Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня (відноситься до категорії точних чисельних методів) використовується для знаходження розв'язку систем лінійних рівнянь, з симетричною матрицею коефіцієнтів при невідомих, тобто для систем виду:

Метод квадратного кореня

де Метод Квадратного кореня. Процес відшукання розв'язку за даним методом складається з двох етапів. Перший етап (прямий хід): виходячи з того, що Метод квадратного кореня — симетрична матриця, то її можна представити у вигляді добутку двох взаємно транспонованих між собою трикутних матриць: Метод квадратного кореня, де

Метод квадратного кореня

Перемноживши Метод квадратного кореня і Метод квадратного кореня, отримаємо деяку матрицю, яку прирівнюємо до матриці Метод квадратного кореня. В результаті отримаємо формули, для знаходження невідомих Метод квадратного кореня:

Метод квадратного кореня

Виходячи з формули (2), систему (1) можна еквівалентним чином замінити двома системами лінійних рівнянь виду: Метод квадратного кореня, або в розгорнутому вигляді:.

Метод квадратного кореня

Далі переходимо до другого етапу (обернений хід методу квадратного кореня). З першої системи формули (3), послідовно знаходимо невідомі Метод квадратного кореня, ведучи розрахунки «зверху вниз» за наступними формулами:

Метод квадрітного кореня

Після цього, з другої системи формули (3), за знайденими значеннями невідомих Метод квадратного кореня, ведучи розрахунки «знизу вверх», визначаємо невідомі Метод квадрітного кореня:

Метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня більш зручний і економічний у порівнянні з методом Гаусса. Він легко програмується. Алгоритм цього методу заснований на формулах (3), (4), (5). Також слід відмітити, що метод квадратного кореня можна також використовувати і для знаходження визначника матриці. Для цього використовують наступну формулу: Метод квадратного кореня. Тобто, для обчислення визначника достатньо скористатись розрахунковими формулами прямого ходу методу квадратного кореня.

Обчислення визначника матриці метод квадратного кореня — приклад:

Використовуючи метод квадратного кореня, обчислити  визначник наступної матриці:

Для цього, як зазначалося вище, скориставшись формулами, що описують прямий хід методу квадратного кореня, визначемо елементи Метод квадратного кореня матриць Метод квадратного кореня та Метод квадратного кореня. В результаті отримаємо:

Далі, скориставшись формулою Метод квадратного кореня, знаходимо значення визначника заданої матриці:

Знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня — приклад:

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку необхідно розв'язати методом квадратного кореня.

Для цього, слідуючи алгоритму методу квадратного кореня, на першому кроці, необхідно визначити елементи Метод квадратного кореня матриць Метод квадратного кореня та Метод квадратного кореня, тобто реалізувати прямий хід методу. Але, виходячи з того, що матриця коефіцієнтів заданої системи збігається з матрицею, для якої, використвуючи розглядуваний метод, ми знаходили визначник і для якої процес обчислення елементів Метод квадратного кореня вже було реалізовано, то скориставшись отриманими у попередньому прикладі обчисленнями, запишемо значення елементів Метод квадратного кореня:

Після цього, перейшовши до другого етапу (обернений хід методу квадратного кореня) та скориставшись формулами (4) знайдемо розв'язок системи , тобто визначимо значення невідомих .

І на останньому кроці, для того щоб отримати розв'язок системи , а відповідно і розв'язок заданої системи, достатньо підставити отримані на попередніх кроках значення у формули (5). В результаті будемо мати:

Блок-схема алгоритму обчислення визначника матриці використовуючи метод квадратного кореня:

Метод квадратного кореня блок-схема

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня:

Метод квадратного кореня блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар