{v(x+h)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\\frac{u(x)}{v(x)}<br \/>\n}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043d\u043e \u043e\u043d\u043e \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435? \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0440\u043e\u0431\u0435\u0439 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0438\u0445 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{u(x+h)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v(x+h)}<br \/>\n{v(x+h)\\cdot v(x)}<br \/>\n}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \\( h \\) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \\( h \\) \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{<br \/>\nu(x+h)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v(x+h)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\nv(x+h)\\cdot v(x)\\cdot h<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043b\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0435\u0435. \u041d\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043a \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \\( u'(x) \\) \u0438 \\( v'(x) \\). \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \\( u(x+h)-u(x) \\) \u0438 \\( v(x+h)-v(x) \\), \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u044d\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u043c \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0442\u0435\u043c \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438 \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu(x)\\cdot v(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u0412 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\), \u0430 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u2014 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( v(x) \\).<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{<br \/>\nu(x+h)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v(x)+u(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v(x+h)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\nv(x+h)\\cdot v(x)\\cdot h<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0435 \u0431\u044b\u043b \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( v(x) \\), \u0430 \u0432\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u2014 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( u(x) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{<br \/>\nv(x)\\cdot \\bigl(u(x+h)-u(x)\\bigr)<br \/>\n&#8212;<br \/>\nu(x)\\cdot \\bigl(v(x+h)-v(x)\\bigr)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\nv(x+h)\\cdot v(x)\\cdot h<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0443\u0436\u0435 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0437\u0430\u0447\u0435\u043c \u043c\u044b \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u043b\u0438 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( u(x+h)-u(x) \\) \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\), \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( v(x+h)-v(x) \\) \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( v(x) \\). \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043c\u044b \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0434\u0430\u0434\u0443\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435.<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( h \\). \u041e\u043d \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043a \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u043c\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f: \u043e\u0434\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\), \u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435 \u2014 \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( v(x) \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\lim_{h\\to 0}<br \/>\n\\frac{1}{v(x+h)\\cdot v(x)}\\cdot<br \/>\n\\left(<br \/>\nv(x)\\cdot \\frac{u(x+h)-u(x)}{h}<br \/>\n&#8212;<br \/>\nu(x)\\cdot \\frac{v(x+h)-v(x)}{h}<br \/>\n\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0414\u0440\u043e\u0431\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{u(x+h)-u(x)}{h}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h\\to 0 \\), \u044d\u0442\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( u'(x) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}\\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{v(x+h)-v(x)}{h}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( v(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \\( h\\to 0 \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}\\frac{v(x+h)-v(x)}{h}=v'(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( v(x+h) \\) \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( v(x) \\) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430, \u043e\u043d\u0430 \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \\( h\\to 0 \\) \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( v(x+h) \\) \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \\( v(x) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv(x+h)\\to v(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0443 \u0432\u043e \u0432\u0441\u0451\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{1}{v(x)\\cdot v(x)}\\cdot<br \/>\n\\left(<br \/>\nv(x)\\cdot u'(x)-u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( v(x)\\cdot v(x)=\\bigl(v(x)\\bigr)^2 \\), \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0447\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\nv(x)\\cdot u'(x)-u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\n\\bigl(v(x)\\bigr)^2<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f: \\( v(x)\\cdot u'(x)=u'(x)\\cdot v(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u044d\u0442\u0443 \u0436\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\nu'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\n\\bigl(v(x)\\bigr)^2<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{u(x)}{v(x)}\\right)=<br \/>\n\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b. \u0413\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u0432 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0435 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438: \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u(x) \\), \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( v(x) \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u0430 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435, \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441: \u043e\u0434\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f, \u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435 \u2014 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430 \u041d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u0435\u0451 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445. \u0412\u0435\u0434\u044c \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{x^2+1}{3\\cdot x-5} \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x^2+1 \\), \u0430 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u2014 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( 3\\cdot x-5 \\). \u0414\u043b\u044f \u0443\u0434\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu(x)=x^2+1,\\qquad v(x)=3\\cdot x-5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=\\frac{u(x)}{v(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}<br \/>\n{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu'(x)=(x^2+1)&#8217;=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=(3\\cdot x-5)&#8217;=3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot (3\\cdot x-5)-(x^2+1)\\cdot 3<br \/>\n}<br \/>\n{(3\\cdot x-5)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n6\\cdot x^2-10\\cdot x-3\\cdot x^2-3<br \/>\n}<br \/>\n{(3\\cdot x-5)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n3\\cdot x^2-10\\cdot x-3<br \/>\n}<br \/>\n{(3\\cdot x-5)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{x^3-2\\cdot x}{\\sqrt{x}} \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x^3-2\\cdot x \\), \u0430 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u2014 \\( \\sqrt{x} \\). \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu(x)=x^3-2\\cdot x,\\qquad v(x)=\\sqrt{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=\\frac{u(x)}{v(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu'(x)=(x^3-2\\cdot x)&#8217;=3\\cdot x^2-2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( v(x)=\\sqrt{x} \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=\\frac{1}{2\\cdot \\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\nu'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n}<br \/>\n{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n(3\\cdot x^2-2)\\cdot \\sqrt{x}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n(x^3-2\\cdot x)\\cdot \\frac{1}{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n}<br \/>\n{(\\sqrt{x})^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( (\\sqrt{x})^2=x \\), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n(3\\cdot x^2-2)\\cdot \\sqrt{x}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{x^3-2\\cdot x}{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n}<br \/>\n{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0421\u0430\u043c\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u043e, \u0430 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u043a \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0438\u0434\u0443.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043a \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e \\( 2\\cdot \\sqrt{x} \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(3\\cdot x^2-2)\\cdot \\sqrt{x}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{2\\cdot x\\cdot (3\\cdot x^2-2)}{2\\cdot \\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{2\\cdot x\\cdot (3\\cdot x^2-2)}{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n&#8212;<br \/>\n\\frac{x^3-2\\cdot x}{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n}<br \/>\n{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u043c \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot (3\\cdot x^2-2)-(x^3-2\\cdot x)<br \/>\n}<br \/>\n{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n}<br \/>\n{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{<br \/>\n6\\cdot x^3-4\\cdot x-x^3+2\\cdot x<br \/>\n}<br \/>\n{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n}<br \/>\n{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\frac{<br \/>\n5\\cdot x^3-2\\cdot x<br \/>\n}<br \/>\n{2\\cdot \\sqrt{x}}<br \/>\n}<br \/>\n{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \\( x \\) \u0434\u0430\u0451\u0442<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{5\\cdot x^3-2\\cdot x}{2\\cdot x\\cdot \\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430 \\( x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{5\\cdot x^2-2}{2\\cdot \\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{5\\cdot x^2-2}{2\\cdot \\sqrt{x}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \\( \\sqrt{x} \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0441 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438, \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0438 \\( x&gt;0 \\).<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{x^2}{\\sin(x)} \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( x^2 \\), \u0430 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u2014 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\sin(x) \\). \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu(x)=x^2,\\qquad v(x)=\\sin(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{u'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)}<br \/>\n{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu'(x)=(x^2)&#8217;=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=(\\sin(x))&#8217;=\\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot \\sin(x)-x^2\\cdot \\cos(x)<br \/>\n}<br \/>\n{(\\sin(x))^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot \\sin(x)-x^2\\cdot \\cos(x)<br \/>\n}<br \/>\n{\\sin^2(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{e^x}{\\ln(x)} \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430. \u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \\( e^x \\), \u0430 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u2014 \\( \\ln(x) \\). \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu(x)=e^x,\\qquad v(x)=\\ln(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( e^x \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu'(x)=(e^x)&#8217;=e^x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=(\\ln(x))&#8217;=\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\nu'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n}<br \/>\n{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\ne^x\\cdot \\ln(x)-e^x\\cdot \\frac{1}{x}<br \/>\n}<br \/>\n{(\\ln(x))^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( e^x \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\ne^x\\cdot \\left(\\ln(x)-\\frac{1}{x}\\right)<br \/>\n}<br \/>\n{(\\ln(x))^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442. \u041d\u043e \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0435\u0433\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0431\u0435\u0437 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u0432 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0430\u0445. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0430\u0445 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln(x)-\\frac{1}{x}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{x\\cdot \\ln(x)-1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\ne^x\\cdot (x\\cdot \\ln(x)-1)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\nx\\cdot (\\ln(x))^2<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\ne^x\\cdot (x\\cdot \\ln(x)-1)<br \/>\n}<br \/>\n{<br \/>\nx\\cdot (\\ln(x))^2<br \/>\n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \\( \\ln(x) \\) \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 \u0441 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \\( x&gt;0 \\).<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{x^2+1}{\\cos(2\\cdot x)} \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u041d\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu(x)=x^2+1,\\qquad v(x)=\\cos(2\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=\\frac{u(x)}{v(x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu'(x)=(x^2+1)&#8217;=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=(\\cos(2\\cdot x))&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u2014 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( 2\\cdot x \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(\\cos(2\\cdot x))&#8217;=-\\sin(2\\cdot x)\\cdot (2\\cdot x)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( (2\\cdot x)&#8217;=2 \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv'(x)=-2\\cdot \\sin(2\\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\nu'(x)\\cdot v(x)-u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n}<br \/>\n{\\bigl(v(x)\\bigr)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0432\u0441\u0435 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot \\cos(2\\cdot x)<br \/>\n&#8212;<br \/>\n(x^2+1)\\cdot \\bigl(-2\\cdot \\sin(2\\cdot x)\\bigr)<br \/>\n}<br \/>\n{(\\cos(2\\cdot x))^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u0447\u0442\u0451\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441, \u0430 \u0441\u0430\u043c\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043f\u043b\u044e\u0441:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot \\cos(2\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\n2\\cdot (x^2+1)\\cdot \\sin(2\\cdot x)<br \/>\n}<br \/>\n{(\\cos(2\\cdot x))^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n2\\cdot x\\cdot \\cos(2\\cdot x)<br \/>\n+<br \/>\n2\\cdot (x^2+1)\\cdot \\sin(2\\cdot x)<br \/>\n}<br \/>\n{\\cos^2(2\\cdot x)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442: \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u0441\u0435\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438, \u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u0438\u043b\u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p><\/blockquote>\n<h2>\u0427\u0442\u043e \u0427\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435: \u041f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0422\u0435\u043c\u044b \u0434\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u0432\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/\">\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0432 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-cepochki-proizvodnaya.html\">\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u043f\u043e\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/pravilo-proizvedeniya-proizvodnaya.html\">\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0434\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0427\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e: \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442. \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c\u0438: \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u043f\u043e \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<p>\u0410 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0432\u0430\u0441: \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430 <em>Pascal<\/em>, <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 Python\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/chto-takoe-python.html\"><em>Python<\/em><\/a>, <em>C++<\/em>, <em>JavaScript<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f. \u0420\u0430\u0437\u0432\u0435 \u043d\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0447\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443 \u0438 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c?<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3078 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/quotient-rule-derivative1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\frac{x^2+1}{3\\cdot x-5} \\) \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c\u0438: \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438\" width=\"767\" height=\"549\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/quotient-rule-derivative1.jpg 767w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/quotient-rule-derivative1-300x215.jpg 300w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/quotient-rule-derivative1-350x250.jpg 350w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/quotient-rule-derivative1-420x300.jpg 420w\" sizes=\"(max-width: 767px) 100vw, 767px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0415\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3080,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[180,503,504,385,383],"class_list":["post-3060","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-matematicheskij-analiz","tag-pravilo-chastnogo","tag-proizvodnye-drobnyx-funkcij","tag-proizvodnye-funkcij","tag-formula-proizvodnoj"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3060"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3060"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3060\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3079,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3060\/revisions\/3079"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3080"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3060"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3060"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3060"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}