Задача оберненого інтерполювання для випадку рівновіддалених вузлів

Нехай функція задана таблично. Задача оберненого інтерполювання полягає в тому, щоб по заданому значенню функції визначити відповідне значення аргумента . Розглянемо даний алгоритм більш детально, для випадок рівновіддалених вузлів, в якому зазвичай використовується метотод послідовних наближень.

Припустимо, що функція монотонна і її значення , для якого необхідно визначити значення аргументу міститься між та . Замінюючи функцію  першим інтерполяційним многочленом Ньютона, будемо мати:

звідси , де .

Далі, взявши за початкове наближення , для останнього рівняння застосуємо метод простої ітерації. В результаті отримаємо:

На практиці даний ітераційний процес продовжують до тих пір, поки модуль різниці між попереднім і наступним наближенням не стане меншим заданої точності, після чого покладають , де  — наближення отримане на останньому кроці. Після того, як значення величини відоме, переходимо до визначення значення аргумента . Для цього скористаємось наступними формулами:

Також слід зазначити, що ми застосовували метод ітерації для розвя'зку задачі оберненого інтерполювання, з використанням першої інтерполяційної формули Ньютона. Але абсолютно аналогічним чином, даний спосіб можна застосовувати і для інших інтерполяційних формул: другої інтерполяційної формули Ньютона, інтерполяційої формули Стірлінга, Бесселя та інших.

Задача оберненого інтерполювання — приклад:

Використовуючи значення функції задані в таблиці знайти значення  таке, що .

Таблиця фіксованих значень функції

Таблиця фіксованих значень функції

Виходячи з того, що для оберненого інтерполювання використовуємо першу інтерполяційну формулу Ньютона, то на першому кроці побудуємо таблицю скінченних різниць. Для даної задачі вона прийме наступний вигляд:

Таблиця скінченних різниць задачі

Таблиця скінченних різниць задачі

Після цього, поклавши , та використовуючи ітераційний процес (1), переходимо до обчислення  величини  з точністю :

Звідси поклавши , знаходимо шукане значення аргументу .

Блок-схема алгоритму ров'язку задачі оберненого інтерполювання:

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар