Метод ортогоналізації. Знаходження розв'язку СЛАР методом ортогоналізації

Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) Метод ортогоналізації, яку необхідно розв'язати використовуючи алгоритм методу ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, в першу чергу, приєднаємо вектор вільних членів Метод ортогоналізації до матриці коефіцієнтів Метод ортогоналізації, в результаті система (1) набуде наступного вигляду:

Метод ортогоналізації

де Метод ортогоналізації — вектор-рядки (Метод ортогоналізації); Метод ортогоналізації — вектор-стовпець. Далі, систему векторів Метод ортогоналізації доповнимо додатковим вектором Метод ортогоналізації після чого, до отриманої  системи векторів Метод ортогоналізації застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи Метод ортогоналізації і який реалізується за наступними рекурентними формулами:

Метод ортогоналізації

де Метод ортогоналізації — евклідова норма вектора Метод ортогоналізації.

Після виконання даного процесу, за шуканий розв'язок системи (1) приймають вектор Метод ортогоналізації, елементи якого обчислюються за насутпною формулою:

Метод ортогоналізації

Формулою (3) визначається векторна форма запису обчислювальної схеми методу ортогоналізації. В координатній формі дана схема записується наступним чином:

Знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод ортогоналізації — приклад:

Використовуючи розглянутий вище метод ортогоналізації знайти розв'язок насутпної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Для цього, на першому кроці, приєднаємо вектор вільних членів до матриці коефіцієнтів та запишемо отриману таким чином систему у векторно-матричній формі. В результаті отримаємо:

Далі, систему векторів доповнимо додатковим вектором після чого, до отриманої системи застосуємо процес ортогоналізації, тобто проводимо обчислення згідно з формулами (3).

Після цього, скориставшись формулами (4), отримаємо значення, які і приймаємо в якості шуканих коренів заданої системи:

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод ортогоналізації:

Метод ортогоналізації блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар