{"id":2805,"date":"2026-04-23T12:29:17","date_gmt":"2026-04-23T12:29:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=2805"},"modified":"2026-04-23T13:29:51","modified_gmt":"2026-04-23T13:29:51","slug":"proizvodnaya-pokazatelnoy-funktsii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-pokazatelnoy-funktsii.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u0435\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u0431\u0435\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044f\u043c\u0438 \u0440\u043e\u0441\u0442\u0430, \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0430 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043e\u043d\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0451\u0442\u0441\u044f. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0432\u0438\u0434, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f? \u0418 \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f? \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438 \u041f\u043e\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0434\u0430\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=a^x,\\qquad a&gt;0,\\ a\\ne 1,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e \u0435\u0451 <a title=\"\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/a> \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=\\bigl(a^x\\bigr)&#8217;=a^x\\cdot \\ln(a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442. \u0412 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \\( \\ln(a) \\), \u0430 \u043d\u0435 \\( \\ln(x) \\). \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \\( a \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0430 \\( x \\) \u2014 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0431\u0435\u0440\u0451\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u043d\u0435 \u043e\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u041d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na&gt;0,\\qquad a\\ne 1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u043d\u0438 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e. \u0423\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \\( a&gt;0 \\) \u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \\( x \\). \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \\( a\\ne 1 \\) \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \\( a=1 \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \\( 1^x=1 \\), \u0430 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u041e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043d \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na=e.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(e^x)&#8217;=e^x,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( \\ln(e)=1 \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( e^x \\) \u0437\u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u0435 \u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435: \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043d\u0435\u0439 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2812 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/derivative-of-the-exponential-function1.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x)=10^x \\) \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( f'(x)=a^x\\cdot \\ln(10) \\)\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/derivative-of-the-exponential-function1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/derivative-of-the-exponential-function1-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u044f\u0442 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f. \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=a^x \\) \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( a \\). \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( a&gt;1 \\), \u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442. \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( 0&lt;a&lt;1 \\), \u0442\u043e \u043e\u043d\u0430 \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( y&#8217;=a^x\\cdot \\ln(a) \\) \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u044f\u0435\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043d\u043e \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \\( \\ln(a) \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( a&gt;1 \\), \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430, \u0430 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( 0&lt;a&lt;1 \\), \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e \u0435\u0451 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443, \u043d\u043e \u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<h2>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0414\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438: \u041a\u0430\u043a \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u043c\u0443 \u2014 \u043a \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0443. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0418\u0442\u0430\u043a, \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{a^{x+h}-a^x}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na^{x+h}=a^x\\cdot a^h.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{a^x\\cdot a^h-a^x}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( a^x \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{a^x\\cdot (a^h-1)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( a^x \\) \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( h \\), \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0437\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=a^x\\cdot \\lim_{h\\to 0}\\frac{a^h-1}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \\( \\ln(a) \\)? \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043e\u043d \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0437\u0432\u0435\u043d\u043e\u043c \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\( e \\). \u0422\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u0435\u043d, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( e^x \\) \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435. \u0418\u0442\u0430\u043a,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na^h=e^{h\\cdot \\ln(a)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}\\frac{a^h-1}{h}=\\lim_{h\\to 0}\\frac{e^{h\\cdot \\ln(a)}-1}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=h\\cdot \\ln(a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( h\\to 0 \\), \u0442\u043e \u0438 \\( t\\to 0 \\). \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nh=\\frac{t}{\\ln(a)}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}\\frac{e^{h\\cdot \\ln(a)}-1}{h}=\\lim_{t\\to 0}\\frac{e^t-1}{\\frac{t}{\\ln(a)}}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{t\\to 0}\\frac{e^t-1}{\\frac{t}{\\ln(a)}}=\\ln(a)\\cdot \\lim_{t\\to 0}\\frac{e^t-1}{t}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{t\\to 0}\\frac{e^t-1}{t}=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h\\to 0}\\frac{a^h-1}{h}=\\ln(a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=a^x\\cdot \\lim_{h\\to 0}\\frac{a^h-1}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438 \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(a^x\\bigr)=a^x\\cdot \\ln(a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c? \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0441\u0430\u043c\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043a\u0430\u043a \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \\( \\ln(a) \\) \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \\( a \\) \u0432\u043b\u0438\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0443\u044e \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0440\u043e\u0441\u0442\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0430 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0432\u0435\u0441\u044c \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u0443\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0430. \u042d\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0433\u043b\u0443\u0431\u043e\u043a\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u041f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0420\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0440\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0443\u0436\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0443\u043f\u0440\u0430\u0436\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c, \u043d\u043e \u0438 \u043d\u0430\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u0437\u043d\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0433\u0434\u0435 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0435\u0451 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=x\\cdot 2^x \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \\( x \\) \u0438 \\( 2^x \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=(x)&#8217;\\cdot 2^x+x\\cdot (2^x)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(x)&#8217;=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=2^x+x\\cdot (2^x)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u043c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0436\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(a^x)&#8217;=a^x\\cdot \\ln(a).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \\( a=2 \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(2^x)&#8217;=2^x\\cdot \\ln(2).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0443\u044e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=2^x+x\\cdot 2^x\\cdot \\ln(2).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \\( 2^x \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=2^x\\bigl(1+x\\ln(2)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\dfrac{e^x}{x} \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=e^x,\\quad v=x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{u&#8217;\\cdot v-u\\cdot v&#8217;}{v^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv&#8217;=(x)&#8217;=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044e. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u=e^x \\) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=(e^x)&#8217;=e^x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{e^x\\cdot x-e^x\\cdot 1}{x^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \\( e^x \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{e^x\\cdot (x-1)}{x^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\dfrac{e^x}{x} \\) \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \\( x\\ne 0 \\), \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \\( x \\).<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=7^{2\\cdot x-1} \\)<\/h3>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0443\u0436\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u2014 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \\( 7 \\), \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( 2\\cdot x-1 \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u2014 \u0432\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=2\\cdot x-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=7^u.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043d\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( u \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{du}(7^u)=7^u\\cdot \\ln(7).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( u \\) \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \\( x \\), \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{du}{dx}=(2\\cdot x-1)&#8217;=2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=7^u\\cdot \\ln(7)\\cdot \\frac{du}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \\( u=2\\cdot x-1 \\) \u0438 \\( \\dfrac{du}{dx}=2 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=7^{2\\cdot x-1}\\cdot \\ln(7)\\cdot 2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=2\\cdot 7^{2\\cdot x-1}\\cdot \\ln(7).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=(x^2+1)\\cdot 5^x \\)<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=(x^2+1)&#8217;\\cdot 5^x+(x^2+1)\\cdot (5^x)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(x^2+1)&#8217;=2\\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(5^x)&#8217;=5^x\\cdot \\ln(5).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=2\\cdot x\\cdot 5^x+(x^2+1)\\cdot 5^x\\cdot \\ln(5).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d \u0443\u0436\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c. \u041d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \\( 5^x \\) \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=5^x\\cdot \\bigl(2\\cdot x+(x^2+1)\\ln(5)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\bigl(4^x+1\\bigr)^3 \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u0443\u0431 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( 4^x+1 \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=4^x+1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny=u^3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=3\\cdot u^2\\cdot \\frac{du}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{du}{dx}=(4^x+1)&#8217;=(4^x)&#8217;+(1)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(1)&#8217;=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( 4^x \\) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(4^x)&#8217;=4^x\\cdot \\ln(4).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{du}{dx}=4^x\\cdot \\ln(4).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=3\\cdot u^2\\cdot \\frac{du}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \\( u=4^x+1 \\) \u0438 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=3\\cdot (4^x+1)^2\\cdot 4^x\\cdot \\ln(4).<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \\( (a^x)&#8217;=a^x\\cdot \\ln(a) \\) \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0430 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439.<\/p><\/blockquote>\n<h2>\u0427\u0442\u043e \u0421\u0442\u043e\u0438\u0442 \u041f\u0440\u043e\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435: \u041f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0435 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044b \u043f\u043e \u0422\u0435\u043c\u0435<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u0430\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u0443\u0440\u0441\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. \u0422\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0441 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u043e\u0439.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0435\u0451 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0442\u0438\u043f\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma-v-kvadrate.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442 \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e\u043c \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-kvadratnogo-kornya.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0451\u043d \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e \u0435\u0451 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0418\u0434\u0435\u044f \u0434\u043b\u044f \u0422\u0435\u0445, \u041a\u0442\u043e \u041b\u044e\u0431\u0438\u0442 \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u043d\u0430 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0435. \u0415\u0451 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u043a\u043e\u0434\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043f\u043e \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u043c \u0434\u043b\u044f \u0432\u0430\u0441 \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0422\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u044b \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2830 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/derivative-of-the-exponential-function2.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0443\u0433\u043e\u043b \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435\" width=\"600\" height=\"270\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/derivative-of-the-exponential-function2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/derivative-of-the-exponential-function2-300x135.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u0435\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u0431\u0435\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044f\u043c\u0438 \u0440\u043e\u0441\u0442\u0430, \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2832,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[180,493,492,385,383],"class_list":["post-2805","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-matematicheskij-analiz","tag-pokazatelnaya-funkciya","tag-proizvodnaya-pokazatelnoj-funkcii","tag-proizvodnye-funkcij","tag-formula-proizvodnoj"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2805"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2805"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2805\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2813,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2805\/revisions\/2813"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2832"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2805"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2805"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2805"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}