{"id":1757,"date":"2025-12-14T09:25:54","date_gmt":"2025-12-14T09:25:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=1757"},"modified":"2026-01-22T15:03:34","modified_gmt":"2026-01-22T15:03:34","slug":"proizvodnaya-arktangensa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arktangensa.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0428\u0430\u0433\u043e\u043c: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u044d\u0442\u0430\u043f \u0432 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430 \u0432 \u0446\u0435\u043b\u043e\u043c. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\arctan (x) \\), \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0441\u043b\u0435\u0433\u043a\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442, \u0438 \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u0430\u043a <em>&#171;\u043e\u0434\u0438\u043d \u043f\u043b\u044e\u0441 \\( x \\) \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435&#187;<\/em>? \u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043e \u0441 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430? \u0418 \u0447\u0442\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439? \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u0445, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0438\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0447\u0435\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u043c.<\/p>\n<h2>\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430: \u041a\u0430\u043a \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u041e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0420\u043e\u0441\u0442 \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c\u0430. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( y = arctan (x) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arctan(x)\\bigr) = \\frac{1}{1 + x^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0435\u0434\u043b\u0438\u0432\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \\( x \\). \u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\arctan (x) \\) \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439, \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \\( x \\in \\mathbb{R} \\). \u0417\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 1 + x^2 \\) \u043d\u0438\u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0435\u0442 <em>&#171;\u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u043d\u044b\u0445&#187;<\/em> \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a.<\/p>\n<p>\u0418\u0437 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432. \u0412\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( 1 + x^2 &gt; 0 \\) \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \\( x \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \\( arctan (x) \\) \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442. \u0412\u043e-\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445, \u0441 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f \\( x \\) \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \\( 1 + x^2 \\) \u0440\u0430\u0441\u0442\u0451\u0442, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \\( arctan (x) \\) \u0440\u0430\u0441\u0442\u0451\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f \u0438 \u043c\u0435\u0434\u043b\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 x \u0443\u0434\u0430\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442: \\( f(x) = \\arctan(x) \\) \u0438 \\( f'(x) = \\frac{1}{1 + x^2} \\).<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-15499 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/derivative-of-arctan1.jpg\" alt=\"\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 f(x)=arctan(x) \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 f'(x)=1\/(1+x\u00b2)\" width=\"600\" height=\"350\" \/><\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \\( arctan (x) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 <em>S<\/em>-\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443: \u043e\u043d\u0430 \u043c\u0435\u0434\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0441\u0438\u043c\u043f\u0442\u043e\u0442\u0435 \\( y = \\frac{\\pi}{2} \\) \u043f\u0440\u0438 \\( x \\to +\\infty \\) \u0438 \u043a \\( y = -\\frac{\\pi}{2} \\) \u043f\u0440\u0438 \\( x \\to -\\infty \\). \u0412\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \\( x = 0 \\) \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043a\u0440\u0443\u0442\u043e\u0439, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435. \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442: \\( f'(x) = \\frac{1}{1 + x^2} \\) \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( 1 \\) \u043f\u0440\u0438 \\( x = 0 \\), \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e \u0441\u043d\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f, \u043d\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0441\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0438 \u0434\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e \u0442\u043e\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430.<\/p>\n<h2>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b: \u041a\u0430\u043a \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437 \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \\( arctan (x) \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0414\u043b\u044f \u0433\u043b\u0443\u0431\u043e\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043c\u044b <em>&#171;\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430&#187;<\/em> \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442, \u0430 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043e\u0442 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b.<\/p>\n<h3>\u0421\u0442\u0430\u0440\u0442 \u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/h3>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y = \\arctan (x) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arctan(x)\\bigr) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{\\arctan(x+h) &#8212; \\arctan(x)}{h};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430, \u0438 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441 \u043d\u0435\u0439 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c \u0431\u044b\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430, \u0432\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \\( A = \\arctan(x) \\) \u0438 \\( B = \\arctan(x + h) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( \\tan(A) = x \\) \u0438 \\( \\tan(B) = x + h \\).<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \\( \\arctan(x + h) &#8212; \\arctan(x) \\), \u0432 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \\( B &#8212; A \\). \u041f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \\( h = (x + h) &#8212; x = \\tan(B) &#8212; \\tan(A) \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{\\arctan(x + h) &#8212; \\arctan(x)}{h} = \\frac{B &#8212; A}{\\tan(B) &#8212; \\tan(A)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438 \\( h \\to 0 \\). \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\) \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \\( x+h \\) \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \\( x \\), \u0438 \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \\( B \\to A \\), \u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( B-A \\) \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0439. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0438 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433.<\/p>\n<h3>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043a \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439<\/h3>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u043e\u0432. \u0414\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u044b\u0445 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \\( A \\) \u0438 \\( B \\) \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\tan(B) &#8212; \\tan(A) = \\frac{\\sin(B &#8212; A)}{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0438\u0437 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \\( \\tan(\\alpha) = \\frac{\\sin(\\alpha)}{\\cos(\\alpha)} \\) \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432, \u043d\u043e \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u043e\u0432 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( \\sin(B &#8212; A) \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{B &#8212; A}{\\tan(B) &#8212; \\tan(A)} = \\frac{B &#8212; A}{\\frac{\\sin(B &#8212; A)}{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}} = (B &#8212; A) \\cdot \\frac{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}{\\sin(B &#8212; A)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u043d\u0435\u0439\u0448\u0438\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u044b\u043c, \u0432\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( t = B &#8212; A \\). \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\to 0 \\), \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \\( B \\to A \\), \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \\( t = B &#8212; A \\to 0 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0448\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n(B &#8212; A) \\cdot \\frac{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}{\\sin(B &#8212; A)} = t \\cdot \\frac{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}{\\sin(t)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arctan(x)\\bigr) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{\\arctan(x + h) &#8212; \\arctan(x)}{h} = \\lim_{h \\to 0} t \\cdot \\frac{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}{\\sin(t)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430<\/h3>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\to 0 \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( B \\to A \\), \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \\( \\cos(B) \\to \\cos(A) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\cos(A) \\cdot \\cos(B) \\) \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \\( \\cos^2(A) \\).<\/p>\n<p>\u0421 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b, \\( t \\to 0 \\), \u0438 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u0435\u043d \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430 \\( \\lim_{t \\to 0} \\frac{\\sin(t)}{t} = 1 \\). \u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \\( \\lim_{t \\to 0} \\frac{t}{\\sin(t)} = 1 \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u0430\u0448\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nt \\cdot \\frac{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}{\\sin(t)} = \\left( \\cos(A) \\cdot \\cos(B) \\right) \\cdot \\frac{t}{\\sin(t)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\to 0 \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( B \\to A \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \\( \\cos(A) \\cdot \\cos(B) \\to \\cos^2(A) \\), \u0430 \\( \\frac{t}{\\sin(t)} \\to 1 \\). \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h \\to 0} t \\cdot \\frac{\\cos(A) \\cdot \\cos(B)}{\\sin(t)} = \\cos^2(A) \\cdot 1 = \\cos^2(A);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arctan(x)\\bigr) = \\cos^2(A);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \\( A = \\arctan(x) \\). \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0443\u0436\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u0433\u043e\u043b \\( A \\), \u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\).<\/p>\n<h2>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043e\u0442 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439<\/h2>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u0442\u044c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u0442\u044c \\( \\cos^2(A) \\) \u0441 \\( x \\). \u041c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \\( \\tan(A) = x \\). \u0418\u0437 \u043a\u0443\u0440\u0441\u0430 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0430 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1 + \\tan^2(A) = \\frac{1}{\\cos^2(A)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \\( \\cos^2(A) = \\frac{1}{1 + \\tan^2(A)} \\). \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \\( \\tan(A) = x \\): \\( \\cos^2(A) = \\frac{1}{1 + x^2} \\). \u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \\( \\cos^2(A) \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arctan(x)\\bigr) = \\frac{1}{1 + x^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043c\u044b <em>&#171;\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430&#187;<\/em>. \u041c\u044b \u043f\u0440\u0438\u0448\u043b\u0438 \u043a \u043d\u0435\u0439, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432. \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u0435\u0434\u0435\u0442 \u043a \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0432\u0438\u0434.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0411\u043b\u043e\u043a: \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u043d\u0430 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043e\u0440\u0438\u044f \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u043e \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445: \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438. \u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0442\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a \u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 1: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\arctan(3 \\cdot x) \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u2014 \\( g(u) = \\arctan(u) \\), \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( u = 3 \\cdot x \\). \u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044f \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \\( u \\) \u043d\u0435\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c: \\( g'(u) = \\frac{1}{1 + u^2} \\). \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u&#8217; = 3 \\).<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = \\left( \\frac{1}{1 + (3 \\cdot x)^2} \\right) \\cdot 3 = \\frac{3}{1 + 9 \\cdot x^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u044b\u0442\u043e\u0436\u0438\u043c: \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\arctan(3 \\cdot x) \\) \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \\( f'(x) = \\frac{3}{1 + 9 \\cdot x^2} \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 2: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = x \\cdot \\arctan(x) \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( u = x \\) \u0438 \\( v = \\arctan(x) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( u&#8217; = 1 \\), \u0430 \\( v&#8217; = \\frac{1}{1 + x^2} \\). \u041f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( (u \\cdot v)&#8217; = u&#8217; \\cdot v + u \\cdot v&#8217; \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = 1 \\cdot \\arctan(x) + x \\cdot \\left( \\frac{1}{1 + x^2} \\right) = \\arctan(x) + \\frac{x}{1 + x^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442: \\( f'(x) = \\arctan(x) + \\frac{x}{1 + x^2} \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 3: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\bigl(\\arctan(2 \\cdot x)\\bigr)^2 \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u0437\u0438\u0446\u0438\u044f: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u2014 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( 2 \\cdot x \\). \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f <em>&#171;\u0441\u043d\u0430\u0440\u0443\u0436\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u044c&#187;<\/em>. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx} \\left( \\arctan(2 \\cdot x) \\right)^2 = 2 \\cdot \\arctan(2 \\cdot x) \\cdot \\frac{d}{dx} \\arctan(2 \\cdot x);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a \\( \\arctan(2 \\cdot x) \\). \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438 \u2014 \\( \\arctan(u) \\) \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( \\frac{1}{1 + u^2} \\), \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( u = 2 \\cdot x \\) \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( u&#8217; = 2 \\). \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx} \\arctan(2 \\cdot x) = \\frac{1}{1 + (2 \\cdot x)^2} \\cdot 2 = \\frac{2}{1 + 4 \\cdot x^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = 2 \\cdot \\arctan(2 \\cdot x) \\cdot \\frac{2}{1 + 4 \\cdot x^2} = \\frac{4 \\cdot \\arctan(2 \\cdot x)}{1 + 4 \\cdot x^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442: \\( f'(x) = \\frac{4 \\cdot \\arctan(2 \\cdot x)}{1 + 4 \\cdot x^2} \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 4: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\dfrac{\\arctan(x)}{1 + x^2} \\)<\/h3>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( u = \\arctan(x) \\) \u0438 \\( v = 1 + x^2 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( u&#8217; = \\frac{1}{1 + x^2} \\), \u0430 \\( v&#8217; = 2 \\cdot x \\). \u041f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( \\left( \\frac{u}{v} \\right)&#8217; = \\frac{u&#8217; \\cdot v &#8212; u \\cdot v&#8217;}{v^2} \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = \\frac{\\left( \\frac{1}{1 + x^2} \\right) \\cdot (1 + x^2) &#8212; \\arctan(x) \\cdot 2 \\cdot x}{(1 + x^2)^2} = \\frac{1 &#8212; 2 \\cdot x \\cdot \\arctan(x)}{(1 + x^2)^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u044b\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 5: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\arctan(x) \\)<\/h3>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043d\u043e \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u2014 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( u = e^{2 \\cdot x} \\) \u0438 \\( v = \\arctan(x) \\). \u0414\u043b\u044f \\( u \\) \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c: \\( u&#8217; = 2 \\cdot e^{2 \\cdot x} \\). \u0414\u043b\u044f \\( v \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \\( v&#8217; = \\frac{1}{1 + x^2} \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \\( (u \\cdot v)&#8217; = u&#8217; \\cdot v + u \\cdot v&#8217; \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = 2 \\cdot e^{2 \\cdot x} \\cdot \\arctan(x) + e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left( \\frac{1}{1 + x^2} \\right);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( e^{2 \\cdot x} \\), \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u0435\u0435:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left( 2 \\cdot \\arctan(x) + \\frac{1}{1 + x^2} \\right);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442.<\/p>\n<h2>\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0415\u0449\u0435 \u0411\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438: \u0427\u0442\u043e \u0418\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0422\u0435\u043c\u044b <em>&#171;\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430&#187;<\/em>?<\/h2>\n<p>\u0425\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0437\u0430\u043a\u0440\u0435\u043f\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u0443\u044e \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0443? \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 <a title=\"\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener\">\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438<\/a>. \u041d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u044b \u0442\u0435\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430.<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arksinusa.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0421\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0432 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arccosinusa.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u0441 \u043f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u044b\u043c\u0438 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arkkotangensa.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u0438.<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote><p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0430\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u0442\u0440\u0435\u043d\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438, \u043d\u043e \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043e\u043c\u043d\u0435\u0432\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435, \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f <a title=\"\u041a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043e\u043d\u043b\u0430\u0439\u043d\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/kalkuljator-proizvodnyh.html\">\u043e\u043d\u043b\u0430\u0439\u043d-\u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445<\/a>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p><\/blockquote>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0432 \u041a\u043e\u0434\u0435: \u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0428\u0430\u0433 \u0434\u043b\u044f \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442\u043e\u0432<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044e \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0438\u0437 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\arctan (x) \\) \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435. \u0423 \u0432\u0430\u0441 \u0443\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0430\u044f \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u2014 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043f\u043e\u043b\u043e\u0432\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0443\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0439\u0434\u0435\u043d\u0430: \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0435\u0451 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0439 \u0438 \u0446\u0438\u043a\u043b\u044b \u043d\u0430 \u0432\u0430\u0448\u0435\u043c \u043b\u044e\u0431\u0438\u043c\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u0422\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0432 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u0438, \u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b \u043a \u0432\u044b\u0437\u043e\u0432\u0443, \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0438\u0442\u0435 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443, \u043e\u0442\u043a\u0440\u043e\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0434\u0430\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u0434\u0430 \u0438 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-15623 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/derivative-of-arctan2.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0445\u0430\u0440\u0430\u043a\u0442\u0435\u0440\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 arctan(x) \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435\" width=\"600\" height=\"545\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u044d\u0442\u0430\u043f \u0432 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430 \u0432 \u0446\u0435\u043b\u043e\u043c. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1758,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[180,434,385,384,383],"class_list":["post-1757","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-matematicheskij-analiz","tag-proizvodnaya-arktangensa","tag-proizvodnye-funkcij","tag-trigonometricheskie-funkcii","tag-formula-proizvodnoj"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1757"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1757"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1757\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1760,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1757\/revisions\/1760"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1758"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1757"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1757"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1757"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}