Знаходження наближеного розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння методом дотичних

Багато проблем в математиці, науці, техніці та бізнесі, в кінцевому підсумку, зводяться до відшукання коренів нелінійного рівняння. Сумним є той факт, що більшість з цих математичних рівнянь не можуть бути вирішені аналітично. Ви вже знаєте про формулу для розв'язку квадратичних поліноміальних рівнянь. Однак ви можете не знати, що існують формули для рішення рівнянь третьої та четвертої степені. На жаль, ці формули настільки громіздкі, що майже ніколи не використовуються. Для рівнянь бульш високої степені таких формул взагалі не існує. Крім того, якщо рівняння містять тригонометричні функції, то, в такому випадку, ще простіше знайти рівняння, які не мають аналітичних рішень. Наприклад, наступне просте рівняння не може бути розв'язане, щоб дати формулу для .

Необхідність розв'язку нелінійних рівнянь, які не можуть бути вирішені аналітично, привела до розвитку чисельних методів. Один з найбільш часто використовуваних чисельних методів називається методом Ньютона або методом Ньютона-Рафсона. Ідея даного методу відносно проста. Припустимо, що розглядається нелінійне рівняння виду Метод дотичних, де Метод дотичних — функція неперевна на відрізку Метод дотичних і має на даному відрізку, відмінні від нуля, похідні першого і другого порядків. Тоді, ідея методу Ньютона полягає в тому, що на кожній ітерації графік функції Метод дотичних замінюється дотичною (звідки інша назва цього методу — метод дотичних) і точку перетину кожної з цих дотичних з віссю абсцис приймають за чергове наближення до шуканого кореня.

Метод дотичних

Графічне представлення методу Ньютона

Зазначимо, що перша дотична проводиться через точку Метод дотичних — кінець відрізка, для якого виконується умова Метод дотичних. В результаті вона перетне вісь в деякій точці Метод дотичних. Далі, обчислюється значення функції Метод дотичних і в знайденій точці знову виконується побудова дотичної. Продовжуючи даний процес далі, отримують послідовність значень , яка збігається до точного розв'язку рівняння Метод дотичних.

Вивдемо розрахункові формули методу для рішення нелінійного рівняння. Для цього, на першому кроці, запишемо рівняння дотичної до графіка функції Метод дотичних, яку ми будували в точці Метод дотичних:

Вона перетнула вісь  в деякій точці . Координати отриманої точки будуть задовольняти рівняння даної дотичної:

Звідси, знаходимо перше наближення до шуканого корення Метод дотичних. На наступному кроці, запишемо рівняння дотичної до графіка функції Метод дотичних в точці :

Зазначимо, що дана дотична також перетинає вісь  в деякій точці . Підставляючи координати отриманої точки в рівняння (3), отримуємо Метод дотичних. Звідси, приходимо до висновку, що у загальному випадку формула методу дотичних матиме вигляд:

Зауваження: ітераційний процес методу дотичних необхідно продовжувати до тих пір поки модуль різниці між наступним і попереднім наближенням не стане меншим як завгодно малого наперед заданого числа (metod_dotichnuh19).

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом дотичних — приклад:

Використовуючи метод Ньютона знайти, з точністю розв'язок нелінійного рівняння на проміжку .

Отже, на першому кроці, визначимо першу та другу похідні заданої функції :

Після цього, перевіримо виконання умови збіжності на кінцях заданого інтервалу:

Виходячи з того, що умова збіжності виконується для обох кінців проміжку , то в якості початкового наближення візьмемо, наприклад, значення лівого кінця .

Далі, скориставшись формулою (4), знаходимо перше наближення до шуканого кореня:

Зважаючи на те, що для отриманого значення умова зупинки не виконується, переходимо до ітерації номер два, тобто, аналогічним чином підставляємо значення першого наближення у формулу (4), і, таким чином, отримуємо наступне наближення:

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом дотичних - Ітерація №1 та №2

Як видно, умова зупинки для другого наближення також не виконується, тому продовжуючи ітераційни процес методу Ньютона далі, на п'ятій ітерації отримаємо значення для якого умова зупинки виконується, і яке приймаємо в якості наближеного рішення нелінійного рівняння:

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом дотичних - Ітерації №3 - №5

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку нелінійного рівняння методом дотичних

Метод дотичних блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар