Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод оберненої матриці

Нехай маємо систему метод оберненої матриці лінійних алгебраїчних рівнянь з метод оберненої матриці невідомими Метод оберненої матриці:

Метод оберненої матриці

Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі Метод оберненої матриці, де Метод оберненої матриці — матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1), Метод оберненої матриці — вектор-стовпець вільних членів, Метод оберненої матриці — вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці Метод оберненої матриці відмінний від нуля (Метод оберненої матриці), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці Метод оберненої матриці.

Зауваження: для знаходження оберненої матриці можна використовувати один з насутпних методів:

  1. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.
  2. Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень.
  3. Обчислення елементів оберненої матриці з допомогою розв'язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Після того, помножимо обидві частини рівняння (2) на знайдену обернену матрицю зліва. В результаті будемо мати: Метод оберненої матриці. Cкориставшиць асоціативною властивістю множення матриць, останнє рівняння перепишемо в насутпному вигляді: Метод оберненої матриці.

Далі, враховуючи що Метод оберненої матриці та Метод оберненої матриці, отримуємо формулу методу оберненої матриці (також відомий як матричний метод) для знаходження розв'язку системи (1):

Метод оберненої матриці

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом оберненої матриці — приклад:

Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом:

Запишем задану систему у матрично-векторінй формі:

Далі, виходячи з того, що вище розглянутий алгоритм для знаходження розв'язку СЛАР вимагає знаходження оберненої матриці, то на першому кроці, для матриці коефіцієнтів при невідомих Метод оберненої матриці обчислюємо визначник:

Оскільки він відмінний від нуля, то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв'язок. На наступному кроці, приступимо до знаходження оберненої матриці. Для цього скористаємось другим з перерахованих вище методів, а саме методом алгебраїчних доповнень, та, слідуючи його алгоритму, до матриці коефіцієнтів знайдемо транспоновану матрицю, після чого до елементів отриманої матриці обчислимо алгебраїчні доповнення:

Після того, як алгебраїчні доповнення відомі, обернену матрицю знаходимо за наступною формулою:

Далі, скориставшись формулою (3) знаходимо шуканий розв'язок заданої системи:

Тобто, .

Блок-схема програмної реалізації методу оберненої матриці (матричний метод):

Метод оберненої матриці

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар