{"id":2350,"date":"2026-03-04T14:40:46","date_gmt":"2026-03-04T14:40:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=2350"},"modified":"2026-03-04T14:40:51","modified_gmt":"2026-03-04T14:40:51","slug":"psevdoobratnaya-matrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/psevdoobratnaya-matrica.html","title":{"rendered":"\u0427\u0442\u043e \u0422\u0430\u043a\u043e\u0435 \u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0415\u0451 \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c: \u0411\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0418\u0434\u0435\u0438 \u0438 \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0428\u0430\u0433\u0438"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0430\u044f <a title=\"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/obratnaya-matritsa.html\">\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430<\/a> \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430. \u0422\u0430\u043a \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f. \u0418 \u0447\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443, \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0443\u0441\u0442\u043e\u0439\u0447\u0438\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445? \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u043c, \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442\u0441\u044f \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \\( U \\), \\( \\Sigma \\), \\( V \\).<\/p>\n<h2>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430: \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u041e\u043d\u0430 \u041d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0438 \u0427\u0442\u043e \u041e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e. \u0414\u043b\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A \\) \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \\( A^{-1} \\), \u0438 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{-1} \\cdot A = I,\\qquad A \\cdot A^{-1}=I.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \\( A \\) \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f (\\( m\\times n \\) \u043f\u0440\u0438 \\( m\\neq n \\)) \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043d\u043e \\( \\det(A)=0 \\), \u0442\u043e \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442. \u042d\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e: \u0432 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \\( A \\cdot A^{-1}=I \\) \u0438 \\( A^{-1} \\cdot A=I \\) \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435. \u0422\u0430\u043a \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 (\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u041c\u0443\u0440\u0430\u2013\u041f\u0435\u043d\u0440\u043e\u0443\u0437\u0430), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u044e\u0442 \\( A^{+} \\).<\/p>\n<p>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( A^{+} \\) \u0434\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A\\in\\mathbb{R}^{m\\times n} \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( A^{+}\\in\\mathbb{R}^{n\\times m} \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u0435\u0442 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA \\cdot A^{+} \\cdot A = A,\\qquad<br \/>\nA^{+} \\cdot A \\cdot A^{+} = A^{+},\\qquad<br \/>\n(A \\cdot A^{+})^{*}=A \\cdot A^{+},\\qquad<br \/>\n(A^{+} \\cdot A)^{*}=A^{+} \\cdot A.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \\( ^{*} \\) \u2014 \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \\( A^{*}=\\overline{A}^{T} \\), \u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \\( A^{*}=A^{T} \\).<\/p>\n<p>\u0418 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442: \u0435\u0441\u043b\u0438 \\( A \\) \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u0438 \u043d\u0435\u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=A^{-1}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u0440\u0435\u0447\u0438\u0442 \u0435\u043c\u0443.<\/p>\n<h2>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430: \u041f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0421\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u0447\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u0430\u044e\u0442 \u044d\u0442\u0438 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f? \u041e\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( A^{+} \\) \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445, \u0433\u0434\u0435 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0412\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA \\cdot A^{+} \\cdot A=A,\\qquad A^{+} \\cdot A \\cdot A^{+}=A^{+}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u043d\u0438 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u044e\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \\( A^{+} \\) \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \\( A \\) \u043c\u044b \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435.<\/p>\n<p>\u0412\u043e-\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445, \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (\u0438\u043b\u0438 \u044d\u0440\u043c\u0438\u0442\u043e\u0432\u043e\u0441\u0442\u044c) \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(A \\cdot A^{+})^{*}=A \\cdot A^{+},\\qquad (A^{+} \\cdot A)^{*}=A^{+} \\cdot A<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0445 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432. \u0414\u043b\u044f \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u2014 \u0441\u0430\u043c\u0430\u044f \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \\( A \\cdot x=b \\) \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0442\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446), \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0449\u0443\u0442 \\( x \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 (\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0435):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\| A \\cdot x-b \\|\\to \\min.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( x^{\\star}=A^{+} \\cdot b \\) \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043d\u0430\u0438\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u0432. \u0410 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e, \u0442\u043e \\( A^{+} \\cdot b \\) \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0442\u043e, \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \\( \\| x \\| \\) \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430. \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043e\u043a \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u0430?<\/p>\n<h2>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430: \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0421\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0420\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h2>\n<p>\u0421\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438 \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0441\u0442\u043e\u0439\u0447\u0438\u0432\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \\( A^{+} \\) \u2014 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c <a title=\"\u0421\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 (<em>SVD<\/em>)<\/a>. \u041e\u043d\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A\\in\\mathbb{R}^{m\\times n} \\) \u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA = U \\cdot \\Sigma \\cdot V^{T},<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nU\\in\\mathbb{R}^{m\\times m},\\quad<br \/>\n\\Sigma\\in\\mathbb{R}^{m\\times n},\\quad<br \/>\nV\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( U \\) \u0438 \\( V \\) \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nU^{T} \\cdot U=I,\\qquad V^{T} \\cdot V=I.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( \\Sigma \\) \u2014 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f: \u043d\u0430 \u0435\u0451 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438 \u0441\u0442\u043e\u044f\u0442 \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \\( \\sigma_i \\), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438. \u0418\u0445 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt=\\min(m,n),\\qquad \\sigma_1\\ge \\sigma_2\\ge \\cdots \\ge \\sigma_t\\ge 0,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0430 \u0432\u0441\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \\( \\Sigma \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0421\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c \\( \\Sigma \\) \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0438\u0437 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \\( m,n \\) \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Sigma=<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\nD\\\\<br \/>\n0<br \/>\n\\end{pmatrix}, &amp; m\\ge n,\\\\[12pt]<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\nD &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}, &amp; m&lt;n,<br \/>\n\\end{cases}<br \/>\n\\qquad<br \/>\nD=\\operatorname{diag}(\\sigma_1,\\sigma_2,\\ldots,\\sigma_t).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \\( r=\\operatorname{rank}(A) \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sigma_1\\ge \\cdots \\ge \\sigma_r&gt;0,\\qquad \\sigma_{r+1}=\\cdots=\\sigma_t=0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 <em>SVD<\/em> \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u043e, \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=V \\cdot \\Sigma^{+} \\cdot U^{T}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \\( \\Sigma^{+}\\in\\mathbb{R}^{n\\times m} \\) \u2014 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0435 \\( \\sigma_i \\) \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0430 \\(\\frac{1}{\\sigma_i} \\), \u0430 \u043d\u0443\u043b\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f\u043c\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Sigma^{+}=<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\nD^{+} &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}, &amp; m\\ge n,\\\\[12pt]<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\nD^{+}\\\\<br \/>\n0<br \/>\n\\end{pmatrix}, &amp; m&lt;n,<br \/>\n\\end{cases}<br \/>\n\\qquad<br \/>\nD^{+}=\\operatorname{diag}(\\sigma_1^{+},\\sigma_2^{+},\\ldots,\\sigma_t^{+}),<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sigma_i^{+}=<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\n\\dfrac{1}{\\sigma_i}, &amp; \\sigma_i&gt;0,\\\\[6pt]<br \/>\n0, &amp; \\sigma_i=0.<br \/>\n\\end{cases}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u2014 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \\( U \\), \\( \\Sigma \\), \\( V \\). \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \\( A^{+} \\) \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e.<\/p>\n<h2>\u042d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0421\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0420\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f: \u041a\u0430\u043a \u0418\u0445 \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e\u0442<\/h2>\n<p>\u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e, \u0430 \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442\u0441\u044f \u0441\u0430\u043c\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( U \\) \u0438 \\( V \\)? \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA \\cdot A^{T}\\in\\mathbb{R}^{m\\times m},\\qquad A^{T} \\cdot A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u043d\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0445 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( \\lambda_i \\) \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b, \u0430 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438. \u0412\u0430\u0436\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0438 \\( A^{T} \\cdot A \\), \u0430 \u043d\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A \\). \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 <em>SVD<\/em> \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043f\u0435\u043a\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446.<\/p>\n<p>\u041a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0430\u044f \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f:<\/p>\n<ul>\n<li>\u0421\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \\( U \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A \\cdot A^{T} \\).<\/li>\n<li>\u0421\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \\( V \\) \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A^{T} \\cdot A \\).<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0417\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430\u043c\u0438. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA \\cdot A^{T} \\cdot u_i=\\lambda_i \\cdot u_i,\\qquad i=1,2,\\ldots,m,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nU=\\begin{pmatrix}u_1 &amp; u_2 &amp; \\cdots &amp; u_m\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{T} \\cdot A \\cdot v_i=\\lambda_i \\cdot v_i,\\qquad i=1,2,\\ldots,n,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nV=\\begin{pmatrix}v_1 &amp; v_2 &amp; \\cdots &amp; v_n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u2014 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. \u041d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0438 \\( A^{T} \\cdot A \\) \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 (\u0441 \u0443\u0447\u0451\u0442\u043e\u043c \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439). \u0410 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sigma_i=\\sqrt{\\lambda_i},\\qquad \\sigma_i\\ge 0.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043c\u044b \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \\( \\lambda_i \\), \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0438.<\/p>\n<h3>\u041a\u0430\u043a \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b u<sub>i<\/sub> \u0438 v<sub>i<\/sub>?<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \\( \\sigma_i&gt;0 \\) \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA \\cdot v_i=\\sigma_i \\cdot u_i,\\qquad A^{T} \\cdot u_i=\\sigma_i \\cdot v_i.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b \\( v_i \\) \u0438 \\( \\sigma_i&gt;0 \\), \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nu_i=\\frac{1}{\\sigma_i} \\cdot A \\cdot v_i,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0430 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b \\( u_i \\), \u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv_i=\\frac{1}{\\sigma_i} \\cdot A^{T} \\cdot u_i.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e\u0442 \u0441\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \\( U \\) \u0438 \\( V \\), \u0430 \\( \\Sigma \\) \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0438\u0437 \\( \\sigma_i \\).<\/p>\n<p>\u0418 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u043e:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=V \\cdot \\Sigma^{+} \\cdot U^{T}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <em>SVD<\/em> \u043e\u043f\u0438\u0440\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0438 \\( A^{T} \\cdot A \\), \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f \\( \\Sigma^{+} \\): \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u0443\u043b\u0438.<\/p>\n<h2>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0427\u0430\u0441\u0442\u044c \u0441 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u043c\u0438<\/h2>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0451\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u043c. \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b, \u043d\u043e \u0438 \u043d\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0443 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u044d\u0442\u0430\u043f\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0438\u0445 \u0443\u043f\u0440\u0430\u0436\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1. \u041a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443?<\/h3>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \\( A^{+} \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438:<\/p>\n<ol>\n<li>\u0414\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\( A\\in\\mathbb{R}^{m\\times n} \\) \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b:<\/li>\n<\/ol>\n<p>\\[<br \/>\nA \\cdot A^{T}\\in\\mathbb{R}^{m\\times m},\\qquad A^{T} \\cdot A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<ol start=\"2\">\n<li>\u0414\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\(A \\cdot A^{T} \\) \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( \\lambda_i \\) \u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \\( u_i \\). \u0418\u0437 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443<\/li>\n<\/ol>\n<p>\\[<br \/>\nU=\\begin{pmatrix}u_1 &amp; u_2 &amp; \\cdots &amp; u_m\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<ol start=\"3\">\n<li>\u0414\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \\(A^{T} \\cdot A \\) \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( \\lambda_i \\) \u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \\( v_i \\). \u0418\u0437 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443<\/li>\n<\/ol>\n<p>\\[<br \/>\nV=\\begin{pmatrix}v_1 &amp; v_2 &amp; \\cdots &amp; v_n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<ol start=\"4\">\n<li>\u0418\u0437 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e\u0442 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \\( \\sigma_i=\\sqrt{\\lambda_i} \\) (\\( \\sigma_i\\ge 0 \\)). \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0438\u0437 \\( \\sigma_i \\) \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \\( \\Sigma\\in\\mathbb{R}^{m\\times n} \\) \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \\( \\sigma_i \\) \u0441\u0442\u043e\u044f\u043b\u0438 \u043d\u0430 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438, \u0430 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0431\u044b\u043b\u0438 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438.<\/li>\n<li>\u0421\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \\( \\Sigma^{+}\\in\\mathbb{R}^{n\\times m} \\): \u043d\u0430 \u0435\u0451 \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438 \u0441\u0442\u0430\u0432\u044f\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044e \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u0430 \u0442\u0430\u043c, \u0433\u0434\u0435 \\( \\sigma_i=0 \\), \u0441\u0442\u0430\u0432\u044f\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0438.<\/li>\n<li>\u0417\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435:<\/li>\n<\/ol>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=V \\cdot \\Sigma^{+} \\cdot U^{T}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 2. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b<\/h3>\n<p>\\[<br \/>\nA=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 1 \\\\<br \/>\n1 &amp; 2 \\\\<br \/>\n3 &amp; 3<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c \u0441 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0438 \\(A^{T} \\cdot A \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\nA \\cdot A^{T}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 1\\\\<br \/>\n1 &amp; 2\\\\<br \/>\n3 &amp; 3<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 1 &amp; 3\\\\<br \/>\n1 &amp; 2 &amp; 3<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n5 &amp; 4 &amp; 9\\\\<br \/>\n4 &amp; 5 &amp; 9\\\\<br \/>\n9 &amp; 9 &amp; 18<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\\\[6pt]<br \/>\nA^{T} \\cdot A=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 1 &amp; 3\\\\<br \/>\n1 &amp; 2 &amp; 3<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 1\\\\<br \/>\n1 &amp; 2\\\\<br \/>\n3 &amp; 3<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n14 &amp; 13\\\\<br \/>\n13 &amp; 14<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0441\u043f\u0435\u043a\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435. \u0414\u043b\u044f \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda_1=27,\\quad x_1=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1\\\\<br \/>\n1\\\\<br \/>\n2<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\lambda_2=1,\\quad x_2=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n-1\\\\<br \/>\n1\\\\<br \/>\n0<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\lambda_3=0,\\quad x_3=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n-1\\\\<br \/>\n-1\\\\<br \/>\n1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \\( U \\). \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nU=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}} &amp; \\frac{-1}{\\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}}} &amp; \\frac{-1}{\\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}} \\\\<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}} &amp; \\frac{1}{\\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}}} &amp; \\frac{-1}{\\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}} \\\\<br \/>\n\\frac{2}{\\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}} &amp; \\frac{0}{\\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}}} &amp; \\frac{1}{\\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}<br \/>\n\\end{pmatrix}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.408 &amp; -0.707 &amp; -0.577\\\\<br \/>\n0.408 &amp; 0.707 &amp; -0.577\\\\<br \/>\n0.816 &amp; 0 &amp; 0.577<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \\( A^{T} \\cdot A \\) \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda_1=27,\\quad y_1=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1\\\\<br \/>\n1<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\lambda_2=1,\\quad y_2=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n-1\\\\<br \/>\n1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \\( V \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nV=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{1^{2}+1^{2}}} &amp; \\frac{-1}{\\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}} \\\\<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{1^{2}+1^{2}}} &amp; \\frac{1}{\\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}<br \/>\n\\end{pmatrix}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.707 &amp; -0.707\\\\<br \/>\n0.707 &amp; 0.707<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( \\sigma_i=\\sqrt{\\lambda_i} \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sigma_1=5.196,\\qquad \\sigma_2=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( \\Sigma\\in\\mathbb{R}^{3\\times 2} \\) \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Sigma=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n5.196 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1\\\\<br \/>\n0 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u043c \\( \\Sigma^{+}\\in\\mathbb{R}^{2\\times 3} \\). \u041d\u0430 \u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \\( 5.196 \\) \u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 \\( 1 \\) \u0438 \u043d\u0443\u043b\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0431\u0435\u0437 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Sigma^{+}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.192 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=V \\cdot \\Sigma^{+} \\cdot U^{T}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.707 &amp; -0.707\\\\<br \/>\n0.707 &amp; 0.707<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.192 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.408 &amp; 0.408 &amp; 0.816\\\\<br \/>\n-0.707 &amp; 0.707 &amp; 0\\\\<br \/>\n-0.577 &amp; -0.577 &amp; 0.577<br \/>\n\\end{pmatrix}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.556 &amp; -0.444 &amp; 0.111\\\\<br \/>\n-0.444 &amp; 0.556 &amp; 0.111<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>\u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439<\/strong>: \\( A\\in\\mathbb{R}^{3\\times 2} \\), \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \\( A^{+}\\in\\mathbb{R}^{2\\times 3} \\), \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e \u043f\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0443.<\/p><\/blockquote>\n<h3 class=\"example\">\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 3. \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b<\/h3>\n<p>\\[<br \/>\nA=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435, \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c \u0441 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0438 \\( A^{T} \\cdot A \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{gathered}<br \/>\nA \\cdot A^{T}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1\\\\<br \/>\n0 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n4 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\\\[6pt]<br \/>\nA^{T} \\cdot A=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1\\\\<br \/>\n0 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix} \\cdot<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n4 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 0 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\end{gathered}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u0441\u043f\u0435\u043a\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435. \u0414\u043b\u044f \\( A \\cdot A^{T} \\) \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda_1=4,\\quad x_1=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1\\\\<br \/>\n0<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\lambda_2=1,\\quad x_2=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0\\\\<br \/>\n1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( U \\) \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nU=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \\( A^{T} \\cdot A \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda_1=4,\\quad y_1=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1\\\\<br \/>\n0\\\\<br \/>\n0<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\lambda_2=1,\\quad y_2=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0\\\\<br \/>\n1\\\\<br \/>\n0<br \/>\n\\end{pmatrix},<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\lambda_3=0,\\quad y_3=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0\\\\<br \/>\n0\\\\<br \/>\n1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nV=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 0 &amp; 1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( A \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \\( 2\\times 3 \\), \u0432 \\( \\Sigma \\) \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \\( t=\\min(2,3)=2 \\) \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0434\u0432\u0435 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sigma_1=2,\\qquad \\sigma_2=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \\( \\Sigma\\in\\mathbb{R}^{2\\times 3} \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Sigma=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n2 &amp; 0 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u043c \\( \\Sigma^{+}\\in\\mathbb{R}^{3\\times 2} \\). \u041d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0438\u0446\u0438\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Sigma^{+}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.5 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1\\\\<br \/>\n0 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=V \\cdot \\Sigma^{+} \\cdot U^{T}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \\( V \\) \u0438 \\( U \\) \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u2014 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \\( \\Sigma^{+} \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA^{+}=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n0.5 &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1\\\\<br \/>\n0 &amp; 0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h2>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0432 \u041a\u043e\u0434\u0435: \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0421\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0421\u0432\u043e\u0439 \u041c\u0438\u043d\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440<\/h2>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u044c\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0430, \u0430 \u0447\u0451\u0442\u043a\u0438\u0439 \u043f\u043b\u0430\u043d \u0434\u043b\u044f \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0430. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0431\u044b \u043d\u0435 \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0435\u0451 \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u043a\u0443 \u0438 \u043d\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435? \u0422\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0442\u0440\u0435\u043d\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a \u0434\u0435\u0442\u0430\u043b\u044f\u043c \u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445. \u0410 \u0435\u0449\u0451 \u043f\u0440\u0438\u044f\u0442\u043d\u043e \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0435, \u043d\u043e \u0438 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043a\u043e\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0434\u0430\u0451\u0442 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0441 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430.<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2427 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/pseudoinverse-of-a-matrix1.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0441\u0438\u043d\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\" width=\"650\" height=\"5851\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0430\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430. \u0422\u0430\u043a \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f, \u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f. \u0418<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2430,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[423],"tags":[164,462,461,464,463],"class_list":["post-2350","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-algebra-matrits","tag-linejnaya-algebra","tag-matrica-mura-penrouza","tag-psevdoobratnaya-matrica","tag-psevdoreshenie","tag-singulyarnoe-razlozhenie"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2350"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2350"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2350\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2429,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2350\/revisions\/2429"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2430"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2350"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2350"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2350"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}