Знаходження оберненої матриці використовуючи метод розбиття на клітини

Іноді буває доцільно, при знаходженні оберненої матриці, попередньо розбити її на клітини. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, на першому кроці, розіб'ємо матрицю  порядку  на чотири клітини, використовуючи для цього наступну схему:

obernena_matrrozb_na_klitku7

де в дужках вказані порядки відповідних клітин, причому . Після цього, обернену матрицю до заданої будемо шукати у вигляді матриці, яка також складається з чотирьох клітин. Тобто:

obernena_matrrozb_na_klitku8

Скориставшись означенням оберненої матриці, а саме , перемножимо матриці (1) та (2). В результаті отримаємо чотири матричних рівняння:

де та  — одиничні матриці відповідних порядків. Знайшовши розв'язок даної системи, визначимо клітини матриці .

Для відшукання розв'язку системи (3) використовуємо спосіб виключення невідомих, тобто, помножимо справа перше рівняння системи (3) на і віднімаючи з результату множення друге рівняння цієї сімстеми, отримаємо:

Звідси знаходимо і .

Аналогічно з третього і четвертого рівнянь системи (3) визначаємо  та . Тут, звичайно, передбачається, що відповідні операції мають сенс.

Таким чином, знаходження оберненої матриці порядку  в такий спосіб, зводиться до відшукання чотирьох обернених матриць, дві з яких мають порядок і дві порядку , та здійснення декількох операцій множення. Виведені формули можна змінити таким чином, що для обчислення елементів матриці  потрібно відшукати лише дві обернені матриці порядку  та . Для цього, введемо в розгляд матриці:

Тоді формули для обчислення клітин можна записати в дещо простішому вигляді:

Зауваження: формули (9) визначають клітини матриці за умови, що і існують. Обчислення зручно здійснювати у вигляді наступної схеми:

Обчислювальна схема методу розбиття на клітини

Знаходження оберненої матриці використовуючи метод розбиття на клітини — приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм, для деякої невиродженої матриці  знайти обернену:

Для цього, як уже зазначалося вище, розіб'ємо матрицю  на чотири клітини. В результаті отримаємо:

Застосовуючи далі наведену вище схему, матимемо:

Відмітимо, що в даному прикладі операції множення матриць та відшукання обернених матриць другого порядку ми детально не росписували. За бажанням дані операції більш детально можна розглянути перейшовши за посиланням Означення матриці та основні операції над матрицями і Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень.

Блок-схема алгоритму знаходження оберненеої матриці використовуючи метод розбиття на клітини

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар