Метод ортогоналізації. Знаходження розв'язку СЛАР методом ортогоналізації
Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) , яку необхідно розв'язати використовуючи алгоритм методу ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, в першу чергу, приєднаємо вектор вільних членів
до матриці коефіцієнтів
, в результаті система (1) набуде наступного вигляду:
де — вектор-рядки (
);
— вектор-стовпець. Далі, систему векторів
доповнимо додатковим вектором
після чого, до отриманої системи векторів
застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи
і який реалізується за наступними рекурентними формулами:
де — евклідова норма вектора
.
Після виконання даного процесу, за шуканий розв'язок системи (1) приймають вектор , елементи якого обчислюються за насутпною формулою:
Формулою (3) визначається векторна форма запису обчислювальної схеми методу ортогоналізації. В координатній формі дана схема записується наступним чином:
Знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод ортогоналізації — приклад:
Використовуючи розглянутий вище метод ортогоналізації знайти розв'язок насутпної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Для цього, на першому кроці, приєднаємо вектор вільних членів до матриці коефіцієнтів та запишемо отриману таким чином систему у векторно-матричній формі. В результаті отримаємо:
Далі, систему векторів доповнимо додатковим вектором
після чого, до отриманої системи
застосуємо процес ортогоналізації, тобто проводимо обчислення згідно з формулами (3).
Після цього, скориставшись формулами (4), отримаємо значення, які і приймаємо в якості шуканих коренів заданої системи: