Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Левер'є

Процес знаходження власних значень за методом Левер'є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю metod_laverre2, для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:

metod_laverre14

де Метод Леверр'є корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:

metod_laverre15

Перемноживши вирази, які містяться в правій частині (2) та звівши подібні члени, після чого прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:

metod_laverre31

де metod_laverre17 - елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.

Розглянемо також наступні симетричні функції коренів metod_laverre19. З курсу вищої алгебри відомо, що metod_laverre20 і metod_laverre21 пов'язані наступним співвідношенням:

metod_laverre22

З даного співвідношення знаходимо формули для обчислення коефіцієнтів многочлена (1):

Метод Левер'є

де metod_laverre6 — слід матриці metod_laverre7metod_laverre9 — слід матриці metod_laverre10;...; metod_laverre24 — слід матриці metod_laverre25.

Таким чином, схема розкриття вікового визначника за методом Левер'є вельми проста, а саме: спочатку обчислюються metod_laverre27 — степені матриці metod_laverre28, після чого знаходяться відповідні metod_laverre24 — суми елементів головних діагоналей матриць metod_laverre291 і, нарешті, за формулами (6) визначаються шукані коефіцієнти metod_laverre30.

Знаходження власних значень матриці за методом Левер'є — приклад:

Використовуючи вище розглянутий алгоритм методу Левер'є, визначити власні значення наступної матриці:

Для визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння даної матриці, на першому кроці обчислимо степені матриці metod_laverre28. В результаті отримаємо:

Після цього, для кожної отриманої матриці, та самої матриці metod_laverre28 знайдемо суму діагональних елементів, тобто для кожної з матриць, обчислимо таку величину, як слід матриці:

Далі, скориставшись формулами (6) обчислюємо значення коефіцієнтів характеристичного многочлена:

Таким чином ми отримали рівняння, розв'язавши яке, наприклад методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера, отримаємо власні значення заданої матриці:

Блок-схема програмної реалізації методу Левер'є для знаходження власних значень матриці:

aaa

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар