Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів

Один із недоліків методу половинного ділення чи будь-якого з ітераційних методів розв'язку нелінійних алгебраїчних рівнянь є той факт, що процес збігається невідомо до якого кореня. Сьогодні розглянемо один із способів уникнути даної проблеми, який полягає у видалені вже знайденого кореня.

Отже, нехай задано рівняння , для якого на заданому відрізку необхідно знайти всі дійсні корені (відмітимо що функція на даному відрізку є неперервною). Далі припустимо, що є простий корінь рівняння (1), тоді допоміжна функція буде також неперервною на даному інтвалі, причому всі нулі функцій  та співпадають за винятком , тобто . Якщо  кратний корінь рівняння (1), то він буде нулем і для  кратності на одиницю менше. Решта нулів обох функцій як і раніше будуть однакові. Тому знайдений корінь можна видалити, тобто перейти до функції . Тоді знаходження інших нулів  зведеться до знаходження нулів .

Далі, припустимо, що на другому кроці ми знайшли деякий корінь функції . Цей корінь теж мжна видалити, ввівши нову допоміжну функцію . Відзначимо, що таким чином можна послідовно знайти всі корені заданого рівняння (1).

Зауважимо,  що таким чином на кожному кроці, ми знаходимо лише наближене значення кореня. Щоб це не позначалося при знаходженні наступних коренів, обчислювати кожен корінь необхідно з високою точністю, особливо якщо він кратний або поблизу нього розташований інший корінь рівняння.

Крім того, в будь-якому методі остаточні ітерації поблизу кореня, що відшукується, рекомендується робити не за функціями типу , а по вихідній функції . Значення отримане на останній ітерації по функції , використовуються при цьому в якості нульового наближення. Особливо важливо це при знаходженні багатьох коренів, бо чим більше коренів видалено, тим менше нулі допоміжної функції співпадають з іншими нулями функції .

Знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів — приклад:

На заданому інтервалі знайти корені рівняння з точністю . Для цього, на першому кроці, скориставшись методом половинного ділення, знайдемо один з коренів заданого рівняння. Результат обчислень запишемо в наступній таблиці :

Знаходження розв'зку рівняння f(x)=0 методом половинного ділення

Далі, як уже зазначалося вище, для знаходження наступного кореня вводимо допоміжну функцію і таким чином видаляємо вже знайдений корінь заданого рівняння. Після цього, знову таки застосовуємо метод половинного ділення, але в даному випадку вже для допоміжної функції :

Знаходження розв'зку рівняння g(x)=0 методом половинного ділення

Знаходження розв'зку рівняння g(x)=0 методом половинного ділення

З останньої таблиці бачимо, що другий корінь заданого рівняння дорівнює . Далі, аналогічним чином, вводимо додаткову функцію , та переходимо до знаходження третього кореня.

Знаходження розв'зку рівняння Fi(x)=0 методом половинного ділення

Виходячи з того, що заданої точності для шуканого кореня було досягнуто, але значення в точці далеко не дорінює нулю, можна зробити висновок, що функція  на проміжку  коренів немає, тобто ітераційний процес на цьому завершується і в якості шуканих коренів для заданого рівняння приймаємо значення  та .

Блок-схема алгоритму знаходження всіх дійсних коренів алгебраїчного рівняння шляхом видалення вже знайдених коренів

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар