Знаходження власних значень матриці використовуючи метод обертань

Метод обертань — поширений ітераційний метод розв'язування повної алгебраїчної проблеми власних значень і дозволяє, для симетричних матриць (нагадаємо, що матриця називається симетричною тоді і тільки тоді, коли Умова симетричності матриць), вирішити задачу знаходження всіх власних значень та відповідних їм власних векторів без використання характеристичних рівнянь.

Основна ідея методу обертань полягає в перетворенні початкової матриці Матриця А так, щоб зберігаючи спектр власних значень отримати діагональну матрицю Власні значення матриці або близьку до неї. Перетворення з такими властивостями відоме як перетворення подібності Власні значення матриці, де Власні значення матриці — невироджена матриця. Якщо додатково вимагатимемо ортогональності матриці Власні значення матриці, то, крім бажаного збереження спектра власних значень при перетворенні подібності необхідною умовою є ще й симетрія матриці перетворення. Знайти безпосередньо таку матрицю Власні значення матриці, як правило, невдається, тому один із шляхів побудови перетворення подібності — ітераційний. Тобто, на кожному Власні значення матриці-му кроці методу обертань здійснюється перетворенням подібності, де використовується ортогональна матриця обертань Власні значення матриці. Ця матриця залежить від трьох параметрів Власні значення матриці і відрізняється від одиничної лише чотирма елементами Власні значення матриці із координатами Власні значення матриці відповідно.

Власні значення матриці

Таким чином, на кожному Власні значення матриці-му кроці ітерації методу обертань, маємо перетворення:

Влісні значеня матриці

де Власні значення матриці. Оскільки матриці Власні значення матриці — ортогональні, їх обернені матриці збігаються із транспонованими, що надзвичайно полегшує здійснення перетворень обертань, а саме:

Влісні значення матриці

Після того, як основна ідея методу обертань відома, розглянемо, яким чином на кожній ітерації здійснюється пбудова матриці обертань, та з допомогою яких правил визначається кут обертання, тобто визначимося з вільними параметрами Власні значення матриці. Перш за все, як уже зазначалося, необхідно будувати процес (3) таким чином, щоб в кінцевому результаті матриця Власні значення матриці набула діагонального вигляду. Один із можливих варіантів досягнення цього полягає у обнуленні  на  кожному  Власні значення матриці-му  кроці ітерацій  найбільшого за модулем  недіагонального елемента  матриці Власні значення матриці. Такий підхід  визначає вільні  координати Власні значення матриці, як координати найбільшого за модулем недіагонального елемента матриці Власні значення матриці. Крім того, з умови обнулення Власні значення матриці також можна знайти третій, і останній, вільний параметр Власні значення матриці. Для цього, спочатку, виведемо формули методу обертань для одного Власні значення матриці-го кроку перетворень. Даний крок складається із двох послідовних процедур:

Власні значення матриці

Очевидно, усі елементи матриці Власні значення матриці збігатимуться з відповідними елементами матриці Власні значення матриці, крім елементів Власні значення матриці-го та Власні значення матриці-го стовпців, для яких легко отримаємо розрахункові формули:

Власні значення матриці

Аналогічно всі елементи матриці Власні значення матриці збігатимуться з відповідними елементами матриці Власні значення матриці, крім елементів Власні значення матриці-го та Власні значення матриці-го рядків, для яких отримаємо розрахункові формули:

Власні значення матриці

Після цього, переходимо до обнулення елемента з координатими Власні значення матриці. Для цього, скориставшись формулами (4), (5) та умовою симетричності матриць, запишемо наступни вираз:

Власні значення матриці

Далі, прирівнявши вираз (6) до нуля, та розв'язавши отримане таким чином тригонометричне рівняння, визначимо формули для визначення параметра Власні значення матриці матриці обертань.

Власні значення матриці

Ітераційного процесу методу обертань слід продовжувати до тих пір, поки сума квадратів недіагональних елементів матриці Власні значення матриці не стане меншою або рівною заданій точності Власні значення матриці, тобто:

Власні значення матриці

Пісял того, як умова (8) виконується, в якості шуканих власних значень матриці беруться значення діагональних елементів матриці Власні значення матриці: Власні значення матриці.

Зауваження: для визначення координатів власних векторів матриці Матриця А, необхідно здійснити добуток послідовності матриць обертань, отриманих на кожному кроці ітерації методу обертань.

Знаходження власних значень матриці методом обертань — приклад:

Для заданої симетричної матриці Матриця А знайти власні значення використовуючи метод обертань. В якості точності обчислювального процесу взяти число Метод обертань приклад.

Метод обертань приклад

На першому кроці позначимо Власні значення матриці і виберемо найбільший по модулю недіагональний елемент: Метод обертань приклад. Після цього, скориставшись формулою (7) визначемо кут обертання:

Метод обертань приклад

Далі, знаходимо відповідну цьому елементу матрицю обертання Власні значення матриці та скориставшись формулою (3) визначимо елементи матриці Метод обертань приклад:

Метод обертань приклад

На останньому кроці першої ітерації, обчислемо суму квадратів недіагональних елементів матриці Метод обертань приклад:

Метод обертань приклад

Отримана сума являється бульшою за число Власні значення матриці, тому переходимо до наступної ітерації. Для цього, аналогічним чином знайдемо найбільший по моділю позадіагональний елемент матриці Метод обертань приклад, визначимо кут обертання, побудуємо матрицю обертання та знайдемо наступне наближення:

Метод обертань приклад

Після виконання даного кроку ітерації ми також не досягнули заданої точності обчислень, тому продовжуємо ітераційний процес далі:

Метод обертань приклад

Таким чином, отримане на четвертій ітерації наближення задовільняє заданій точності і тому в якості шуканих власних значень можуть бути прийняті діагональні елементи матриці Метод обертань приклад, тобто Метод обертань приклад.

Блок-схема для обчислення власних значення та власних векторів матриці використовуючи метод обертань:

Метод обертань алгоритм

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар