Інтегрування Тригонометричних Функцій: Основні Методи та Перетворення

Інтегрування тригонометричних функцій не завжди зводиться до безпосереднього використання таблиці первісних. Часто підінтегральний вираз спочатку потрібно спростити за допомогою тригонометричних тотожностей або заміни змінної. Як визначити потрібний метод? Для цього слід проаналізувати вид функцій, їхні степені та зв’язок між окремими множниками.

Базові Первісні: Табличні Формули та Лінійний Аргумент

Найпростіші тригонометричні інтеграли знаходять безпосередньо за таблицею первісних:

\[
\begin{gathered}
\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C,\\[4pt]
\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,\\[4pt]
\int \frac{dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)+C,\\[4pt]
\int \frac{dx}{\sin^2(x)}=-\cot(x)+C.
\end{gathered}
\]

Для тангенса та котангенса використовують формули

\[
\begin{gathered}
\int \tan(x)\,dx=-\ln|\cos(x)|+C,\\[4pt]
\int \cot(x)\,dx=\ln|\sin(x)|+C.
\end{gathered}
\]

Чому в останніх двох формулах з’являється логарифм? Тангенс і котангенс можна подати як відношення синуса та косинуса:

\[
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},
\qquad
\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
\]

Тому відповідні інтеграли мають структуру стандартного виразу

\[
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C.
\]

Наприклад, похідна функції \( \cos(x) \) дорівнює \( -\sin(x) \). Саме тому під час інтегрування тангенса перед логарифмом з’являється знак мінус.

Окрему увагу потрібно приділити тригонометричним функціям із лінійним аргументом. Якщо \( a\neq 0 \), то

\[
\begin{gathered}
\int \sin(a\cdot x+b)\,dx
=
-\frac{1}{a}\cdot\cos(a\cdot x+b)+C,\\[4pt]
\int \cos(a\cdot x+b)\,dx
=
\frac{1}{a}\cdot\sin(a\cdot x+b)+C.
\end{gathered}
\]

Коефіцієнт при \( x \) переходить у знаменник. Чому так відбувається? Під час диференціювання складеної функції виникає додатковий множник \( a \). Отже, під час інтегрування його потрібно компенсувати.

Той самий принцип застосовують і до інших тригонометричних функцій:

\[
\begin{gathered}
\int \frac{dx}{\cos^2(a\cdot x+b)}
=
\frac{1}{a}\cdot\tan(a\cdot x+b)+C,\\[4pt]
\int \frac{dx}{\sin^2(a\cdot x+b)}
=
-\frac{1}{a}\cdot\cot(a\cdot x+b)+C.
\end{gathered}
\]

Таким чином, перед застосуванням табличної формули потрібно перевірити не лише вид тригонометричної функції, а й її аргумент.

Інтегрування Тригонометричних Функцій: Степені Синуса і Косинуса

Після базових формул перейдемо до інтегралів, які містять степені синуса та косинуса:

\[
\int \sin^m(x)\cdot\cos^n(x)\,dx.
\]

Яке перетворення тут обрати? Насамперед потрібно визначити, чи є показники \( m \) і \( n \) парними або непарними. Від цього залежить, яку функцію зручно обрати як нову змінну.

Якщо степінь синуса непарний, один множник \( \sin(x) \) відокремлюють. Решту степеня перетворюють за тотожністю

\[
\sin^2(x)=1-\cos^2(x).
\]

У результаті всі парні степені синуса виражаються через косинус. Після цього застосовують заміну

\[
u=\cos(x),
\qquad
du=-\sin(x)\,dx.
\]

Розглянемо структуру такого перетворення:

\[
\int \sin^3(x)\cdot\cos^2(x)\,dx.
\]

Непарний степінь синуса подаємо у вигляді

\[
\sin^3(x)=\sin(x)\cdot\sin^2(x).
\]

Далі замінюємо квадрат синуса:

\[
\sin^3(x)
=
\sin(x)\cdot\bigl(1-\cos^2(x)\bigr).
\]

Тому початковий інтеграл набуває вигляду

\[
\int
\sin(x)\cdot
\bigl(1-\cos^2(x)\bigr)\cdot
\cos^2(x)\,dx.
\]

Після заміни \( u=\cos(x) \) отримуємо алгебраїчний інтеграл:

\[
-\int \bigl(1-u^2\bigr)\cdot u^2\,du.
\]

Отже, відокремлений множник \( \sin(x) \) разом із \( dx \) утворює диференціал нової змінної.

Якщо непарним є степінь косинуса, діють подібно. Один множник \( \cos(x) \) відокремлюють, а решту степеня перетворюють за тотожністю

\[
\cos^2(x)=1-\sin^2(x).
\]

Тоді використовують заміну

\[
u=\sin(x),
\qquad
du=\cos(x)\,dx.
\]

Наприклад, степінь косинуса можна перетворити так:

\[
\cos^3(x)
=
\cos(x)\cdot\cos^2(x)
=
\cos(x)\cdot\bigl(1-\sin^2(x)\bigr).
\]

Після цього весь підінтегральний вираз можна подати через \( \sin(x) \), а множник \( \cos(x)\,dx \) замінити на \( du \).

Що робити, коли обидва показники парні? У такому разі не вдається відокремити один множник синуса або косинуса, який одразу утворить диференціал нової змінної. Тому застосовують формули пониження степеня:

\[
\begin{gathered}
\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2\cdot x)}{2},\\[4pt]
\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2\cdot x)}{2}.
\end{gathered}
\]

Наприклад,

\[
\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)
=
\frac{1-\cos(2\cdot x)}{2}
\cdot
\frac{1+\cos(2\cdot x)}{2}.
\]

Далі перемножують отримані вирази та спрощують результат. Унаслідок цього степені тригонометричних функцій зменшуються. Якщо у виразі знову виникає квадрат тригонометричної функції, формулу пониження степеня застосовують ще раз.

Отже, для непарного степеня зазвичай відокремлюють один множник і виконують заміну змінної. Якщо ж обидва степені парні, їх послідовно знижують за допомогою формул пониження степеня.

Інтегрування Тригонометричних Функцій: Степені Тангенса, Котангенса, Секанса і Косеканса

Тепер розглянемо інтеграли, що містять тангенс і секанс. Секанс визначають як величину, обернену до косинуса:

\[
\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}.
\]

Косеканс визначають як величину, обернену до синуса:

\[
\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}.
\]

Інтеграли зі степенями тангенса та секанса зазвичай мають вигляд

\[
\int \tan^m(x)\cdot\sec^n(x)\,dx.
\]

Для їх перетворення використовують тотожності

\[
\begin{gathered}
\sec^2(x)=1+\tan^2(x),\\[4pt]
\tan^2(x)=\sec^2(x)-1.
\end{gathered}
\]

Важливими є також похідні

\[
\begin{gathered}
\bigl(\tan(x)\bigr)’=\sec^2(x),\\[4pt]
\bigl(\sec(x)\bigr)’=\sec(x)\cdot\tan(x).
\end{gathered}
\]

Саме ці співвідношення визначають послідовність вибору заміни.

Спочатку перевіряють степінь секанса. Якщо він парний, відокремлюють один множник \( \sec^2(x) \). Решту парного степеня секанса виражають через тангенс, після чого виконують заміну

\[
u=\tan(x),
\qquad
du=\sec^2(x)\,dx.
\]

Розглянемо проміжне перетворення:

\[
\int \tan^3(x)\cdot\sec^4(x)\,dx.
\]

Степінь секанса є парним, тому подаємо його так:

\[
\sec^4(x)=\sec^2(x)\cdot\sec^2(x).
\]

Один із множників замінюємо за тотожністю

\[
\sec^2(x)=1+\tan^2(x).
\]

Тоді отримуємо

\[
\int
\tan^3(x)\cdot
\bigl(1+\tan^2(x)\bigr)\cdot
\sec^2(x)\,dx.
\]

Після заміни \( u=\tan(x) \) інтеграл набуває алгебраїчного вигляду:

\[
\int u^3\cdot\bigl(1+u^2\bigr)\,du.
\]

Якщо степінь секанса непарний, перевіряють степінь тангенса. Коли степінь тангенса також непарний, відокремлюють добуток

\[
\sec(x)\cdot\tan(x).
\]

Решту парного степеня тангенса виражають через секанс за формулою

\[
\tan^2(x)=\sec^2(x)-1.
\]

Після цього застосовують заміну

\[
u=\sec(x),
\qquad
du=\sec(x)\cdot\tan(x)\,dx.
\]

Наприклад, непарний степінь тангенса можна подати так:

\[
\tan^3(x)
=
\tan^2(x)\cdot\tan(x)
=
\bigl(\sec^2(x)-1\bigr)\cdot\tan(x).
\]

Якщо поруч є множник \( \sec(x) \), добуток \( \sec(x)\cdot\tan(x)\,dx \) утворює диференціал нової змінної.

Якщо жодне з цих правил не дає зручного перетворення, може знадобитися застосування іншої тригонометричної тотожності або інтегрування частинами.

Подібний підхід застосовують до степенів котангенса та косеканса. Тут використовують тотожність

\[
\csc^2(x)=1+\cot^2(x)
\]

і похідні

\[
\begin{gathered}
\bigl(\cot(x)\bigr)’=-\csc^2(x),\\[4pt]
\bigl(\csc(x)\bigr)’=-\csc(x)\cdot\cot(x).
\end{gathered}
\]

У цих формулах з’являється знак мінус. Тому під час заміни змінної його потрібно обов’язково враховувати.

Добутки Тригонометричних Функцій: Перетворення Добутку на Суму

У попередніх розділах розглядалися степені тригонометричних функцій з однаковим аргументом. Тепер перейдемо до добутків синусів і косинусів, аргументи яких можуть відрізнятися.

Безпосередньо інтегрувати такі добутки зазвичай незручно. Як змінити їхню структуру? Для цього використовують формули перетворення добутку на суму:

\[
\begin{gathered}
\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)
\bigr),\\[4pt]
\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)
\bigr),\\[4pt]
\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)
\bigr).
\end{gathered}
\]

Наприклад, для інтеграла

\[
\int \sin(3\cdot x)\cdot\cos(2\cdot x)\,dx
\]

використовують третю формулу:

\[
\sin(3\cdot x)\cdot\cos(2\cdot x)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\sin(5\cdot x)+\sin(x)
\bigr).
\]

Тому початковий інтеграл перетворюється на

\[
\frac{1}{2}\cdot
\int
\bigl(
\sin(5\cdot x)+\sin(x)
\bigr)\,dx.
\]

Отриманий вираз уже не містить добутку. Він складається із суми стандартних тригонометричних функцій із лінійними аргументами.

Окремо варто пам’ятати формулу

\[
\sin(2\cdot x)=2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x).
\]

Вона дає змогу замінити добуток \( \sin(x)\cdot\cos(x) \) однією тригонометричною функцією:

\[
\sin(x)\cdot\cos(x)
=
\frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x).
\]

Отже, для добутків функцій із різними аргументами використовують формули перетворення добутку на суму. Якщо ж аргументи однакові, іноді достатньо формули синуса подвійного кута.

Інтегрування Тригонометричних Функцій: Раціональні Вирази із Синусом і Косинусом

Складнішими є інтеграли виду

\[
\int R\bigl(\sin(x),\cos(x)\bigr)\,dx,
\]

де \( R \) — раціональна функція від \( \sin(x) \) і \( \cos(x) \). Це означає, що синус і косинус входять до виразу за допомогою додавання, віднімання, множення, ділення та цілих степенів.

Спочатку потрібно перевірити, чи містить підінтегральний вираз деяку функцію та її похідну або вираз, пропорційний цій похідній. У такому разі достатньо простої заміни змінної.

Якщо у виразі присутні \( \sin(x) \) і множник \( \cos(x)\,dx \), доцільно покласти

\[
u=\sin(x),
\qquad
du=\cos(x)\,dx.
\]

Наприклад, в інтегралі

\[
\int \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\,dx
\]

чисельник є похідною синуса. Тому після заміни \( u=\sin(x) \) отримуємо

\[
\int \frac{du}{1+u}.
\]

Тригонометричні функції зникають, а початковий інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції змінної \( u \).

Якщо підінтегральний вираз містить \( \cos(x) \) і множник \( \sin(x)\,dx \), зручно використати заміну

\[
u=\cos(x),
\qquad
du=-\sin(x)\,dx.
\]

Наприклад,

\[
\int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}\,dx
\]

після заміни \( u=\cos(x) \) набуває вигляду

\[
-\int \frac{du}{2+u}.
\]

Знак мінус виникає через похідну косинуса. Тому його потрібно зберегти під час переходу до нової змінної.

Іноді підінтегральний вираз містить похідну тангенса. Тоді застосовують заміну

\[
u=\tan(x),
\qquad
du=\frac{dx}{\cos^2(x)}.
\]

Наприклад,

\[
\int
\frac{dx}
{\cos^2(x)\cdot\bigl(1+\tan(x)\bigr)}
\]

після заміни \( u=\tan(x) \) перетворюється на

\[
\int \frac{du}{1+u}.
\]

Така заміна є зручною, оскільки множник \( 1/\cos^2(x) \) збігається з похідною тангенса.

Проте проста заміна спрацьовує не завжди. Якщо синус і косинус одночасно входять до чисельника або знаменника, а похідна жодної функції не утворює потрібного множника, використовують універсальну тригонометричну підстановку

\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).
\]

За цієї заміни синус і косинус виражаються як раціональні функції від \( t \):

\[
\begin{gathered}
\sin(x)=\frac{2\cdot t}{1+t^2},\\[4pt]
\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\[4pt]
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.
\end{gathered}
\]

Чому цю підстановку називають універсальною? Вона дає змогу одночасно усунути з підінтегрального виразу і синус, і косинус.

Розглянемо структуру інтеграла

\[
\int \frac{dx}{2+\sin(x)+\cos(x)}.
\]

Після підстановки \( t=\tan(x/2) \) отримуємо

\[
\int
\frac{
\frac{2}{1+t^2}\,dt
}{
2+
\frac{2\cdot t}{1+t^2}
+
\frac{1-t^2}{1+t^2}
}.
\]

Зведемо вирази у знаменнику до спільного знаменника. У результаті інтеграл набуває вигляду

\[
\int
\frac{2}{t^2+2\cdot t+3}\,dt.
\]

Отже, всі тригонометричні функції зникли, а початковий інтеграл перетворився на інтеграл від раціональної функції.

Універсальна підстановка підходить для широкого класу виразів. Однак вона часто призводить до довших алгебраїчних перетворень. Тому перед її застосуванням потрібно перевірити, чи не можна використати простішу заміну через \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) або \( \tan(x) \).

Інтегрування Тригонометричних Функцій: Покрокове Розв’язання Практичних Задач

Розглянемо, як основні методи інтегрування застосовують до різних тригонометричних виразів. У кожному випадку спочатку проаналізуємо структуру підінтегральної функції, а потім оберемо відповідну тотожність або заміну змінної.

Приклад 1. Знайти інтеграл
\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^3(x)\,dx.
\]

Підінтегральний вираз містить непарний степінь косинуса. Тому відокремимо один множник \( \cos(x) \), а квадрат косинуса виразимо через синус:

\[
\cos^3(x)
=
\cos^2(x)\cdot\cos(x).
\]

Використаємо тотожність

\[
\cos^2(x)=1-\sin^2(x).
\]

Тоді

\[
\cos^3(x)
=
\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\cdot\cos(x).
\]

Початковий інтеграл набуває вигляду

\[
\int
\sin^2(x)\cdot
\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\cdot
\cos(x)\,dx.
\]

Тепер виконаємо заміну

\[
u=\sin(x).
\]

Оскільки

\[
du=\cos(x)\,dx,
\]

то після заміни отримуємо

\[
\int
u^2\cdot\bigl(1-u^2\bigr)\,du.
\]

Розкриємо дужки:

\[
\int \bigl(u^2-u^4\bigr)\,du.
\]

Проінтегруємо кожен доданок:

\[
\int \bigl(u^2-u^4\bigr)\,du
=
\frac{u^3}{3}
–
\frac{u^5}{5}
+
C.
\]

Повертаємося до змінної \( x \):

\[
u=\sin(x).
\]

Отже,

\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^3(x)\,dx
=
\frac{\sin^3(x)}{3}
–
\frac{\sin^5(x)}{5}
+
C.
\]

Приклад 2. Знайти інтеграл
\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^2(x)\,dx.
\]

Обидві тригонометричні функції мають парні степені. Тому відокремити один множник для заміни змінної не вдається. У цьому випадку застосуємо формули пониження степеня.

Спочатку використаємо формулу синуса подвійного кута:

\[
\sin(2\cdot x)
=
2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x).
\]

Звідси

\[
\sin(x)\cdot\cos(x)
=
\frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x).
\]

Піднесемо обидві частини рівності до квадрата:

\[
\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)
=
\frac{1}{4}\cdot\sin^2(2\cdot x).
\]

Тому початковий інтеграл набуває вигляду

\[
\frac{1}{4}\cdot
\int \sin^2(2\cdot x)\,dx.
\]

Тепер застосуємо формулу пониження степеня:

\[
\sin^2(2\cdot x)
=
\frac{1-\cos(4\cdot x)}{2}.
\]

Отже,

\[
\frac{1}{4}\cdot
\int \sin^2(2\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{8}\cdot
\int
\bigl(1-\cos(4\cdot x)\bigr)\,dx.
\]

Розділимо інтеграл на два доданки:

\[
\frac{1}{8}\cdot\int dx
–
\frac{1}{8}\cdot\int\cos(4\cdot x)\,dx.
\]

Перший інтеграл дорівнює

\[
\int dx=x.
\]

Для другого інтеграла врахуємо лінійний аргумент:

\[
\int\cos(4\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{4}\cdot\sin(4\cdot x).
\]

Тому

\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^2(x)\,dx
=
\frac{x}{8}
–
\frac{1}{32}\cdot\sin(4\cdot x)
+
C.
\]

Приклад 3. Знайти інтеграл
\[
\int \tan^2(x)\cdot\sec^4(x)\,dx.
\]

Степінь секанса є парним. Тому відокремимо один множник \( \sec^2(x) \), який разом із \( dx \) утворить диференціал тангенса:

\[
\sec^4(x)
=
\sec^2(x)\cdot\sec^2(x).
\]

Початковий інтеграл перепишемо так:

\[
\int
\tan^2(x)\cdot
\sec^2(x)\cdot
\sec^2(x)\,dx.
\]

Один із множників \( \sec^2(x) \) виразимо через тангенс:

\[
\sec^2(x)=1+\tan^2(x).
\]

Тоді отримуємо

\[
\int
\tan^2(x)\cdot
\bigl(1+\tan^2(x)\bigr)\cdot
\sec^2(x)\,dx.
\]

Виконаємо заміну

\[
u=\tan(x).
\]

Оскільки

\[
du=\sec^2(x)\,dx,
\]

то інтеграл набуває вигляду

\[
\int
u^2\cdot\bigl(1+u^2\bigr)\,du.
\]

Розкриємо дужки:

\[
\int \bigl(u^2+u^4\bigr)\,du.
\]

Проінтегруємо кожен доданок:

\[
\int \bigl(u^2+u^4\bigr)\,du
=
\frac{u^3}{3}
+
\frac{u^5}{5}
+
C.
\]

Повертаємося до початкової змінної:

\[
u=\tan(x).
\]

Таким чином,

\[
\int \tan^2(x)\cdot\sec^4(x)\,dx
=
\frac{\tan^3(x)}{3}
+
\frac{\tan^5(x)}{5}
+
C.
\]

Приклад 4. Знайти інтеграл
\[
\int \cos(5\cdot x)\cdot\cos(3\cdot x)\,dx.
\]

Підінтегральний вираз містить добуток косинусів із різними аргументами. Тому використаємо формулу

\[
\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)
\bigr).
\]

У нашому випадку

\[
\alpha=5\cdot x,
\qquad
\beta=3\cdot x.
\]

Тоді

\[
\cos(5\cdot x)\cdot\cos(3\cdot x)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(2\cdot x)+\cos(8\cdot x)
\bigr).
\]

Початковий інтеграл перетворюється на

\[
\frac{1}{2}\cdot
\int
\bigl(
\cos(2\cdot x)+\cos(8\cdot x)
\bigr)\,dx.
\]

Розділимо його на два інтеграли:

\[
\frac{1}{2}\cdot
\int\cos(2\cdot x)\,dx
+
\frac{1}{2}\cdot
\int\cos(8\cdot x)\,dx.
\]

Для першого інтеграла маємо

\[
\int\cos(2\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x).
\]

Для другого інтеграла

\[
\int\cos(8\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{8}\cdot\sin(8\cdot x).
\]

Підставимо знайдені первісні:

\[
\frac{1}{2}\cdot
\frac{1}{2}\cdot
\sin(2\cdot x)
+
\frac{1}{2}\cdot
\frac{1}{8}\cdot
\sin(8\cdot x)
+
C.
\]

Після спрощення отримуємо

\[
\int \cos(5\cdot x)\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{4}\cdot\sin(2\cdot x)
+
\frac{1}{16}\cdot\sin(8\cdot x)
+
C.
\]

Приклад 5. Знайти інтеграл
\[
\int
\frac{dx}
{3+\sin(x)+\cos(x)}.
\]

У знаменнику одночасно містяться синус і косинус. Чисельник не містить множника, який можна безпосередньо пов’язати з похідною однієї з цих функцій. Тому застосуємо універсальну тригонометричну підстановку

\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).
\]

За цієї підстановки

\[
\begin{gathered}
\sin(x)=\frac{2\cdot t}{1+t^2},\\[4pt]
\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\[4pt]
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.
\end{gathered}
\]

Підставимо ці вирази в початковий інтеграл:

\[
\int
\frac{
\frac{2}{1+t^2}\,dt
}{
3+
\frac{2\cdot t}{1+t^2}
+
\frac{1-t^2}{1+t^2}
}.
\]

Зведемо доданки у знаменнику до спільного знаменника:

\[
3+
\frac{2\cdot t}{1+t^2}
+
\frac{1-t^2}{1+t^2}
=
\frac{
3\cdot\bigl(1+t^2\bigr)
+
2\cdot t
+
1-t^2
}{
1+t^2
}.
\]

Розкриємо дужки в чисельнику:

\[
3\cdot\bigl(1+t^2\bigr)
+
2\cdot t
+
1-t^2
=
3+3\cdot t^2+2\cdot t+1-t^2.
\]

Після зведення подібних доданків отримуємо

\[
2\cdot t^2+2\cdot t+4.
\]

Винесемо спільний множник \( 2 \):

\[
2\cdot t^2+2\cdot t+4
=
2\cdot\bigl(t^2+t+2\bigr).
\]

Тому початковий інтеграл набуває вигляду

\[
\int
\frac{
\frac{2}{1+t^2}\,dt
}{
\frac{
2\cdot\bigl(t^2+t+2\bigr)
}{
1+t^2
}
}.
\]

Скорочуємо множники \( 2 \) та \( 1+t^2 \):

\[
\int
\frac{dt}
{t^2+t+2}.
\]

Щоб застосувати стандартну формулу для арктангенса, виділимо повний квадрат у знаменнику:

\[
t^2+t+2
=
\left(t+\frac{1}{2}\right)^2
+
\frac{7}{4}.
\]

Подамо число \( 7/4 \) як квадрат:

\[
\frac{7}{4}
=
\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2.
\]

Отже,

\[
\int
\frac{dt}
{
\left(t+\frac{1}{2}\right)^2
+
\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2
}.
\]

Використаємо формулу

\[
\int
\frac{du}
{u^2+a^2}
=
\frac{1}{a}\cdot
\arctan\left(\frac{u}{a}\right)
+
C.
\]

Покладемо

\[
u=t+\frac{1}{2},
\qquad
du=dt,
\qquad
a=\frac{\sqrt{7}}{2}.
\]

Тоді

\[
\int
\frac{dt}
{
\left(t+\frac{1}{2}\right)^2
+
\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2
}
=
\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot
\arctan\left(
\frac{
t+\frac{1}{2}
}{
\frac{\sqrt{7}}{2}
}
\right)
+
C.
\]

Спростимо аргумент арктангенса:

\[
\frac{
t+\frac{1}{2}
}{
\frac{\sqrt{7}}{2}
}
=
\frac{2\cdot t+1}{\sqrt{7}}.
\]

Отримуємо

\[
\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot
\arctan\left(
\frac{2\cdot t+1}{\sqrt{7}}
\right)
+
C.
\]

Повертаємося до змінної \( x \):

\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).
\]

Отже,

\[
\int
\frac{dx}
{3+\sin(x)+\cos(x)}
=
\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot
\arctan\left(
\frac{
2\cdot\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1
}{
\sqrt{7}
}
\right)
+
C.
\]

Отриманий результат слід розглядати на кожному проміжку, де визначена підстановка \( t=\tan(x/2) \).

Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження

Після інтегрування тригонометричних функцій можна переходити до інших важливих тем інтегрального числення. Вони допоможуть розібратися з новими типами підінтегральних виразів і перейти від невизначених інтегралів до визначених.

1. Інтеграли від ірраціональних функцій: Типові заміни — Розглянемо, які підстановки допомагають позбутися коренів і перетворити ірраціональні вирази на зручніші для інтегрування.
2. Визначений інтеграл: Геометричний зміст і властивості — З’ясуємо, що означає визначений інтеграл геометрично, як він пов’язаний із площею та які основні властивості має.
3. Формула Ньютона–Лейбніца: Як обчислювати визначений інтеграл — Розберемо, як за допомогою первісної та меж інтегрування знаходити значення визначеного інтеграла.

Інтегрування Тригонометричних Функцій: Від Блок-Схеми до Програмного Коду

Захоплюєтеся програмуванням? Тоді спробуйте перетворити математичні обчислення на власну програму. Реалізуйте алгоритм, поданий на блок-схемі, мовою Pascal, Python, JavaScript, C++ або іншою мовою на ваш вибір. Програма має обчислити значення підінтегральної функції

\[
f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos^3(x),
\]

наближено визначити похідну знайденої первісної

\[
F(x)=\frac{\sin^3(x)}{3}-\frac{\sin^5(x)}{5}
\]

та порівняти отримані значення. Так ви зможете застосувати знання про інтегрування тригонометричних функцій на практиці й побачити, як послідовність математичних обчислень перетворюється на програмний код.