Використання методу релаксації для знаходження розв'язку СЛАР

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:
Метод релаксації

Для того, щоб розв'язати систему (1) методом релаксації (даний метод, як і методи простої ітерації та метод Зейделя відносять до ітераційних чисельних методів) необхідно переписати систему у зручному для релаксації вигляді, а саме перенести вільні члени в ліву частину і кожне рівняння системи розділимо на діагональний елемент Метод релаксації. Тоді система (1) прийме наступний вигляд:

Метод релаксації

де Метод релаксації при Метод релаксації.

Після того, як ми отримали систему рівнянь (2) готову до релаксації, потрібно вибрати початкове наближення невідомих. Нехай це буде вектор Метод релаксації. Підставляючи їх в (2), отримаємо нев'язки:

Метод релаксації

Далі, на кожному кроці потрібно перетворити в нуль максимальну по модулю нев'язку Метод релаксації. А всі інші потрібно збільшити на виличину Метод релаксації, тобто:

Відмітимо, що даний процес необхідно продовжувати до тих пір поки на деякому кроці не отримаємо невязки, значення яких не досягнуть заданої точності, тобто Метод релаксації. В такому випадку в якості наближених значень шуканих коренів приймається сума всіх приростів отриманих на кожній ітерації методу.

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом релаксації — приклад:

Викристовуючи розглянутий алгоритм методу релаксації, знайти розв'язок наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з точністю :

На першому кроці, запишемо дану систему у зручному для релаксації вигляді, а саме у вигляді (2):

Після того, вибравши в якості початкового наближення до шуканого розв'язку вектор та скориставшись формулами (3), знаходимо вектор нев'язок :

Далі, провіряємо чи для даного вектора нев'язок виконується умова зупинки. Для цього, провіряємо виконання умови Метод релаксації бачимо, що значення модуля усіх елементів вектора  являються більшими від заданого значення (). Тому, будемо покращувати рішення з метою зменшення нев'язок . Для цього, вибираємо одну з них, яка має найбільше по модулю значення. В нашому випадку це буде . Приведемо її до нуля, шляхом зміни значення відповідної змінної на величину . Тоді , а невязки, що залишились, розрахуємо за формулою (4):

Далі, аналогічним чином, знаходимо максимальну по модулю невязку і відповідній невідомій дамо приріст . Тоді, , а невязки, що залишились знову таки, розрахуємо за формулою (4):

Продовжуючи даний процес далі, на 5-й іткрації отримаємо значення, для яких умова зупинки виконується, тобто ітераційний процес на цьому завершується.

metod_relaksacii43

Далі, як уже зазначалось вище,просумувавши прирости отримані на кожній ітерації, знайдемо наближені значення шуканих коренів:

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язоку системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом релаксації

Метод релаксації

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар