Знаходження оберненої матриці використовуючи коефіцієнти її характеристичного многочлена

Нехай маємо деяку невироджену матрицю розмірності , для якої характеристичний многочлен запишемо у наступному вигляді:

Покажемо, яким чином з допомогою коефіцієнтів цього характеристичного многочлена та послідовності маириць , порівняно просто можна знайти обернену матрицю . Для цього, скориставшись теоремою Гамільтона-Келі (при підстановці матриці в її характеристичний многочлен, виходить нульова матриця, іншими словами, матриця являетса коренем свого характеристичного многочлена), отримаємо:

Помноживши матричну рівність (1) на  зліва, отримуємо:

Звідси, при умові що , будемо мати:

Таким чином, якщо коефіцієнти характеристичного многочлена матриці  являються відомими, а також знайдені степені даної матриці до -го порядку включно, то скориставшись формулою (3), легко можна обчислити обернену матрицю . Відмітимо, що особливо вигідним в цьому відношенні є метод Левер'є.

Зауваження: якщо і , то для отримання формули, яка б містила , векторну рівність (1) необхідно помножити зліва на матрицю  і так далі.

Знаходження оберненої матриці використовуючи коефіцієнти її характеристичного многочлена — приклад:

Для заданої матриці  знайти обернену, використовуючи при цьогму вищерозглянутий алгоритм:

Для цього, на першому кроці, обчислимо степені матриці до четвертого порядку включно, після чого, скориставшись методом Левер'є, визначимо коефіцієнти характеристичного многочлена:

Після того, як дані величини являються відомими, скориставшись формулою (3), для заданої матриці знаходимо елементи оберненої матриці:

Блок-схема алгоритму знаходження оберненої матриці використовуючи коефіцієнти її характеристичного многочлена:

obernena_mattrkoef23

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар