Нехай задана система однорідних рівнянь наступного вигляду:
або у векторно-матричній формі 
, де
Якщо визначник матриці коефіцієнтів 
даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв’язок (
), і причому єдиний.
Якщо ж 
, то в цьому випадку система (1) має безліч розв’язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо 
– розв’язок системи рівнянь (2) то 
, де 
– довільна стала, також є розв’язком цієї системи; якщо 
і 
– розв’язок системи (2), то сума і – також є розв’язком цієї системи.
Звідси випливає, що будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи рівнянь (1) є також розв’язком цієї системи. Таким чином, сукупність всіх розв’язків однорідної системи (1), утворить векторний простір, який називається простором рішень (нуль-простором матриці ). Якщо 
– число невідомих однорідної системи (1) і 
– ранг її матриці , то розмірність простору рішень дорівнюватиме 
.
Базис простору рішень називається фундаментальною системою рішень. Якщо для системи (1) відома фундаментальна система рішень:
то всі її розв’язки містяться у формулі:
де 
– довільні числа.
Для знаходження фундаментальної системи рішень в матриці виділяють, відмінний від нуля, мінор -го порядку 
. Нехай:
Цього завжди можна добится шляхом перестановки рівнянь системи (1) і зміни нумерації її невідомих. Тоді можна легко довести, що рівняння системи (1) починаючи з 
-го, явлалась наслідками перших рівнянь цієї системи, тобто, вони задовольняються, якщо будуть задовольняться перших рівнянь системи (1). Тому досить розглянути підсистему (визначник якої відмінний від нуля):
В системі (5) значення невідомих 
можна вважати довільними. Розв’язавши систему рівнянь (5) щодо невідомих 
, отримаємо
де 
– сталі числа.
Формули (6) дають повну систему рішень рівняння (2). За фундаментальну систему рішень можна взяти:
Ці рішення можуть бути знайдені безпосередньо з системи (5), якщо в ній послідовно покладати
Розв’язок системи однорідних рівнянь – приклад:
Розв’язати однорідну систему рівнянь наступного виду:
Ранг матриці, що складається з коефіцієнтів однорідної системи дорівнює двом а число невідомих – трьом. Тому будь-яка фундаментальна система рішень цієї системи рівнянь складається з одного рішення. Розв’яжемо систему, обмежуючись першими двома рівняннями, вважаючи 
вільною невідомою. В результаті отримаємо:
Покладаючи, далі, 
та підставляючи це значення в отримане на попередньому кроці загальне рішення як значення для вільної невідомої і обчислюючи значення для 
і 
, для заданої системи рівнянь, отримаємо таку фундаментальну систему рішень:
Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи однорідних рівнянь
