Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом хорд

Нехай задано нелінійне рівняння Метод хорд, де Метод хорд на відрізку Метод хорд має неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку.

Ідея методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку Метод хорд дугу кривої замінюють хордою і за наближений розв'язок береть точку перетину даної хорди з віссю абсцис. Розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто Метод хорд:

Метод хорд

Випадок методу хорд, коли добуток першої і другої похідної бульший нуля

Рівняння хорди — це рівняння прямої, що проходить через точки Метод хорд і Метод хорд. А загадьний вигляд рівняння прямої, яка проходить через дві точки Метод хорд і Метод хорд має вигляд:

Метод хорд

Тобто, для того, щоб знайти рівняння хорди, підставимо замість точок  Метод хорд і Метод хорд точки А та В. В результаті отримаємо:

Метод хорд

Нехай Метод хорд — точка перетину хорди з віссю OX, так як Метод хорд, то:

Метод хорд

де Метод хорд —  наближене значеня шуканого кореня. Опустимо перпендикуляр із цієї точки до графіка функції, утвориться якась точка A1. Проводимо хорду через точки А1В і аналогічним чином знаходимо наступне наближене значеня кореня:

Метод хорд

Тобо, у загальному випадку формула методу хорд матиме вигляд:

Метод хорд

Якщо перша і друга похідні мають різні знаки, тобто Метод хорд, то всі наближення до кореня відшукуються з боку правої межі відрізка:

Метод хорд

Випадок методу хорд, коли добуток першої і другої похідної менший нуля

і обчислюються за наступною формулою:

Метод хорд

Ітераційний процес методу хорд продовжеється до тих пір, поки не буде виконуватись умова: Метод хорд, тобто коли модуль різниці між двома сусідніми значеннями наближень отриманих за методом хорд стане меншим за Метод хорд (де Метод хорд - задана похибка обчислень).

Блок-схема програмної реалізації методу хорд:

Метод хорд

Програмну реалізацію даного алгоритму можна знайти за посиланням: метод хорд (1), метод хорд (2).

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар