Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Левер’є

Процес знаходження власних значень за методом Левер’є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю , для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:

де корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:

Перемноживши вирази, які містяться в правій частині (2) та звівши подібні члени, після чого прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:

де – елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.

Розглянемо також наступні симетричні функції коренів . З курсу вищої алгебри відомо, що і пов’язані наступним співвідношенням:

З даного співвідношення знаходимо формули для обчислення коефіцієнтів многочлена (1):

де  – слід матриці ;  – слід матриці ;…; – слід матриці .

Таким чином, схема розкриття вікового визначника за методом Левер’є вельми проста, а саме: спочатку обчислюються – степені матриці , після чого знаходяться відповідні  – суми елементів головних діагоналей матриць і, нарешті, за формулами (6) визначаються шукані коефіцієнти .

Знаходження власних значень матриці за методом Левер’є – приклад:

Використовуючи вище розглянутий алгоритм методу Левер’є, визначити власні значення наступної матриці:

Для визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння даної матриці, на першому кроці обчислимо степені матриці . В результаті отримаємо:

Після цього, для кожної отриманої матриці, та самої матриці  знайдемо суму діагональних елементів, тобто для кожної з матриць, обчислимо таку величину, як слід матриці:

Далі, скориставшись формулами (6) обчислюємо значення коефіцієнтів характеристичного многочлена:

Таким чином ми отримали рівняння, розв’язавши яке, наприклад методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера, отримаємо власні значення заданої матриці:

Блок-схема програмної реалізації методу Левер’є для знаходження власних значень матриці: