Знаходження власних значень матриці використовуючи метод Левер'є
Процес знаходження власних значень за методом Левер'є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю , для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:
де корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:
Перемноживши вирази, які містяться в правій частині (2) та звівши подібні члени, після чого прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:
де - елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.
Розглянемо також наступні симетричні функції коренів . З курсу вищої алгебри відомо, що
і
пов'язані наступним співвідношенням:
З даного співвідношення знаходимо формули для обчислення коефіцієнтів многочлена (1):
де — слід матриці
;
— слід матриці
;...;
— слід матриці
.
Таким чином, схема розкриття вікового визначника за методом Левер'є вельми проста, а саме: спочатку обчислюються — степені матриці
, після чого знаходяться відповідні
— суми елементів головних діагоналей матриць
і, нарешті, за формулами (6) визначаються шукані коефіцієнти
.
Знаходження власних значень матриці за методом Левер'є — приклад:
Використовуючи вище розглянутий алгоритм методу Левер'є, визначити власні значення наступної матриці:
Для визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння даної матриці, на першому кроці обчислимо степені матриці
. В результаті отримаємо:
Після цього, для кожної отриманої матриці, та самої матриці знайдемо суму діагональних елементів, тобто для кожної з матриць, обчислимо таку величину, як слід матриці:
Далі, скориставшись формулами (6) обчислюємо значення коефіцієнтів характеристичного многочлена:
Таким чином ми отримали рівняння, розв'язавши яке, наприклад методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера, отримаємо власні значення заданої матриці: