Знаходження нормального псевдорозв'язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

При розгляді чисельних методів призначених для розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, завжди вважалось, що матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде менше, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною і всі точні та ітераційні методи рішення лінійних систем, являтимуться неефктивними. Тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі.

Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має однозначне рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю. Що ж робити, коли він (визначник) все-таки дорівнює нулю?

З класичної точки зору, системи такого типу (з прямокутною, або квадратною але виродженою матрицею) розв'язків не мають, але для них вводять поняття узагальненого розв'язку (псевдорозв'язок). Розглянемо дане поняття більш детально.

Отже, під узагальненим розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

де  — матриця розмірності ,  — вектор вільних членів,  — шуканий вектор, розуміють вектор , що задовольняє наступній умові:

де  — евклідова норма.

Зауважимо, що якщо система (1) має класичний розв'язок, то він збігається з псевдорозв'язком, і при цьому . Однак, це не завжди так. Тому процедура знаходження векторів, що мінімізують функціонал нев'язки має сенс.

Також слід відмітити, що якщо ранг матриці менший від , то існує безліч узагальнених розв'язків, які утворюють підпростір розмірності . Наклавши ту чи іншу додаткову умову, з даної сукупності узагальнених розв'язків можна виділити єдиний, з найменшою евклідовою нормою, псевдорозв'язок , тобто . Відмітимо, що такий псевдорозв'язок завжди існує (при чому єдиний) і називається узагальненим нормальним розв'язком або нормальним псевдорозв'язком.

Після того, як з означенням узагальненого розв'язку більш-менш розібрались, розглянемо яким чином його можна обчислити. Отже, серед основних методів рішення прямокутних та вироджених систем, сьогодні зупинимося на методі який полягає у відшуканні псевдооберненої матриці. (є найбільш поширеним та найпростішим чисельним методом рішення задач такого типу). Основна його ідея аналогічна матричному методу для випадку невироджених систем. Тобто, для того, щоб знайти вектор невідомих систмеми (1), треба знайти псевдообернену матрицю до матриці  і помножити її справа на вектор-стовпець вільних членів:

Знаходження нормального псевдорозв'язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею — приклад:

Знайти нормальний псевдорозв'язок наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Виходячи з того, що псевдообернену матриця для заданої систмеми було знайдено при розгляді теоретичної частини процесу обертання прямокутних та вироджених матриць (міститься за вищевказаним посиланням), то узагальнений нормальний розв'язок знаходиться наступним чином:

Блок-схема алгоритму знаходження нормального псевдорозв'язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

Псевдорозв'язок лінійних систем блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар