Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом хорд

Алгоритм Ньютона-Рафсона, при знаходженні рішення нелінійного рівняння, вимагає обчислення функції та її похідної на кожній ітерації. Якщо вони є складними виразами, то знадобиться чимало зусиль, щоб зробити ручні обчислення або велика кількість процесорного часу для машинних розрахунків. Проте, якщо в методі дотичних похідну замінити її дискретним аналогом — розділеною різницею першого порядку, то, таким чином, можна значно зменшити його обчислювальні витрати. Саме така ідея і закладена у розглядуваному в даному параграфі методі, який носить назву метод хорд. У літературі він також зустрічається під методом січних. Це звязано з тим, що процес заміни похідної розділеною різницею рівносильний заміні дотичної на січну.

Отже, нехай задано нелінійне рівняння Метод хорд, де Метод хорд на відрізку має неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку. Тоді, ідея методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку  дугу кривої замінюють хордою і за наближений розв'язок нелінійного рівняння береться точка перетину даної хорди з віссю абсцис.

Вивдемо розрахункові формули методу, і для початку, розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто Метод хорд:

Метод січних

Графічне представлення методу хорд для випадку, коли f'(x)*f''(x)>0

Отже, виходячи з того, що рівняння хорди — це рівняння прямої, що проходить через дві точки Метод хорд і Метод хорд, то, на першому кроці, запишемо рівняння даної прямої:

Нехай Метод хорд — точка перетину хорди з віссю . Тоді, виходячи з того, що Метод хорд, отримаємо:

де Метод хорд —  наближене значеня до шуканого кореня. Якщо значення Метод хорд нас не влаштовує, то його можна покращити застосувавши метод хорд до відрізка . Для цього, з'єднаємо точку з точкою Метод хорд і знайдемо  — точку перетину хорди з віссю :

Продовжуючи аналогічні дії далі, отримаємо послідовність значень , яка збігається до точного розв'язку рівняння Метод хорд.

Зазначимо, що, у загальному вигляді, розрахункова формула методу хорд для випадку, коли Метод хорд матиме наступний вигляд:

Якщо перша і друга похідні мають різні знаки, тобто Метод хорд, то всі наближення до кореня відшукуються з боку правої межі відрізка :

Метод січних

Графічне представлення методу хорд для випадку, коли f'(x)*f''(x)<0

і обчислюються за формулою:

Тобто, вид рекурентної формули залежить від того, яка з точок або є нерухомою. А нерухомим являється той кінець відрізка , для якого знак функції збігається зі знаком її другої похідної. Тоді другий кінець відрізка можна прийняти за початкове наближення до кореня, тобто точку .

Ітераційний процес методу січних продовжується до тих пір, поки не буде виконуватись умова Метод хорд, тобто поки модуль різниці між двома сусідніми наближеннями не стане меншим за Метод хорд (де Метод хорд - задана похибка обчислень).

Знаходження розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом хорд — приклад:

Використовуючи метод січних знайти, з точністю , розв'язок нелінійного рівняння на проміжку .

Отже, для початку, визначимо знаки першої та другої похідної в точці і встановимо, за якою формулою необхідно виконувати обчислення:

Виходячи з того, що дані величини приймають однакові знаки, то в якості нерухомої точки вибирається права межа проміжку , тобто і обчислення необхідно виконувати за формулою (4). Отже, скориставшись даною формулою, знайдемо перше наближення до шуканого кореня:

Переглянувши отримані результати приходимо до висновку, що для отриманого значення умова зупинки не виконується, тому, підставивши значення першого наближення у формулу (4), переходимо до ітерації номер два. В результаті отримаємо:

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом хорд - Ітерація №1 та №2

Як видно, умова зупинки для другого наближення також не виконується, тому продовжуючи ітераційни процес далі, на п'ятій ітерації отримаємо значення, для якого умова зупинки виконується, і яке приймаємо в якості наближеного рішення нелінійного рівняння:

Метод хорд - приклад

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом хорд - Ітерації №3 - №

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом хорд

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар