Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних

Нехай дано рівняння Метод дотичних, де  Метод дотичних — функція неперевна на відрізку Метод дотичних і має на даному відрізку похідні першого і другого порядків відмінні від нуля. Для даного рівняння необхідно знайти чисельний розв'язок використовуючи метод дотичних.

Ідея даного методу полягає в тому, що ми послідовно будуємо дотичні до графіка функції і таким чином знаходити наближений розв'язок даного рівняння.

Першу дотичну проводимо через точку Метод дотичних — кінець відрізка, для якого виконується умова Метод дотичних. В результаті вона перетне вісь ОХ в деякій точці Метод дотичних. Далі знаходимо значення функції Метод дотичних і в знайденій точці знову будуємо дотичну і так далі проводимо даний процес. В результаті отримаємо послідовність значень Метод дотичних яка збігається до точного розв'язку рівняння Метод дотичних.

Графічна інтерпритація методу дотичних

Графічна інтерпритація методу дотичних

Запишемо розрахункові формули для реалізації даного методу:

Рівняння дотичної до графіка функції Метод дотичних, яку ми будували в точці Метод дотичних, має вигляд:

Метод дотичних

Вона перетнула вісь OX в деякій точці Метод дотичних. Координати отриманої точки будуть задовольняти рівняння дотичної:

metod_dotichnuh11

З даного рівняння знаходимо

Метод дотичних

На наступному кроці знаходимо рівняння дотичної до графіка функції Метод дотичних в точці Метод дотичних. Воно має наступний вигляд

metod_dotichnuh15

і також перетинає вісь ОХ в деякій точці Метод дотичних. Підставляємо координати отриманої точки в рівняння дотичної, в результаті отримуємо

Метод дотичних

Звідси бачимо, що у загальному випадку формула методу дотичних матиме вигляд:

metod_dotichnuh18

Ітераційний процес методу дотичних, як і методу хорд, продовжується до тих пір, поки не виконається умова metod_dotichnuh19.

Блок-схема програмної реалізації методу дотичних:

Метод дотичних

Програмну реалізацію даного алгоритму можна знайти за посиланням: метод дотичних (1), метод дотичних (2).

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар