Интерполяционные формулы Гаусса используют для приближённого вычисления значений функции по равноотстоящим узлам, когда заданная точка расположена вблизи центральной части таблицы. В отличие от прямой и обратной интерполяционных формул Ньютона для равноотстоящих узлов, которые удобно применять вблизи начала или конца таблицы, формулы Гаусса строят приближение относительно центрального узла. Рассмотрим принцип построения обеих формул, правила их выбора, а затем закрепим полученные знания на практических примерах.
Равноотстоящие Узлы: Постановка Задачи Центральной Интерполяции
Пусть задано \( 2\cdot n+1 \) равноотстоящих узлов интерполяции
\[ x_{-n},x_{-(n-1)},\dots,x_{-1},x_0,x_1,\dots,x_{n-1},x_n, \]
расстояние между соседними узлами которых равно
\[ x_{i+1}-x_i=h, \qquad i=-n,-(n-1),\dots,n-1. \]
Узел \( x_0 \) будем считать центральным. Поскольку шаг \( h \) является постоянным, координаты всех остальных узлов можно выразить через него:
\[ x_i=x_0+i\cdot h. \]
Пусть для функции \( y=f(x) \) известны её значения
\[ y_i=f(x_i), \qquad i=0,\pm1,\pm2,\dots,\pm n. \]
Необходимо построить интерполяционный полином \( P(x) \) степени не выше \( 2\cdot n \), который в заданных узлах принимает те же значения, что и функция:
\[ P(x_i)=y_i, \qquad i=0,\pm1,\pm2,\dots,\pm n. \]
Для дальнейшего построения удобно перейти от самой координаты \( x \) к величине, которая показывает положение точки относительно центрального узла в единицах шага \( h \).
Центральный Узел: Переход К Безразмерному Аргументу
Введём переменную
\[ q=\frac{x-x_0}{h}. \]
Отсюда
\[ x=x_0+q\cdot h. \]
Для любого узла имеем
\[ x_i=x_0+i\cdot h, \]
поэтому
\[ x-x_i=(q-i)\cdot h. \]
Благодаря такому переходу произведения разностей между \( x \) и узлами можно записывать через простые множители
\[ q,\qquad q-1,\qquad q+1,\qquad q-2,\qquad q+2,\dots. \]
Параметр \( q \) показывает, насколько далеко точка \( x \) находится от центрального узла \( x_0 \), если измерять расстояние в шагах \( h \). Для точки, расположенной близко к \( x_0 \), абсолютное значение \( q \) будет небольшим.
Следующим шагом является построение конечных разностей, с помощью которых формируются члены интерполяционных формул Гаусса.
Интерполяционные Формулы Гаусса: Таблица Конечных Разностей
Для равноотстоящих узлов первые конечные разности определяют как
\[ \Delta y_i=y_{i+1}-y_i. \]
Вторые разности получают из первых:
\[ \Delta^2y_i=\Delta y_{i+1}-\Delta y_i. \]
Аналогично разность произвольного порядка вычисляют по формуле
\[ \Delta^ky_i = \Delta^{k-1}y_{i+1} — \Delta^{k-1}y_i. \]
Последовательно вычисляя разности первого, второго и последующих порядков, получают таблицу конечных разностей.
Формулы Гаусса используют определённые последовательности элементов этой таблицы, расположенных вблизи её центральной части.
Для первой формулы выбирают
\[ \Delta y_0,\quad \Delta^2y_{-1},\quad \Delta^3y_{-1},\quad \Delta^4y_{-2},\quad \Delta^5y_{-2},\quad \Delta^6y_{-3},\dots. \]
Для второй формулы последовательность имеет вид
\[ \Delta y_{-1},\quad \Delta^2y_{-1},\quad \Delta^3y_{-2},\quad \Delta^4y_{-2},\quad \Delta^5y_{-3},\quad \Delta^6y_{-3},\dots. \]
Если обозначить эти элементы непосредственно в таблице, образуются две ломаные линии. Одна соответствует первой формуле Гаусса, а другая — второй. Такое представление позволяет наглядно увидеть, какие именно конечные разности необходимо использовать.
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) | \( \Delta^5 y_i \) | \( \Delta^6 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( -3 \) | \( y_{-3} \) | \( \Delta y_{-3} \) | \( \Delta^2 y_{-3} \) | \( \Delta^3 y_{-3} \) | \( \Delta^4 y_{-3} \) | \( \Delta^5 y_{-3} \) | \( \Delta^6 y_{-3} \) |
| \( -2 \) | \( y_{-2} \) | \( \Delta y_{-2} \) | \( \Delta^2 y_{-2} \) | \( \Delta^3 y_{-2} \) | \( \Delta^4 y_{-2} \) | \( \Delta^5 y_{-2} \) | |
| \( -1 \) | \( y_{-1} \) | \( \Delta y_{-1} \) | \( \Delta^2 y_{-1} \) | \( \Delta^3 y_{-1} \) | |||
| \( 0 \) | \( y_0 \) | \( \Delta y_0 \) | \( \Delta^2 y_0 \) | ||||
| \( 1 \) | \( y_1 \) | \( \Delta y_1 \) | |||||
| \( 2 \) | \( y_2 \) | \( \Delta y_2 \) | |||||
| \( 3 \) | \( y_3 \) |
Центральный характер формул определяется тем, что необходимые разности выбирают вблизи центрального узла \( x_0 \).
Первая Интерполяционная Формула Гаусса: Построение По Нижней Схеме Разностей
Для первой интерполяционной формулы Гаусса узлы используют при построении полинома в такой последовательности:
\[ x_0,\quad x_1,\quad x_{-1},\quad x_2,\quad x_{-2},\dots. \]
Сначала берут центральный узел, затем ближайший к нему узел справа, после этого — ближайший узел слева. Далее расстояние от центра постепенно увеличивается.
Начальная часть интерполяционного полинома при таком порядке узлов имеет вид
\[ \begin{gathered} P(x)=a_0+a_1\cdot(x-x_0)+a_2\cdot(x-x_0)\cdot(x-x_1)\\[4pt] +a_3\cdot(x-x_{-1})\cdot(x-x_0)\cdot(x-x_1)+\dots. \end{gathered} \]
Коэффициенты определяют через конечные разности. Первые из них равны
\[ \begin{gathered} a_0=y_0,\\[4pt] a_1=\frac{\Delta y_0}{1!\cdot h}, \qquad a_2=\frac{\Delta^2y_{-1}}{2!\cdot h^2},\\[4pt] a_3=\frac{\Delta^3y_{-1}}{3!\cdot h^3}, \qquad a_4=\frac{\Delta^4y_{-2}}{4!\cdot h^4}. \end{gathered} \]
После перехода к переменной \( q \) получаем первую интерполяционную формулу Гаусса:
\[ \begin{gathered} P(x) = y_0 + q\cdot\Delta y_0 + \frac{q\cdot(q-1)}{2!}\cdot\Delta^2y_{-1}\\[4pt] + \frac{(q+1)\cdot q\cdot(q-1)}{3!}\cdot\Delta^3y_{-1} + \frac{(q+1)\cdot q\cdot(q-1)\cdot(q-2)}{4!}\cdot\Delta^4y_{-2}\\[4pt] + \frac{(q+2)\cdot(q+1)\cdot q\cdot(q-1)\cdot(q-2)}{5!}\cdot\Delta^5y_{-2} +\dots. \end{gathered} \]
В каждом следующем члене порядок конечной разности увеличивается на единицу, а к соответствующему произведению добавляется новый множитель.
Для нечётного порядка \( 2\cdot k-1 \) соответствующий член имеет вид
\[ \frac{ \prod_{j=-(k-1)}^{k-1}(q-j) }{ (2\cdot k-1)! } \cdot \Delta^{2\cdot k-1}y_{-(k-1)}, \]
а для чётного порядка \( 2\cdot k \)
\[ \frac{ \prod_{j=-(k-1)}^{k}(q-j) }{ (2\cdot k)! } \cdot \Delta^{2\cdot k}y_{-k}. \]
Поэтому первую формулу Гаусса можно компактно записать так:
\[ P(x) = y_0 + \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{ \prod_{j=-(k-1)}^{k-1}(q-j) }{ (2\cdot k-1)! } \cdot \Delta^{2\cdot k-1}y_{-(k-1)} + \frac{ \prod_{j=-(k-1)}^{k}(q-j) }{ (2\cdot k)! } \cdot \Delta^{2\cdot k}y_{-k} \right). \]
Таким образом, последовательное присоединение узлов справа и слева от \( x_0 \) приводит к первой форме центрального интерполяционного полинома.
Вторая Интерполяционная Формула Гаусса: Построение По Верхней Схеме Разностей
Для второй формулы порядок присоединения узлов изменяется:
\[ x_0,\quad x_{-1},\quad x_1,\quad x_{-2},\quad x_2,\dots. \]
Теперь после центрального узла сначала используют ближайший узел слева. Из-за этого изменяются индексы конечных разностей и структура множителей при чётных порядках.
После перехода к переменной \( q \) вторая интерполяционная формула Гаусса имеет вид
\[ \begin{gathered} P(x) = y_0 + q\cdot\Delta y_{-1} + \frac{(q+1)\cdot q}{2!}\cdot\Delta^2y_{-1}\\[4pt] + \frac{(q+1)\cdot q\cdot(q-1)}{3!}\cdot\Delta^3y_{-2} + \frac{(q+2)\cdot(q+1)\cdot q\cdot(q-1)}{4!}\cdot\Delta^4y_{-2}\\[4pt] + \frac{(q+2)\cdot(q+1)\cdot q\cdot(q-1)\cdot(q-2)}{5!}\cdot\Delta^5y_{-3} +\dots. \end{gathered} \]
Для нечётного порядка \( 2\cdot k-1 \) соответствующий член записывается как
\[ \frac{ \prod_{j=-(k-1)}^{k-1}(q-j) }{ (2\cdot k-1)! } \cdot \Delta^{2\cdot k-1}y_{-k}, \]
а для чётного порядка \( 2\cdot k \)
\[ \frac{ \prod_{j=-k}^{k-1}(q-j) }{ (2\cdot k)! } \cdot \Delta^{2\cdot k}y_{-k}. \]
В общем виде вторая формула имеет вид
\[ P(x) = y_0 + \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{ \prod_{j=-(k-1)}^{k-1}(q-j) }{ (2\cdot k-1)! } \cdot \Delta^{2\cdot k-1}y_{-k} + \frac{ \prod_{j=-k}^{k-1}(q-j) }{ (2\cdot k)! } \cdot \Delta^{2\cdot k}y_{-k} \right). \]
Таким образом, вторая формула строится по тому же центральному принципу, но использует другое направление первого перехода от \( x_0 \).
Интерполяционные Формулы Гаусса: Выбор Способа Приближения
Поскольку обе формулы ориентированы на центральный узел \( x_0 \), выбор между ними удобно связывать с положением точки \( x \).
Если
\[ q>0, \]
то точка \( x \) расположена справа от \( x_0 \). В таком случае обычно удобнее использовать первую интерполяционную формулу Гаусса.
Если
\[
q<0,
\]
то точка расположена слева от центрального узла, поэтому удобнее использовать вторую формулу.
Обе формулы наиболее удобно использовать, когда абсолютное значение \( q \) невелико, то есть точка находится близко к \( x_0 \). Если она удалена от центральной части выбранной таблицы, целесообразно изменить центральный узел или воспользоваться другой интерполяционной формулой, которая лучше подходит для данной точки.
Если использовать все члены до порядка \( 2\cdot n \), первая и вторая формулы Гаусса приводят к одному и тому же интерполяционному полиному, который проходит через все заданные узлы. Разница между ними заключается в способе построения этого полинома и порядке использования конечных разностей.
В приближённых вычислениях иногда используют только несколько первых членов формулы. Тогда выбор между первой и второй формулами Гаусса может влиять на точность полученного приближения.
Первая и Вторая Интерполяционные Формулы Гаусса: Пошаговые Примеры
Перейдём к практическому применению формул Гаусса для равноотстоящих табличных данных. Для каждой задачи определим шаг и центральный узел, построим необходимые конечные разности, найдём параметр \( q \) и выберем подходящую формулу.
Пример 1. По приведённым табличным значениям функции найти приближённое значение \( f(2.4) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( -2 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( -1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 2 \) | \( 5 \) |
| \( 1 \) | \( 3 \) | \( 22 \) |
| \( 2 \) | \( 4 \) | \( 57 \) |
Шаг между соседними узлами равен
\[ h=1. \]
Центральным является узел
\[ x_0=2, \qquad y_0=5. \]
Построим таблицу конечных разностей:
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( 1 \) | \( -1 \) | \( 6 \) | \( 6 \) | \( 0 \) |
| \( -1 \) | \( 0 \) | \( 5 \) | \( 12 \) | \( 6 \) | |
| \( 0 \) | \( 5 \) | \( 17 \) | \( 18 \) | ||
| \( 1 \) | \( 22 \) | \( 35 \) | |||
| \( 2 \) | \( 57 \) |
Вычислим параметр \( q \):
\[ q=\frac{x-x_0}{h} = \frac{2.4-2}{1} = 0.4. \]
Поскольку
\[ q>0, \]
используем первую интерполяционную формулу Гаусса.
Из таблицы выбираем
\[ \Delta y_0=17, \qquad \Delta^2y_{-1}=12, \qquad \Delta^3y_{-1}=6. \]
Четвёртая разность равна нулю, поэтому следующий член формулы не влияет на результат.
Запишем необходимые члены первой формулы:
\[ P(x) = y_0 + q\cdot\Delta y_0 + \frac{q\cdot(q-1)}{2!}\cdot\Delta^2y_{-1} + \frac{(q+1)\cdot q\cdot(q-1)}{3!}\cdot\Delta^3y_{-1}. \]
Подставим известные значения:
\[ P(2.4) = 5 + 0.4\cdot17 + \frac{0.4\cdot(0.4-1)}{2}\cdot12 + \frac{(0.4+1)\cdot0.4\cdot(0.4-1)}{6}\cdot6. \]
Вычислим отдельные слагаемые:
\[ \begin{gathered} 0.4\cdot17=6.8,\\[4pt] \frac{0.4\cdot(-0.6)}{2}\cdot12=-1.44,\\[4pt] \frac{1.4\cdot0.4\cdot(-0.6)}{6}\cdot6=-0.336. \end{gathered} \]
Тогда
\[ P(2.4) = 5+6.8-1.44-0.336 = 10.024. \]
Следовательно,
\[ f(2.4)\approx10.024. \]
Пример 2. По приведённым табличным значениям функции найти приближённое значение \( f(-0.6) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -2 \) | \( -8 \) |
| \( -1 \) | \( -1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 4 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 7 \) |
| \( 2 \) | \( 2 \) | \( 16 \) |
Шаг между соседними узлами равен
\[ h=1. \]
Центральным является узел
\[ x_0=0, \qquad y_0=4. \]
Вычислим конечные разности:
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -8 \) | \( 9 \) | \( -6 \) | \( 6 \) | \( 0 \) |
| \( -1 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( 0 \) | \( 6 \) | |
| \( 0 \) | \( 4 \) | \( 3 \) | \( 6 \) | ||
| \( 1 \) | \( 7 \) | \( 9 \) | |||
| \( 2 \) | \( 16 \) |
Для заданной точки
\[ q=\frac{x-x_0}{h} = \frac{-0.6-0}{1} = -0.6. \]
Поскольку
\[ q<0, \]
используем вторую интерполяционную формулу Гаусса.
Из таблицы выбираем
\[ \Delta y_{-1}=3, \qquad \Delta^2y_{-1}=0, \qquad \Delta^3y_{-2}=6. \]
Четвёртая разность равна нулю, поэтому достаточно учесть члены до третьего порядка:
\[ P(x) = y_0 + q\cdot\Delta y_{-1} + \frac{(q+1)\cdot q}{2!}\cdot\Delta^2y_{-1} + \frac{(q+1)\cdot q\cdot(q-1)}{3!}\cdot\Delta^3y_{-2}. \]
Подставим значения:
\[ \begin{gathered} P(-0.6) = 4 + (-0.6)\cdot3 + \frac{(-0.6+1)\cdot(-0.6)}{2}\cdot0\\[4pt] + \frac{(-0.6+1)\cdot(-0.6)\cdot(-0.6-1)}{6}\cdot6. \end{gathered} \]
Вычислим ненулевые слагаемые:
\[ \begin{gathered} (-0.6)\cdot3=-1.8,\\[4pt] \frac{0.4\cdot(-0.6)\cdot(-1.6)}{6}\cdot6=0.384. \end{gathered} \]
Тогда
\[ P(-0.6) = 4-1.8+0.384 = 2.584. \]
Следовательно,
\[ f(-0.6)\approx2.584. \]
Пример 3. По приведённым табличным значениям функции найти приближённое значение \( f(0.2) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -1 \) | \( 17 \) |
| \( -1 \) | \( -0.5 \) | \( 3 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 3 \) |
| \( 1 \) | \( 0.5 \) | \( 5 \) |
| \( 2 \) | \( 1 \) | \( 21 \) |
Шаг между соседними узлами равен
\[ h=0.5. \]
Центральным является узел
\[ x_0=0, \qquad y_0=3. \]
Построим таблицу конечных разностей:
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( 17 \) | \( -14 \) | \( 14 \) | \( -12 \) | \( 24 \) |
| \( -1 \) | \( 3 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 12 \) | |
| \( 0 \) | \( 3 \) | \( 2 \) | \( 14 \) | ||
| \( 1 \) | \( 5 \) | \( 16 \) | |||
| \( 2 \) | \( 21 \) |
Найдём параметр \( q \):
\[ q=\frac{x-x_0}{h} = \frac{0.2-0}{0.5} = 0.4. \]
Поскольку
\[ q>0, \]
используем первую интерполяционную формулу Гаусса.
Из таблицы выбираем
\[ \Delta y_0=2, \qquad \Delta^2y_{-1}=2, \qquad \Delta^3y_{-1}=12, \qquad \Delta^4y_{-2}=24. \]
В отличие от первого примера, четвёртая разность здесь не равна нулю, поэтому её также необходимо учесть.
Подставим все необходимые значения непосредственно в формулу:
\[ \begin{gathered} P(0.2) = 3 + 0.4\cdot2 + \frac{0.4\cdot(0.4-1)}{2}\cdot2\\[4pt] + \frac{(0.4+1)\cdot0.4\cdot(0.4-1)}{6}\cdot12\\[4pt] + \frac{(0.4+1)\cdot0.4\cdot(0.4-1)\cdot(0.4-2)}{24}\cdot24. \end{gathered} \]
Вычислим слагаемые:
\[ \begin{gathered} 0.4\cdot2=0.8,\\[4pt] \frac{0.4\cdot(-0.6)}{2}\cdot2=-0.24,\\[4pt] \frac{1.4\cdot0.4\cdot(-0.6)}{6}\cdot12=-0.672,\\[4pt] \frac{1.4\cdot0.4\cdot(-0.6)\cdot(-1.6)}{24}\cdot24=0.538. \end{gathered} \]
Тогда
\[ P(0.2) = 3+0.8-0.24-0.672+0.538 = 3.426. \]
Следовательно,
\[ f(0.2)\approx3.426. \]
Что Изучать Дальше: Полезные Темы Для Продолжения
После формул Гаусса можно перейти к другим способам построения приближённых значений функции. Они помогут увидеть, как меняется подход к интерполяции в зависимости от расположения узлов, способа вычислений и свойств самой функции.
- Формула Бесселя: Интерполяция вблизи середины таблицы — Узнаем, как формула Бесселя использует равноотстоящие узлы и центральные разности для вычисления значений между соседними точками.
- Схема Эйткена: Последовательное уточнение интерполяционного значения — Рассмотрим, как схема Эйткена шаг за шагом объединяет табличные значения и позволяет получить результат без явного построения полинома.
- Тригонометрическая интерполяция: Приближение периодических функций полиномами — Увидим, как тригонометрические полиномы описывают периодические данные и помогают вычислять значения функции между известными узлами.
Первая и Вторая Интерполяционные Формулы Гаусса: От Блок-Схемы К Собственной Программе
Если вам нравится программирование, попробуйте превратить рассмотренный алгоритм в собственную программу. Блок-схема ниже показывает последовательность основных шагов: ввод табличных данных, построение конечных разностей, определение положения заданной точки и выбор соответствующей формулы Гаусса. Реализуйте этот алгоритм на языке, с которым вам интересно работать, а затем проверьте программу на одном из примеров из статьи и сравните полученный результат с вычислениями вручную.
