Знаходження власних значень матриці за методом Крилова

Розглянемо метод призначений для знаходження власних значень матриці, алгоритм якого дещо відрізняється від методу Данилевського. Нехай характеристичний многочлен матриці . Виходячи з того, що всяка матриця перетворює в нуль свій характеристичний многочлен, будемо мати .

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор , розмірність якого співпадає з розмірністю матриці  і помножимо обидві частини рівності (1) з правої сторони на даний вектор, отримаємо: .

Поклавши рівність (2) можна переписати в наступному вигляді: , або

де координати векторів визначаються за наступною формулою . Тобто, ми отримуємо систему лінійних рівнянь , розв'язавши яку, отримуємо коефіцієнти многочлена.

Якщо система (5) має єдиний розв'язок, то її корені  являються коефіцієнтами характеристичного многочлена. Даний розв'язок можна знайти будь-яким методом призначеним для знаходження рішення систем лінійних рівнянь (метод Гаусса, метод простої ітерації, метод Зейделя та інші). Якщо ж система (5) не має єдиного розв'язку, то в такому випадку рекомендується вибрати інший початковий вектор і заново виконати зазначені дії.

Блок-схема програмної реалізації методу Крилова для знаходження власних значень матриці: