Знаходження власних значень матриці за методом Крилова
Розглянемо метод призначений для знаходження власних значень матриці, алгоритм якого дещо відрізняється від методу Данилевського. Нехай характеристичний многочлен матриці
. Виходячи з того, що всяка матриця перетворює в нуль свій характеристичний многочлен, будемо мати
.
Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор , розмірність якого співпадає з розмірністю матриці
і помножимо обидві частини рівності (1) з правої сторони на даний вектор, отримаємо:
.
Поклавши рівність (2) можна переписати в наступному вигляді:
, або
де координати векторів визначаються за наступною формулою
. Тобто, ми отримуємо систему лінійних рівнянь
, розв'язавши яку, отримуємо коефіцієнти многочлена.
Якщо система (5) має єдиний розв'язок, то її корені являються коефіцієнтами характеристичного многочлена. Даний розв'язок можна знайти будь-яким методом призначеним для знаходження рішення систем лінійних рівнянь (метод Гаусса, метод простої ітерації, метод Зейделя та інші). Якщо ж система (5) не має єдиного розв'язку, то в такому випадку рекомендується вибрати інший початковий вектор
і заново виконати зазначені дії.