{"id":1720,"date":"2025-12-06T12:30:25","date_gmt":"2025-12-06T12:30:25","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/?p=1720"},"modified":"2026-07-18T13:02:05","modified_gmt":"2026-07-18T13:02:05","slug":"proizvodnaya-arccosinusa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arccosinusa.html","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430: \u041a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0438 \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0435\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\arccos(x) \\), \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0435\u0451 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442, \u0438 \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0443 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0437\u043d\u0430\u043a? \u041e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435? \u0418 \u043a\u0430\u043a \u0432\u0441\u0451 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043e \u0441 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438? \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0438\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438, \u043d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u0437\u0430\u043a\u0440\u0435\u043f\u0438\u043c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445.<\/p>\n<h2>\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430: \u0427\u0442\u043e \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430?<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y = \\arccos(x) \\) \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arccos(x)\\bigr) = -\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0432\u0435\u0440\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \\( x \\in (-1, 1) \\). \u0425\u043e\u0442\u044f \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\arccos(x) \\) \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [-1, 1] \\), \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u0445, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \\( x = -1 \\) \u0438 \\( x=1 \\) \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0443\u0436\u0435, \u0447\u0435\u043c \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u2014 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u041e\u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( \\arccos(x) \\) \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439: \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( x \\) \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u044b \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\arccos(x) \\) \u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}} \\).<\/p>\n<p><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-15499 size-full\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/derivative-of-arccos1.jpg\" alt=\"\u0418\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 f(x)=arccos(x) \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 f'(x)=-1\/\u221a(1-x\u00b2)\" width=\"600\" height=\"350\" \/><\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u044f\u0441\u043d\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \\( \\arccos(x) \\) \u043c\u043e\u043d\u043e\u0442\u043e\u043d\u043d\u043e \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0451\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [-1, 1] \\). \u0412 \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435, \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f, \u0441\u043f\u0430\u0434 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043c\u0435\u0434\u043b\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435, \u0430 \u0431\u043b\u0438\u0436\u0435 \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c \\( x = -1 \\) \u0438 \\( x=1 \\) \u2014 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0435\u0451 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043d\u0443\u043b\u044f, \u0430 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e \u043e\u043d\u0438 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 x \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u0430\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0430. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0441\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u0440\u0443\u0433 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c.<\/p>\n<h2>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b: \u041a\u0430\u043a \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0437 \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f?<\/h2>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u043e\u043f\u0438\u0440\u0430\u044f\u0441\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( \\arccos(x) \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arccos(x)\\bigr) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{\\arccos(x+h) &#8212; \\arccos(x)}{h};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e: \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0438 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c\u044e \u043d\u0435\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c \u0438 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( A = \\arccos(x) \\) \u0438 \\( B = \\arccos(x+h) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \\( \\cos(A) = x \\) \u0438 \\( \\cos(B) = x + h \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \\( \\arccos(x+h) &#8212; \\arccos(x) \\) \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \\( B &#8212; A \\).<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \\( h \\) \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435. \u041d\u043e \u043f\u043e \u0432\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c: \\( h = (x + h) &#8212; x = \\cos(B) &#8212; \\cos(A) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{B &#8212; A}{h} = \\frac{B &#8212; A}{\\cos(B) &#8212; \\cos(A)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438, \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432. \u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\cos(B) &#8212; \\cos(A) = -2 \\cdot \\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\cdot \\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{B &#8212; A}{\\cos(B) &#8212; \\cos(A)} = \\frac{B &#8212; A}{-2 \\cdot \\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\cdot \\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \\( B &#8212; A = 2 \\cdot \\frac{B &#8212; A}{2} \\), \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{B &#8212; A}{\\cos(B) &#8212; \\cos(A)} = \\frac{2 \\cdot \\frac{B &#8212; A}{2}}{-2 \\cdot \\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\cdot \\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right)}<br \/>\n= -\\frac{\\frac{B &#8212; A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\cdot \\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u044b\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{B &#8212; A}{\\cos(B) &#8212; \\cos(A)} = -\\left(\\frac{\\frac{B &#8212; A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right)}\\right) \\cdot \\left(\\frac{1}{\\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)}\\right);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0430\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438 \\( h \\to 0 \\).<\/p>\n<h3>\u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u2014 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043a \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0443<\/h3>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\to 0 \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( B = \\arccos(x + h) \\to \\arccos(x) = A \\), \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \\( B \\to A \\). \u0421\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( B &#8212; A \\to 0 \\), \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \\( \\frac{B &#8212; A}{2} \\to 0 \\).<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u0435\u0435, \u0432\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( t = \\frac{B &#8212; A}{2} \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{\\frac{B &#8212; A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right)} = \\frac{t}{\\sin (t)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u043c \\( \\lim_{t \\to 0} \\frac{\\sin (t)}{t} = 1 \\), \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \\( \\lim_{t \\to 0} \\frac{t}{\\sin (t)} = 1 \\). \u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<h3>\u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u2014 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043a \\( sin(A) \\)<\/h3>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\frac{1}{\\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)} \\). \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\to 0 \\), \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \\( B \\to A \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \\( \\frac{A + B}{2} \\to \\frac{A + A}{2} = A \\).<\/p>\n<p>\u0421\u0438\u043d\u0443\u0441 \u2014 \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \\( \\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\to \\sin(A) \\), \u0430 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( \\frac{1}{\\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)} \\to \\frac{1}{\\sin(A)} \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \\( \\frac{1}{\\sin(A)} \\).<\/p>\n<h3>\u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u0432 \u2014 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430<\/h3>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u043c \u043e\u0431\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lim_{h \\to 0} \\frac{B &#8212; A}{\\cos(B) &#8212; \\cos(A)}<br \/>\n= \\lim_{h \\to 0} \\left(-\\left(\\frac{\\frac{B &#8212; A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{B &#8212; A}{2}\\right)}\\right)\\cdot\\left(\\frac{1}{\\sin\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)}\\right)\\right)<br \/>\n= -1 \\cdot \\frac{1}{\\sin(A)} = -\\frac{1}{\\sin(A)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arccos(x)\\bigr) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{B &#8212; A}{h}<br \/>\n= \\lim_{h \\to 0} \\frac{B &#8212; A}{\\cos(B) &#8212; \\cos(A)};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \\( \\frac{d}{dx}\\bigl(\\arccos(x)\\bigr) = -\\frac{1}{\\sin(A)} \\), \u0433\u0434\u0435 \\( A = \\arccos(x) \\). \u041e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \\( \\sin(A) \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\), \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0430\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \\( x \\).<\/p>\n<h3>\u0412\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u043c \\( sin(A) \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\) \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443<\/h3>\n<p>\u0418\u0437 \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( \\cos(A) = x \\) \u0438 \\( A = \\arccos(x) \\). \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\sin^2(A) + \\cos^2(A) = 1;<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \\( \\cos(A) = x \\), \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \\( \\sin^2(A) + x^2 = 1 \\), \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \\( \\sin^2(A) = 1 &#8212; x^2 \\).<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \\( A = \\arccos(x) \\in [0, \\pi] \\). \u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043d, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c: \\( \\sin(A) = \\sqrt{1 &#8212; x^2} \\).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arccos(x)\\bigr) = -\\frac{1}{\\sin(A)} = -\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043c\u044b \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u043b\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u043e\u043f\u0438\u0440\u0430\u044f\u0441\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432. \u041f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u0435\u0434\u0451\u0442 \u043a \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0432\u0438\u0434.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0411\u043b\u043e\u043a: \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043d\u0430 \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445<\/h2>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044e, \u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u0445. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u0434\u0443\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0442\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a \u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 1: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\arccos(3 \\cdot x) \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u2014 \\( g(u) = \\arccos(u) \\), \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( u = 3 \\cdot x \\). . \u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044f \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \\( u \\) \u043d\u0435\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c: \\( g'(u) = &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; u^2}} \\). \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( u&#8217; = 3 \\). \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; (3x)^2}}\\right) \\cdot 3 = -\\frac{3}{\\sqrt{1 &#8212; 9x^2}};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0432\u0435\u0442: \\( f'(x) = -\\frac{3}{\\sqrt{1 &#8212; 9x^2}} \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 2: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = x \\cdot \\arccos(x) \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( u = x \\) \u0438 \\( v = \\arccos(x) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430, \\( u&#8217; = 1 \\), \u0430 \\( v&#8217; = &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}} \\). \u041f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( (u \\cdot v)&#8217; = u&#8217; \\cdot v + u \\cdot v&#8217; \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = 1 \\cdot \\arccos(x) + x \\cdot \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}}\\right)<br \/>\n= \\arccos(x) &#8212; \\frac{x}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0432\u0435\u0442: \\( f'(x) = \\arccos(x) &#8212; \\frac{x}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}} \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 3: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\bigl(\\arccos(2 \\cdot x)\\bigr)^2 \\)<\/h3>\n<p>\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u0432\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u0437\u0438\u0446\u0438\u044f: \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441, \u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u2014 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \\( 2 \\cdot x \\). \u0414\u0432\u0438\u0433\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u0441\u043d\u0430\u0440\u0443\u0436\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u044c.<\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}(\\arccos(2 \\cdot x))^2 = 2 \\cdot \\arccos(2 \\cdot x) \\cdot \\frac{d}{dx}(\\arccos(2 \\cdot x));<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a \\( \\arccos(2 \\cdot x) \\). \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u2014 \\( \\arccos(u) \\) \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; u^2}} \\), \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( u = 2 \\cdot x \\) \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \\( u&#8217; = 2 \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{d}{dx}(\\arccos(2 \\cdot x)) = -\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; (2 \\cdot x)^2}} \\cdot 2 = -\\frac{2}{\\sqrt{1 &#8212; 4 \\cdot x^2}};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u043c \u043e\u0431\u0430 \u0448\u0430\u0433\u0430:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = 2 \\cdot \\arccos(2 \\cdot x) \\cdot \\left(-\\frac{2}{\\sqrt{1 &#8212; 4 \\cdot x^2}}\\right)<br \/>\n= -\\frac{4 \\cdot \\arccos(2 \\cdot x)}{\\sqrt{1 &#8212; 4 \\cdot x^2}};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0432\u0435\u0442: \\( f'(x) = -\\frac{4 \\cdot \\arccos(2 \\cdot x)}{\\sqrt{1 &#8212; 4 \\cdot x^2}} \\).<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 4: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\dfrac{\\arccos(x)}{1 + x^2} \\)<\/h3>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( u = \\arccos(x) \\), \\( v = 1 + x^2 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( u&#8217; = &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}} \\) \u0438 \\( v&#8217; = 2 \\cdot x \\). \u041f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( \\left(\\frac{u}{v}\\right)&#8217; = \\frac{u&#8217; \\cdot v &#8212; u \\cdot v&#8217;}{v^2} \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = \\frac{\\left(-\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}}\\right) \\cdot (1 + x^2) &#8212; \\arccos(x) \\cdot 2 \\cdot x}{(1 + x^2)^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = \\frac{-\\frac{1 + x^2}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}} &#8212; 2 \\cdot x \\cdot \\arccos(x)}{(1 + x^2)^2};<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<h3 class=\"example\">\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 5: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\arccos(x) \\)<\/h3>\n<p>\u0421\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( u = e^{2 \\cdot x} \\) \u0438 \\( v = \\arccos(x) \\). \u0414\u043b\u044f \\( u \\) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438: \\( u&#8217; = 2 \\cdot e^{2 \\cdot x} \\). \u0414\u043b\u044f \\( v \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( v&#8217; = &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}} \\). \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u043c:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = 2 \\cdot e^{2 \\cdot x} \\cdot \\arccos(x) + e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}}\\right);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( e^{2 \\cdot x} \\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf'(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left(2 \\cdot \\arccos(x) &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}}\\right);<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0432\u0435\u0442: \\( f'(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left(2 \\cdot \\arccos(x) &#8212; \\frac{1}{\\sqrt{1 &#8212; x^2}}\\right) \\).<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0423\u0436\u0435 \u041e\u0441\u0432\u043e\u0435\u043d\u0430 \u2014 \u0427\u0442\u043e \u0418\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435?<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0451 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 <a title=\"\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\" href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener\">\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/a>. \u0423 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0438 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043d\u043e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u043e\u043d\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443, \u0432\u0430\u0436\u043d\u0443\u044e \u043a\u0430\u043a \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435, \u0442\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445. \u041d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u044b \u0442\u0435\u043c\u044b, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0438\u0442\u044c \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<ol>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arksinusa.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0421\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arktangensa.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u041c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438 \u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430.<\/li>\n<li><a title=\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/proizvodnaya-arkkotangensa.html\">\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430: \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b<\/a> \u2014 \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0442\u0430\u043d\u0433\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote><p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0430\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u0442\u0440\u0435\u043d\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445, \u043d\u043e \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043e\u043c\u043d\u0435\u0432\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u0432 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0430\u0445, \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435\u0441\u044c <a title=\"\u041a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043e\u043d\u043b\u0430\u0439\u043d\" href=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/kalkuljator-proizvodnyh.html\">\u043e\u043d\u043b\u0430\u0439\u043d-\u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445<\/a>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p><\/blockquote>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0432 \u041a\u043e\u0434\u0435: \u041e\u0442 \u0411\u043b\u043e\u043a-\u0421\u0445\u0435\u043c\u044b \u043a \u0420\u0430\u0431\u043e\u0447\u0435\u0439 \u041f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0435<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0443\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c. \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u044d\u0442\u0443 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0443, \u0432\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443 \u2014 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043d\u0430 <em>Pascal<\/em> \u0438\u043b\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u0435, \u2014 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0441\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435, \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0443\u043f\u0440\u0430\u0436\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0437\u0430\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u043d\u043e \u0438 \u0442\u0440\u0435\u043d\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0443\u043c\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0434\u0443\u043a\u0442. \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0430 \u0441 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0447\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-15529 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/derivative-of-arccos2.jpg\" alt=\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435\" width=\"600\" height=\"266\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0430\u0440\u043a\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0435\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1721,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"template-centered.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[372],"tags":[180,430,385,384,383],"class_list":["post-1720","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-proizvodnaja-i-differencial","tag-matematicheskij-analiz","tag-proizvodnaya-arkkosinusa","tag-proizvodnye-funkcij","tag-trigonometricheskie-funkcii","tag-formula-proizvodnoj"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1720"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1720"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1720\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2095,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1720\/revisions\/2095"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1721"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1720"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1720"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1720"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}