Застосування методу Крилова для знаходження власних векторів матриці
Метод Крилова, як і метод Данилевського, дає можливість достатньо просто знайти власні вектора матриці, якщо коефіцієнти характеристичного полінома та його коріння визначені. Продемонструємо це і для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний многочлен матриці
, має різні корені
.
Отже, нехай — вектори, використовувані в методі Крилова для знаходження коефіцієнтів
. Розкладаючи вектор
за власними векторами
матриці
отримаємо:
Де — деякі коефіцієнти.
Звідси, враховуючи, що , отримаємо:
Нехай, — довільна система многочленів. Тоді, складаючи лінійну комбінацію векторів
з коефіцієнтами з (3) та в силу співвідношень (1) і (2), знаходимо:
Якщо покласти , то очевидно:
Формула (4), при цьом, прийме наступного вигляду:
Де коефіцієнти можуть бути визначені за схемою Горнера:
Таким чином, формула (6), в якій коефіцієнти обчислюються за формулою (7), визначає власний вектор , що відповідає власному значенню
, з точністю до числового множника.
Пошук власних векторів матриці методом Крилова — приклад:
Використовуючи розрахункові формули методу Крилова, знайти власний вектор матриці , що відповідає власному значенню
.
Відмітимо, що для реалізації задуманого, нам знадобляться, використовувані у розрахункових формулах, значення координат векторів та значення коефіцієнтів характеристичного полінома
(більш детальну інформацію про те, яким чином вони відшукуються можна знайти перейшовши за вказаним вище посиланням метод Крилова):
Отже, скориставшись формулами (6) та (7) знайдемо власний вектор матриці , що відповідає власному значенню
.