Загальне рівняння прямої на площині

При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд , якщо пряма не паралельна осі , або , якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.

Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:

для якого розглянемо два можливих випадки:

1. Нехай . Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню . Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі  відрізок і утворює з віссю такий кут , для якого . Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої.
2. Нехай тепер . Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду . Відмітимо, що при цьому,  так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність . Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню . Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку . Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.

Звідси, можна зробити висновок, що твердження доведено. Відмітимо, що рівняння виду (1) називається загальним рівнянням прямої в декартовій системі координат. І для того, щоб перейти від рівняння виду (1) до рівняння з кутовим коефіцієнтом (при ), треба розв'язати його відносно невідомої .

Зауваження: загальне рівняння прямої i рівняння з кутовим коефіцієнтом є «стандартними» формами запису рівнянь прямої лінії, в яких вона задається або до яких зводяться інші рівняння прямої.

Далі, розглянемо деякі окремі випадки, коли один або кілька коефіцієнтів в загальному рівнянні прямої дорівнюють нулю, після чого, перейдемо до практичної частини. Отже:

1. . Такий випадок вже розглядався. Рівняння прямої приводиться до вигляду (4). Якщо при цьому , то пряма паралельна осі ординат. Якщо ж , то рівняння має вигляд , і пряма збігається з віссю ординат.
2. . Рівняння прямої приводиться до виду . Це є рівняння прямої, паралельної осі абсцис. Зокрема, при , отримуємо рівняння осі абсцис .
3. . Тоді рівняння прямої має вигляд . Легко перевірити, що дане рівняння задовольняє координати точки . Отже, пряма в цьому випадку проходить через початок координат.

Загальне рівняння прямої — приклад:

Побудувати пряму, рівняння якої задано у наступному вигляді: .

Побудова прямої заданої загальним рівнянням

Для побудови прямої у декартовій системе координат, заданої загальним рівнянням, необхідно знайти точки її перетину з осями координат и через ці дві точки провести пряму. Для цього в рівнянні достатньо покласти та . В першому випадку отримаємо точку перетину прямої з віссю , а в другому — з віссю . Давайте реалізуємо це:

Отже, пряма проходить через точки та .

Блок-схема алгоритму побудови загального рівняння прямої