Загальне рівняння прямої на площині
При розгляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ми бачили, що воно приймає вигляд , якщо пряма не паралельна осі
, або
, якщо паралельна осі ординат. Кожне з цих рівнянь є рівняння першої степені щодо поточних координат. Тому твердження про те, що рівняння прямої лінії в декартовій системі координат є рівнянням першої степені можна вважати доведеним.
Сьогодні покажемо, що має місце зворотнє твердження, а саме, будь-яке рівняння першої степені щодо поточних координат є рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння наступного вигляду:
для якого розглянемо два можливих випадки:
- Нехай
. Тоді рівняння (1) рівносильне рівнянню
. Розглянемо далі пряму, що відсікає на осі
відрізок
і утворює з віссю
такий кут
, для якого
. Для такої прямої рівняння (2) буде рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Це означає, що рівняння (2), а отже, і рівняння (1), є рівнянням прямої.
- Нехай тепер
. Тоді рівняння (1) прийме наступного вигляду
. Відмітимо, що при цьому,
так як інакше ми мали б не рівняння, а тотожність
. Тому рівняння (3) рівносильне рівнянню
. Але це рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі ординат і яка проходить через точку
. Тобто, рівняння (3) є рівносильне рівнянню (4), і його також можна приймати в якості рівняння цієї прямої.
Звідси, можна зробити висновок, що твердження доведено. Відмітимо, що рівняння виду (1) називається загальним рівнянням прямої в декартовій системі координат. І для того, щоб перейти від рівняння виду (1) до рівняння з кутовим коефіцієнтом (при ), треба розв'язати його відносно невідомої
.
Зауваження: загальне рівняння прямої i рівняння з кутовим коефіцієнтом є «стандартними» формами запису рівнянь прямої лінії, в яких вона задається або до яких зводяться інші рівняння прямої.
Далі, розглянемо деякі окремі випадки, коли один або кілька коефіцієнтів в загальному рівнянні прямої дорівнюють нулю, після чого, перейдемо до практичної частини. Отже:
. Такий випадок вже розглядався. Рівняння прямої приводиться до вигляду (4). Якщо при цьому
, то пряма паралельна осі ординат. Якщо ж
, то рівняння має вигляд
, і пряма збігається з віссю ординат.
. Рівняння прямої приводиться до виду
. Це є рівняння прямої, паралельної осі абсцис. Зокрема, при
, отримуємо рівняння осі абсцис
.
. Тоді рівняння прямої має вигляд
. Легко перевірити, що дане рівняння задовольняє координати точки
. Отже, пряма в цьому випадку проходить через початок координат.
Загальне рівняння прямої — приклад:
Побудувати пряму, рівняння якої задано у наступному вигляді: .
Побудова прямої заданої загальним рівнянням
Для побудови прямої у декартовій системе координат, заданої загальним рівнянням, необхідно знайти точки її перетину з осями координат и через ці дві точки провести пряму. Для цього в рівнянні достатньо покласти та
. В першому випадку отримаємо точку перетину прямої з віссю
, а в другому — з віссю
. Давайте реалізуємо це:
Отже, пряма проходить через точки та
.