Метод ортогоналізації. Знаходження розв'язку СЛАР методом ортогоналізації

Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) , яку необхідно розв'язати використовуючи алгоритм методу ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, в першу чергу, приєднаємо вектор вільних членів до матриці коефіцієнтів , в результаті система (1) набуде наступного вигляду:

де  — вектор-рядки ();  — вектор-стовпець. Далі, систему векторів доповнимо додатковим вектором після чого, до отриманої  системи векторів застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи і який реалізується за наступними рекурентними формулами:

де  — евклідова норма вектора .

Після виконання даного процесу, за шуканий розв'язок системи (1) приймають вектор , елементи якого обчислюються за насутпною формулою:

Формулою (3) визначається векторна форма запису обчислювальної схеми методу ортогоналізації. В координатній формі дана схема записується наступним чином:

Знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод ортогоналізації — приклад:

Використовуючи розглянутий вище метод ортогоналізації знайти розв'язок насутпної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Для цього, на першому кроці, приєднаємо вектор вільних членів до матриці коефіцієнтів та запишемо отриману таким чином систему у векторно-матричній формі. В результаті отримаємо:

Далі, систему векторів доповнимо додатковим вектором після чого, до отриманої системи застосуємо процес ортогоналізації, тобто проводимо обчислення згідно з формулами (3).

Після цього, скориставшись формулами (4), отримаємо значення, які і приймаємо в якості шуканих коренів заданої системи:

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод ортогоналізації: