Використання інтерполяційних методів для ровз'язку нелінійних рівнянь

Ідея інтерполяційних методів полягає в тому, що задача знаходження коренів рівняння на проміжку , замінюється задачею знаходження коренів інтерполяційного полінома , побудованого для функції .

Розглянемо випадок, коли для  будується інтерполяційний поліном першого порядку  — інтерполяційний метод першого порядку. Припустимо, що нам відомі наближення і до кореня рівняння (1) (відмітимо, що в якості нульового і першого наближень зазвичай беруться наступні знаення або , де  — достатньо мале число). Вибравши їх в якості вузлів інтерполяції, побудуємо для функції  інтерполяційний поліном у формі Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

де  — розділена різниця першого порядку. Замінюючи в рівнянні (1) функцію  інтерполяційним поліномом (2), одержимо лінійне рівняння . Приймаючи його розв'язок за нове наближення, приходимо до інтерполяційного методу першого порядку:

Відмітимо, що процес знаходження розв'язку рівняння (1) згідно інтерполяційного методу першого порядку, як і будь-якого іншого методу рішення задач такого типу, необхідно продовжувати до тих пір, поки модуль різниці між двома сусідніми значеннями наближень не стане меншим за деяке число , тобто .

Геометрична інтерпретація розглянутого методу полягає в наступному. Через точки і , графіка функції , проводиться пряма, рівняння якої має вигляд:

Поклавши в даному рівнянні , знаходимо точку перетину цієї прямої з віссю , значення якої в точності збігається з , обчисленим за формулою (3). Завдяки такій геометричній інтерпретації інтерполяційний метод першого порядку можна розглядати як окремий випадок методу хорд.

Геометрична інтерпретація інтерполяційного методу першого порядку

Далі розглянемо формули інтерполяційного методу другого порядку. Для цього, припустимо що нам відомі наступні наближення до шуканого кореня рівняння (1): . Аналогічним чином, вибравши в якості вузлів інтерполяції дані значення побудуємо для  інтерполяційний поліном другого порядку, також у формі Ньютона:

Дотримуючись ідеї побудови інтерполяційних методів, для знаходження наближення  розглянемо рівняння , де

Розв'язавши дане рівняння, отримаємо два, можливо комплексних, кореня  і :

Серед отриманих значень, в якості наступного наближення вибирається те з них, яке ближче до  і значення якого міститься в заданому інтервалі .

Інтерполяційний метод другого порядку зручний тим, що дозволяє отримати комплексні корені рівняння (1), користуючись початковими наближеннями з дійсними значеннями. Відмітимо також, що виходячи з того, що процес знаходження нового наближення  полягає в знаходженні точок перетину параболи , що проходить через точки та  з віссю , то інтерполяційний метод другого порядку також називають методом парабол.

Інтерполяціонній метод другого порядку

Геометрична інтерпретація інтерполяційного методу другого порядку

Зауваження: в якості значень для початкового наближення в методі парабол, як і у випадку інтерполяційного методу першого порядку вибирають наступні значення:  або .

Інтерполяційний метод першого порядку — приклад:

Використовуючи інтерполяційний метод першого порядку, знайти корінь рівняння на проміжку з точністю . Для цього, вибравши в якості нульового та першого наближень значення , та підставивши їх у формулу (3), перейдемо до нового, другого, наближення:

Далі, виходячи з того, що для отриманого значення умова зупинки не виконується (), продовжуємо ітераційний процес далі, тобто, аналогічним чином підставляємо значення та у формулу (3), в результаті чого, отримуємо третє наближення, для якого, знову ж таки умова зупинки не виконується:

Продовжуючи даний процес далі, на дванадцятій ітерації отримаємо значення для якого умова зупинки виконується, і яке приймаємо в якості шуканого кореня заданого рівняння на заданому проміжку:

Інтерполяційний метод другого порядку — приклад:

Використовуючи інтерполяційний метод другого порядку, знайти корінь рівняння  на проміжку  з точністю . Для цього, аналогічно попередньому прикладу, вибравши в якості нульового, першого та другого наближень значення , та підставивши їх у формули (5), (6), будемо мати:

Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку ми отримали два комплексних кореня. Для зручності, скориставшись однією з найважливіших властивостей уявної одиниці, яка говорить про те, що в будь-якому виразі її можна замінити на , отримаємо:

Після цього, в якості наступного, третього, наближення, серед отриманих значень вибираємо те, яке є ближче до і міститься в інтервалі . В нашому випадку це буде значення кореня , тобто . Далі, виходячи з того, що для отриманого значення умова зупинки не виконується (), продовжуємо ітераційний процес далі, і на сьомій ітерації отримаємо значення для якого умова зупинки виконується, і яке приймаємо в якості шуканого кореня заданого рівняння на заданому проміжку:

Блок-схема алгоритму знаходження кореня нелінійного рівняння використовуючи інтерполяційний метод першого порядку

Блок-схема алгоритму знаходження кореня нелінійного рівняння використовуючи інтерполяційний метод другого порядку

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар