{"id":2615,"date":"2026-04-02T12:20:10","date_gmt":"2026-04-02T12:20:10","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=2615"},"modified":"2026-04-26T07:24:51","modified_gmt":"2026-04-26T07:24:51","slug":"proizvodnaya-naturalnogo-logarifma","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u041e\u0442 \u0422\u0435\u043e\u0440\u0438\u0438 \u043a \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u043c"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u043d\u043e \u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c. \u041e\u043d\u0430 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0448\u0430\u0433\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043a \u043d\u0435\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442.<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0435\u0451 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c. \u0418\u0442\u0430\u043a, \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0441\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u043e\u0442\u043e\u0447\u0438\u043c\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u0427\u0442\u043e \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0417\u043d\u0430\u0442\u044c \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\ln(x) \\) \u0435\u0451 <a title=\"\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f<\/a> \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\bigl(\\ln(x)\\bigr)&#8217;=\\frac{1}{x}, \\quad x&gt;0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0441\u0432\u043e\u0438\u0442\u044c. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0435\u0451 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u043d\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0441 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \\( x \\) \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \\( \\frac{1}{x} \\).<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435? \u0415\u0441\u043b\u0438 \\( x \\) \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0435, \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\frac{1}{x} \\) \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \\( x \\) \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435, \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\frac{1}{x} \\) \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f. \u0418\u0437-\u0437\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\ln(x) \\) \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0442\u0451\u0442, \u043d\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043c\u0435\u0434\u043b\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435. \u0418\u0442\u0430\u043a, \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043d\u0435 \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 <a title=\"\u041e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/oblast-opredelenyja-funkcyy.html\">\u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a>, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0435\u0433\u043e \u0440\u043e\u0441\u0442 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0434\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043d\u0430 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \\( x&gt;0 \\). \u041e\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e. \u0414\u0435\u043b\u043e \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\ln(x) \\) \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \\( (0; +\\infty) \\).<\/p>\n<p>\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( \\frac{1}{x}&gt;0 \\) \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \\( x&gt;0 \\), \u043c\u044b \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c: \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\ln(x) \\) \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\frac{1}{x} \\) \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \\( x \\). \u0410 \u044d\u0442\u043e \u0438 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0435\u0442, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0443\u0442\u044b\u043c.<\/p>\n<p>\u041d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043e \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\ln(x) \\) \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2618 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/derivative-of-the-natural-logarithm1.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 f(x)=ln(x) \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 f'(x)=1\/x\" width=\"600\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/derivative-of-the-natural-logarithm1.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/derivative-of-the-natural-logarithm1-300x175.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c, \u0430 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0434\u0430\u043b\u044c\u043d\u0435\u0439\u0448\u0435\u0433\u043e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043c\u044b, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0433\u0434\u0435 \u0431\u0435\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043e\u0431\u043e\u0439\u0442\u0438\u0441\u044c \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<h2>\u0412\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b: \u041a\u0430\u043a \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0415\u0451 \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0443. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\frac{1}{x}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u043c \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0432\u044b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u0438\u0437\u0443\u0441\u0442\u044c. \u041d\u0430\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432, \u043e\u043d\u0430 \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( y=\\ln(x) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{\\ln(x+h)-\\ln(x)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln(a)-\\ln(b)=\\ln\\bigl(\\frac{a}{b}\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln(x+h)-\\ln(x)=\\ln\\bigl(\\frac{x+h}{x}\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\ln\\left(\\frac{x+h}{x}\\right)=\\ln\\left(1+\\frac{h}{x}\\right).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{\\ln\\left(1+\\frac{h}{x}\\right)}{h}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\frac{h}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nh=x\\cdot t.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( h\\to 0 \\), \u0430 \\( x \\) \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0442\u043e \u0438 \\( t\\to 0 \\). \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\lim_{t\\to 0}\\frac{\\ln(1+t)}{x\\cdot t}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\frac{1}{x} \\) \u0437\u0430 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\frac{1}{x}\\cdot \\lim_{t\\to 0}\\frac{\\ln(1+t)}{t}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{t\\to 0}\\frac{\\ln(1+t)}{t}=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0435\u0433\u043e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u0435\u043c\u0430\u0445, \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043c\u044b \u043e\u043f\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0443\u0436\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043a\u0443\u0440\u0441\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0435\u0433\u043e \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\frac{1}{x}\\cdot 1=\\frac{1}{x}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\frac{1}{x}, \\quad x&gt;0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u043e \u043f\u043e\u0434\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0438\u0442\u043e\u0433 \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0435 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043c\u044b \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c. \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a, \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c, \u043c\u044b \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u0432\u0430\u0436\u0435\u043d \u0432 \u0443\u0447\u0435\u0431\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u043d\u0443\u044e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0443\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0412\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442, \u043d\u043e \u0438 \u0442\u043e, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043e\u043d \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c. \u0410 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0446\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0433\u0434\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c \u0432 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d\u0430\u043c\u0438, \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044f\u043c\u0438, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043b\u0438 \u0446\u0435\u043f\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0438\u043c \u0432\u0435\u0441\u044c \u0445\u043e\u0434 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\ln(3 \\cdot x^2+1)\\cdot x \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \\( \\ln(3 \\cdot x^2+1) \\) \u0438 \\( x \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\bigl(\\ln(3 \\cdot x^2+1)\\bigr)&#8217;\\cdot x+\\ln(3 \\cdot x^2+1)\\cdot (x)&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \\( (x)&#8217;=1 \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u043d\u043e \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \\( \\ln(3 \\cdot x^2+1) \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( \\bigl(\\ln(3 \\cdot x^2+1)\\bigr)&#8217; \\). \u042d\u0442\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u2014 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( 3 \\cdot x^2+1 \\). \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=3 \\cdot x^2+1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\ln(x)\\bigr)=\\frac{1}{u}\\cdot \\frac{du}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{du}{dx}=(3 \\cdot x^2+1)&#8217;=6 \\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\bigl(\\ln(3 \\cdot x^2+1)\\bigr)&#8217;=\\frac{1}{3 \\cdot x^2+1}\\cdot 6 \\cdot x=\\frac{6 \\cdot x}{3 \\cdot x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{6 \\cdot x}{3 \\cdot x^2+1}\\cdot x+\\ln(3 \\cdot x^2+1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u0432 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u043c. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{6 \\cdot x^2}{3 \\cdot x^2+1}+\\ln(3 \\cdot x^2+1).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\dfrac{\\ln(2 \\cdot x-1)}{x^2+4} \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\ln(2 \\cdot x-1),\\quad v=x^2+4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{u&#8217;\\cdot v-u\\cdot v&#8217;}{v^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv&#8217;=(x^2+4)&#8217;=2 \\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044e. \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \\( u&#8217;=\\bigl(\\ln(2 \\cdot x-1)\\bigr)&#8217; \\). \u0421\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=2 \\cdot x-1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=\\frac{1}{t}\\cdot \\frac{dt}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dt}{dx}=(2 \\cdot x-1)&#8217;=2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=\\frac{1}{2 \\cdot x-1}\\cdot 2=\\frac{2}{2 \\cdot x-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{\\frac{2}{2 \\cdot x-1}\\cdot (x^2+4)-\\ln(2 \\cdot x-1)\\cdot 2 \\cdot x}{(x^2+4)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{\\frac{2 \\cdot (x^2+4)}{2 \\cdot x-1}-2 \\cdot x \\cdot \\ln(2 \\cdot x-1)}{(x^2+4)^2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\ln(x^3-5 \\cdot x+2) \\)<\/h3>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u2014 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0447\u043b\u0435\u043d \\( x^3-5 \\cdot x+2 \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0446\u0435\u043f\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=x^3-5 \\cdot x+2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dy}{dx}=\\frac{1}{u}\\cdot \\frac{du}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{du}{dx}=(x^3-5 \\cdot x+2)&#8217;=3 \\cdot x^2-5.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{1}{x^3-5 \\cdot x+2}\\cdot (3 \\cdot x^2-5).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{3 \\cdot x^2-5}{x^3-5 \\cdot x+2}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0431\u044b\u0442\u044c \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u0441\u0430\u043c \u043f\u043e \u0441\u0435\u0431\u0435 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\frac{1}{u} \\), \u043d\u043e \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043a\u0430\u043d\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f. \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u043e\u0434 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u043c.<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 4. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\ln(x^2+1)\\cdot \\sin(x) \\)<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\ln(x^2+1),\\quad v=\\sin(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=u&#8217;\\cdot v+u\\cdot v&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( v=\\sin(x) \\) \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv&#8217;=\\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( u&#8217;=\\bigl(\\ln(x^2+1)\\bigr)&#8217; \\). \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=x^2+1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=\\frac{1}{t}\\cdot \\frac{dt}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dt}{dx}=(x^2+1)&#8217;=2 \\cdot x.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=\\frac{1}{x^2+1}\\cdot 2 \\cdot x=\\frac{2 \\cdot x}{x^2+1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{2 \\cdot x}{x^2+1}\\cdot \\sin(x)+\\ln(x^2+1)\\cdot \\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{2 \\cdot x \\cdot \\sin(x)}{x^2+1}+\\ln(x^2+1) \\cdot \\cos(x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0432\u0435\u0449\u044c. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0441\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u043e\u0442\u043e\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435 \u0438 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e \u0437\u0430\u0431\u044b\u0442\u044c \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0447\u0451\u0442\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \\( u \\) \u0438 \\( v \\), \u0430 \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u0436\u0434\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 5. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y=\\ln(2 \\cdot x+3)\\cdot \\cos(4 \\cdot x) \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u043e \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043e\u0431\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u044e\u0442 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u0441 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u043c, \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u2014 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u0441\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044f\u0442\u044c \u043d\u0438 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu=\\ln(2 \\cdot x+3),\\quad v=\\cos(4 \\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=u&#8217;\\cdot v+u\\cdot v&#8217;.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f. \u0414\u043b\u044f \\( v=\\cos(4 \\cdot x) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv&#8217;=-\\sin(4 \\cdot x)\\cdot 4=-4 \\cdot \\sin(4 \\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \\( u&#8217;=\\bigl(\\ln(2 \\cdot x+3)\\bigr)&#8217; \\). \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=2 \\cdot x+3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=\\frac{1}{t}\\cdot \\frac{dt}{dx}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{dt}{dx}=2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu&#8217;=\\frac{1}{2 \\cdot x+3}\\cdot 2=\\frac{2}{2 \\cdot x+3}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{2}{2 \\cdot x+3}\\cdot \\cos(4 \\cdot x)+\\ln(2 \\cdot x+3)\\cdot \\bigl(-4 \\cdot \\sin(4 \\cdot x)\\bigr).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny&#8217;=\\frac{2 \\cdot \\cos(4 \\cdot x)}{2 \\cdot x+3}-4 \\cdot \\ln(2 \\cdot x+3) \\cdot \\sin(4 \\cdot x).<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0428\u0430\u0433\u0438: \u0422\u0435\u043c\u044b, \u041a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0421\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0418\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b \u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0440\u043e\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043f\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c\u0443 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443. \u042d\u0442\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044b \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0438\u0445 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma-v-kvadrate.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442 \u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0435\u0451 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u043e\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0442\u0438\u043f\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-pokazatelnoy-funktsii.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0443\u044e \u0440\u043e\u043b\u044c \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-kvadratnogo-kornya.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u043d\u044f: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u041d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430: \u041e\u0442 \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0421\u0445\u0435\u043c\u044b \u043a \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0435<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u0443\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0430 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0443\u0440\u043e\u0432\u0435\u043d\u044c \u2014 \u043a \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0430. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0438\u0442\u0435 \u0435\u0451 \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0451\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u0439\u043c\u0451\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0451\u0442\u043a\u0438\u0445 \u043a\u043e\u043c\u0430\u043d\u0434, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043e\u043a \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2633 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/derivative-of-the-natural-logarithm2.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b\" width=\"600\" height=\"331\" srcset=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/derivative-of-the-natural-logarithm2.jpg 600w, https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/derivative-of-the-natural-logarithm2-300x166.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c, \u043d\u043e \u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c. \u041e\u043d\u0430 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2635,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[482,180,481,385,383],"class_list":["post-2615","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-logarifmicheskie-funkcii","tag-matematicheskij-analiz","tag-proizvodnaya-naturalnogo-logarifma","tag-proizvodnye-funkcij","tag-formula-proizvodnoj"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2615"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2615"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2615\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2924,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2615\/revisions\/2924"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2635"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2615"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2615"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2615"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}