Задача комівояжера. Математична постановка задачі

Основна ідея задачі комівояжера полягає у наступному: комівояжер повинен проїхати n міст. Для того, щоб зменшити витрати, він повинен побудувати маршрут таким чином, щоб побувати в кожному місті по одному разу і повернутися у початкове.

Математична постановка задачі коміваяжера має наступний вигляд:

при обмеженнях:

 — обмеження на одноразовий виїзд з міста.

 — обмеження на одноразовий в'їзд в місто.

де  — матриця відстаней між усіма містами .

Якщо в моделі задачі обмежитися лише умовами (2) і (3), то вона буде еквівалентною задачі про призначення, план якої не обов'язково повинен бути циклічним. Тобто, маршрут комівояжера може розпастися на декілька незв'язних між собою циклів, тоді як насправді він повинен складатися з одного циклу. Щоб забезпечити цю вимогу введемо наступне обмеження:

Покажемо, що в довільному циклі, який починається в першому місті, можна знайти такі  та , які задовідьняють нерівність (4). Нехай на k-му кроці комівояжер переїзджає з міста i в місто j. І припустимо, що . Далі, на k+1-му кроці комівояжер буде вирушати з j-го міста в наступному напрямку, тоді  . Якщо підставити дані величини в (4), отримаємо:

Зауважимо, що дана нерівність виконується для будь-яких значень i та j при . Якщо ж , то нерівність (4) виконується як строга рівність:

Тобто, якщо комівояжер  пересувається  з i-го в j-те місто, то нерівність (4) фіксує порядкові номери цих міст.

Отже математична постановка задачі комівояжера полягає у мінімізації функції (1) при обмеженнях (2), (3) і (4).