Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом хорд

Алгоритм Ньютона-Рафсона, при знаходженні рішення нелінійного рівняння, вимагає обчислення функції та її похідної на кожній ітерації. Якщо вони є складними виразами, то знадобиться чимало зусиль, щоб зробити ручні обчислення або велика кількість процесорного часу для машинних розрахунків. Проте, якщо в методі дотичних похідну замінити її дискретним аналогом — розділеною різницею першого порядку, то, таким чином, можна значно зменшити його обчислювальні витрати. Саме така ідея і закладена у розглядуваному в даному параграфі методі, який носить назву метод хорд. У літературі він також зустрічається під методом січних. Це звязано з тим, що процес заміни похідної розділеною різницею рівносильний заміні дотичної на січну.

Отже, нехай задано нелінійне рівняння , де на відрізку має неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку. Тоді, ідея методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку  дугу кривої замінюють хордою і за наближений розв'язок нелінійного рівняння береться точка перетину даної хорди з віссю абсцис.

Вивдемо розрахункові формули методу, і для початку, розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто :

Отже, виходячи з того, що рівняння хорди — це рівняння прямої, що проходить через дві точки і , то, на першому кроці, запишемо рівняння даної прямої:

Нехай  — точка перетину хорди з віссю . Тоді, виходячи з того, що , отримаємо:

де  —  наближене значеня до шуканого кореня. Якщо значення  нас не влаштовує, то його можна покращити застосувавши метод хорд до відрізка . Для цього, з'єднаємо точку з точкою  і знайдемо  — точку перетину хорди з віссю :

Продовжуючи аналогічні дії далі, отримаємо послідовність значень , яка збігається до точного розв'язку рівняння .

Зазначимо, що, у загальному вигляді, розрахункова формула методу хорд для випадку, коли  матиме наступний вигляд:

Якщо перша і друга похідні мають різні знаки, тобто , то всі наближення до кореня відшукуються з боку правої межі відрізка :

і обчислюються за формулою:

Тобто, вид рекурентної формули залежить від того, яка з точок або є нерухомою. А нерухомим являється той кінець відрізка , для якого знак функції збігається зі знаком її другої похідної. Тоді другий кінець відрізка можна прийняти за початкове наближення до кореня, тобто точку .

Ітераційний процес методу січних продовжується до тих пір, поки не буде виконуватись умова , тобто поки модуль різниці між двома сусідніми наближеннями не стане меншим за  (де  - задана похибка обчислень).

Знаходження розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом хорд — приклад:

Використовуючи метод січних знайти, з точністю , розв'язок нелінійного рівняння на проміжку .

Отже, для початку, визначимо знаки першої та другої похідної в точці і встановимо, за якою формулою необхідно виконувати обчислення:

Виходячи з того, що дані величини приймають однакові знаки, то в якості нерухомої точки вибирається права межа проміжку , тобто і обчислення необхідно виконувати за формулою (4). Отже, скориставшись даною формулою, знайдемо перше наближення до шуканого кореня:

Переглянувши отримані результати приходимо до висновку, що для отриманого значення умова зупинки не виконується, тому, підставивши значення першого наближення у формулу (4), переходимо до ітерації номер два. В результаті отримаємо:

Як видно, умова зупинки для другого наближення також не виконується, тому продовжуючи ітераційни процес далі, на п'ятій ітерації отримаємо значення, для якого умова зупинки виконується, і яке приймаємо в якості наближеного рішення нелінійного рівняння:

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом хорд