Нехай задана система однорідних рівнянь наступного вигляду:
або у векторно-матричній формі , де
Якщо визначник матриці коефіцієнтів даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв’язок (
), і причому єдиний.
Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв’язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо
– розв’язок системи рівнянь (2) то
, де
– довільна стала, також є розв’язком цієї системи; якщо
і
– розв’язок системи (2), то сума
і
– також є розв’язком цієї системи.
Звідси випливає, що будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи рівнянь (1) є також розв’язком цієї системи. Таким чином, сукупність всіх розв’язків однорідної системи (1), утворить векторний простір, який називається простором рішень (нуль-простором матриці ). Якщо
– число невідомих однорідної системи (1) і
– ранг її матриці
, то розмірність простору рішень дорівнюватиме
.
Базис простору рішень називається фундаментальною системою рішень. Якщо для системи (1) відома фундаментальна система рішень:
то всі її розв’язки містяться у формулі:
де – довільні числа.
Для знаходження фундаментальної системи рішень в матриці виділяють, відмінний від нуля, мінор -го порядку
. Нехай:
Цього завжди можна добится шляхом перестановки рівнянь системи (1) і зміни нумерації її невідомих. Тоді можна легко довести, що рівняння системи (1) починаючи з -го, явлалась наслідками перших
рівнянь цієї системи, тобто, вони задовольняються, якщо будуть задовольняться
перших рівнянь системи (1). Тому досить розглянути підсистему (визначник якої відмінний від нуля):
В системі (5) значення невідомих можна вважати довільними. Розв’язавши систему рівнянь (5) щодо невідомих
, отримаємо
де – сталі числа.
Формули (6) дають повну систему рішень рівняння (2). За фундаментальну систему рішень можна взяти:
Ці рішення можуть бути знайдені безпосередньо з системи (5), якщо в ній послідовно покладати
Розв’язок системи однорідних рівнянь – приклад:
Розв’язати однорідну систему рівнянь наступного виду:
Ранг матриці, що складається з коефіцієнтів однорідної системи дорівнює двом а число невідомих – трьом. Тому будь-яка фундаментальна система рішень цієї системи рівнянь складається з одного рішення. Розв’яжемо систему, обмежуючись першими двома рівняннями, вважаючи вільною невідомою. В результаті отримаємо:
Покладаючи, далі, та підставляючи це значення в отримане на попередньому кроці загальне рішення як значення для вільної невідомої і обчислюючи значення для
і
, для заданої системи рівнянь, отримаємо таку фундаментальну систему рішень: