![\"\u0418\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435](\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/derivative-of-arcsin1.jpg\")
<\/p>\n
\u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435. \u041a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \\( \\arcsin(x) \\) \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0451\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \\( [-1, 1] \\), \u043d\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e-\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u043c\u0443: \u0432\u043e\u0437\u043b\u0435 \u043d\u0443\u043b\u044f \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0434\u043b\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435, \u0430 \u0431\u043b\u0438\u0436\u0435 \u043a \\( -1 \\) \u0438 \\( 1 \\) \u0440\u043e\u0441\u0442 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0435\u0437\u043a\u0438\u043c. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \\( f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}} \\) \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442: \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0439 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u043e \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( x \\) \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \\( -1 \\) \u0438\u043b\u0438 \\( 1 \\). \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0441\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f: \u0432\u043e\u0437\u0440\u0430\u0441\u0442\u0430\u043d\u0438\u044e \\( \\arcsin(x) \\) \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439, \u0430 \u043a\u0440\u0443\u0442\u043e\u0439 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \\( f'(x) \\).<\/p>\n
\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439: \u0428\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0428\u0430\u0433\u043e\u043c<\/h2>\n
\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \\( \\arcsin(x) \\). \u041d\u0430\u0447\u043d\u0451\u043c \u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0414\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( y = \\arcsin(x) \\) \u043e\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(x)\\bigr) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{\\arcsin(x + h) — \\arcsin(x)}{h};
\n\\]<\/p>\n
\u041d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c: \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0438 \u0431\u0435\u0437 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u0441 \u043d\u0438\u043c \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u2014 \u0432\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n
\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( A = \\arcsin(x) \\) \u0438 \\( B = \\arcsin(x + h) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430: \\( \\sin(A) = x \\) \u0438 \\( \\sin(B) = x + h \\). \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \\( B — A \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(x)\\bigr) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{B — A}{h};
\n\\]<\/p>\n
\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \\( h \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u044b: \\( h = (x + h) — x = \\sin(B) — \\sin(A) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{B — A}{h} = \\frac{B — A}{\\sin(B) — \\sin(A)};
\n\\]<\/p>\n
\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0434\u0440\u043e\u0431\u0438, \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432.<\/p>\n
\u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432:<\/p>\n
\\[
\n\\sin(B) — \\sin(A) = 2 \\cdot \\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\cdot \\sin\\left(\\frac{B — A}{2}\\right);
\n\\]<\/p>\n
\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u044d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{B — A}{\\sin(B) — \\sin(A)} = \\frac{B — A}{2 \\cdot \\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\cdot \\sin\\left(\\frac{B — A}{2}\\right)};
\n\\]<\/p>\n
\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043f\u043e\u043f\u043e\u043b\u0430\u043c \\( B — A = 2 \\cdot \\frac{B — A}{2} \\), \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0434\u0440\u043e\u0431\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{B — A}{\\sin(B) — \\sin(A)}
\n= \\frac{\\frac{B — A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{B — A}{2}\\right)} \\cdot \\frac{1}{\\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)};
\n\\]<\/p>\n
\u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b \u0433\u043e\u0440\u0430\u0437\u0434\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435.<\/p>\n
\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \\( h \\to 0 \\). \u0412\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u043f\u0440\u0438 \\( h \\to 0 \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( B \\to A \\), \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( B = \\arcsin(x + h) \\), \u0430 \\( A = \\arcsin(x) \\). \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \\( B — A \\) \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \\( \\frac{B — A}{2} \\to 0 \\).<\/p>\n
\u0412\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( t = \\frac{B — A}{2} \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{\\frac{B — A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{B — A}{2}\\right)} = \\frac{t}{\\sin(t)};
\n\\]<\/p>\n
\u0418\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \\( \\lim_{t \\to 0} \\frac{\\sin(t)}{t} = 1 \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \\( \\lim_{t \\to 0} \\frac{t}{\\sin(t)} = 1 \\). \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \\( 1 \\).<\/p>\n
\u0412\u043e-\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445, \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( \\dfrac{1}{\\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)} \\). \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( h \\to 0 \\), \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( B \\to A \\), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \\( \\frac{A + B}{2} \\to \\frac{A + A}{2} = A \\). \u041f\u043e \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \\( \\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right) \\to \\cos(A) \\), \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \\( \\frac{1}{\\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)} \\to \\frac{1}{\\cos(A)} \\).<\/p>\n
\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u043c \u043e\u0431\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430:<\/p>\n
\\[
\n\\lim_{h \\to 0} \\left(\\frac{B — A}{\\sin(B) — \\sin(A)}\\right)
\n= \\lim_{h \\to 0} \\left(\\frac{\\frac{B — A}{2}}{\\sin\\left(\\frac{B — A}{2}\\right)}\\right)
\n\\cdot \\lim_{h \\to 0} \\left(\\frac{1}{\\cos\\left(\\frac{A + B}{2}\\right)}\\right)
\n= 1 \\cdot \\frac{1}{\\cos(A)} = \\frac{1}{\\cos(A)};
\n\\]<\/p>\n
\u0421\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e,<\/p>\n
\\[
\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(x)\\bigr)
\n= \\lim_{h \\to 0} \\frac{B — A}{h}
\n= \\lim_{h \\to 0} \\frac{B — A}{\\sin(B) — \\sin(A)}
\n= \\frac{1}{\\cos(A)};
\n\\]<\/p>\n
\u041e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \\( \\cos(A) \\) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\( x \\), \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0430 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \\( x \\). \u0418\u0437 \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( \\sin(A) = x \\). \u0414\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0443\u0433\u043b\u0430 \\( A \\) \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e:<\/p>\n
\\[
\n\\sin^2(A) + \\cos^2(A) = 1;
\n\\]<\/p>\n
\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \\( \\sin(A) = x \\) \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \\( x^2 + \\cos^2(A) = 1 \\), \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \\( \\cos^2(A) = 1 — x^2 \\). \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \\( A = \\arcsin(x) \\) \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0443 \\( [\\frac{-\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}] \\), \u0430 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043a\u0435 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u043d, \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c: \\( \\cos(A) = \\sqrt{1 — x^2} \\).<\/p>\n
\u0412\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n
\\[
\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(x)\\bigr)
\n= \\frac{1}{\\cos(A)}
\n= \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}};
\n\\]<\/p>\n
\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0438\u0440\u0430\u044f\u0441\u044c \u043d\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430, \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445. \u0422\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u043e\u0440 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043a \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435.<\/p>\n
\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0411\u043b\u043e\u043a: \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u043d\u0430 \u0422\u0435\u043c\u0443 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0410\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430<\/h2>\n
\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438, \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u0434\u0443\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u044f\u0442 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0442\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e \u0443\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n
\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 1: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\arcsin(3 \\cdot x) \\)<\/h3>\n
\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f: \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \\( g(u) = \\arcsin(u) \\), \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044f\u044f \u2014 \\( u = 3 \\cdot x \\). \u041f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0443 \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e: \\( g'(u) = \\frac{1}{\\sqrt{1 — u^2}} \\), \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044f \\( u \\) \u043d\u0435\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \\( u’ = 3 \\). \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n
\\[
\nf'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1 — (3 \\cdot x)^2}} \\cdot 3
\n= \\frac{3}{\\sqrt{1 — 9 \\cdot x^2}};
\n\\]<\/p>\n
\u0418\u0442\u0430\u043a, \\( f'(x) = \\frac{3}{\\sqrt{1 — 9 \\cdot x^2}} \\).<\/p>\n
\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 2: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = x \\arcsin(x) \\)<\/h3>\n
\u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( u = x \\) \u0438 \\( v = \\arcsin(x) \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( u’ = 1 \\), \\( v’ = \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}} \\). \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \\( (u \\cdot v)’ = u’ \\cdot v + u \\cdot v’ \\):<\/p>\n
\\[
\nf'(x) = 1 \\cdot \\arcsin(x) + x \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}}
\n= \\arcsin(x) + \\frac{x}{\\sqrt{1 — x^2}};
\n\\]<\/p>\n
\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \\( f'(x) = \\arcsin(x) + \\frac{x}{\\sqrt{1 — x^2}} \\).<\/p>\n
\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 3: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\bigl(\\arcsin(2 \\cdot x)\\bigr)^2 \\)<\/h3>\n
\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u043d\u0430\u043c\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u0437\u0438\u0446\u0438\u044f \u0432\u0438\u0434\u0430 «\u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u2192 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u2192 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f»<\/em>. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442:<\/p>\n \\[ \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0434\u043b\u044f \\( \\arcsin(2 \\cdot x) \\):<\/p>\n \\[ \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044f \u0448\u0430\u0433\u0438, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n \\[ \u041e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442: \\( f'(x) = \\frac{4 \\cdot \\arcsin(2 \\cdot x)}{\\sqrt{1 — 4 \\cdot x^2}} \\).<\/p>\n \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \\( u = \\arcsin(x) \\), \\( v = 1 + x^2 \\). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \\( u’ = \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}} \\), \\( v’ = 2 \\cdot x \\). \u041f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \\( \\left(\\frac{u}{v}\\right)’ = \\frac{u’ \\cdot v — u \\cdot v’}{v^2} \\) \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n \\[ \u041f\u0440\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0438\u0442\u044c, \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u0441\u0443\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n \\[ \u042d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442.<\/p>\n \u0421\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \\( u = e^{2 \\cdot x} \\) \u0438 \\( v = \\arcsin(x) \\). \u0414\u043b\u044f \\( u \\) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0446\u0435\u043f\u043e\u0447\u043a\u0438: \\( u’ = 2 \\cdot e^{2 \\cdot x} \\). \u0414\u043b\u044f \\( v \\) \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \\( v’ = \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}} \\). \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u043c:<\/p>\n \\[ \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0432\u044b\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \\( e^{2 \\cdot x} \\):<\/p>\n \\[ \u0418\u0442\u0430\u043a, \\( f'(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left(2 \\cdot \\arcsin(x) + \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}}\\right) \\).<\/p>\n \u0412\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430, \u0438 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u2014 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438 \u043a \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c<\/a>. \u0422\u0430\u043a \u0432\u044b \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u0432 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445, \u043d\u0430\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435\u0441\u044c \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0447\u0430\u0442\u044c \u0441\u0445\u043e\u0436\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0451\u043c\u044b \u0438 \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438. \u041d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u044b \u0442\u0435\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435.<\/p>\n
\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(2 \\cdot x)\\bigr)^2
\n= 2 \\cdot \\arcsin(2 \\cdot x) \\cdot \\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(2 \\cdot x)\\bigr);
\n\\]<\/p>\n
\n\\frac{d}{dx}\\bigl(\\arcsin(2 \\cdot x)\\bigr)
\n= \\frac{1}{\\sqrt{1 — (2 \\cdot x)^2}} \\cdot 2
\n= \\frac{2}{\\sqrt{1 — 4 \\cdot x^2}};
\n\\]<\/p>\n
\nf'(x) = 2 \\cdot \\arcsin(2 \\cdot x) \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{1 — 4 \\cdot x^2}}
\n= \\frac{4 \\cdot \\arcsin(2 \\cdot x)}{\\sqrt{1 — 4 \\cdot x^2}};
\n\\]<\/p>\n\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 4: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = \\dfrac{\\arcsin(x)}{1 + x^2} \\)<\/h3>\n
\nf'(x) = \\frac{\\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}} \\cdot (1 + x^2) — \\arcsin(x) \\cdot 2 \\cdot x}{(1 + x^2)^2};
\n\\]<\/p>\n
\nf'(x) = \\frac{(1 + x^2) \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}} — 2 \\cdot x \\cdot \\arcsin(x)}{(1 + x^2)^2};
\n\\]<\/p>\n\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 5: \u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \\( f(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\arcsin(x) \\)<\/h3>\n
\nf'(x) = 2 \\cdot e^{2 \\cdot x} \\cdot \\arcsin(x) + e^{2 \\cdot x} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}};
\n\\]<\/p>\n
\nf'(x) = e^{2 \\cdot x} \\cdot \\left(2 \\cdot \\arcsin(x) + \\frac{1}{\\sqrt{1 — x^2}}\\right);
\n\\]<\/p>\n\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0411\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0435\u0449\u0451 \u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u0435\u0435: \u041a\u0443\u0434\u0430 \u0414\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0410\u0440\u043a\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430<\/h2>\n
\n
![\"\u0411\u043b\u043e\u043a-\u0441\u0445\u0435\u043c\u0430](\"https:\/\/www.mathros.net.ua\/ru\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/derivative-of-arcsin3.jpg\")
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"