Види трикутників. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника

Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки — його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник , де  — вершини трикутника, і відрізки  — його сторони.

Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.

Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.

Отже, трикутник називають різностороннім, якщо всі його сторони мають різну довжину. Як видно з рисунка вище, виходячи з того, що , приходимо до висновку, що трикутник  — різносторонній.

Трикутник називають рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називають бічними сторонами і третю — основою рівнобедреного трикутника. У трикутнику , який зображено нижче, сторони являються бічними, а сторона  — основою.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним. На наступному малюнку зображено рівносторонній трикутник ().

Далі, розглянемо, яким чином класифікують трикутники за величиною кутів. Отже, трикутник називають тупокутним, якщо один з його кутів тупий. Відмітимо, що перший з зображених вище трикутників, крім того, що відноситься до типу різносторонніх, також і являється тупокутним (величина одиного з його кутів, а саме , є більшою за і меншою від ).

Трикутник називають прямокутним, якщо один з його кутів є прямим. У прямокутному трикутнику сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута — гіпотенузою. Зображений вище рівнобедрений трикутник , виходячи з того, що кут є прямокутним.

Трикутник називають гострокутним, якщо всі його кути є гострими. Рівносторонній трикутник  (останній з зображених трикутників) є гострокутним (величина кожного з його кутів більша від і менша за ).

Після того як з класифікацією розібрались, коротко розглянемо основні властивості елементів трикутника і на цьому, вивчення геометричної фігури такого типу, в даному параграфі, завершимо:

1. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін (дана властивість також відома як нерівність трикутника). Ця властивість виконується для будь-якого виду трикутників — рівнобедрених, рівносторонніх та інших. Нерівність трикутника є умовою існування трикутника.
2. Проти більшої сторони трикутника лежить більший його кут, і навпаки.
3. Проти рівних сторін трикутника лежать рівні кути, і навпаки. Зокрема, всі кути в рівносторонньому трикутнику рівні.
4. Сума кутів трикутника дорівнює . З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут в рівносторонньому трикутнику дорівнює .
5. Продовжуючи одну із сторін трикутника, наприклад, сторону , отримуємо зовнішній кут . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з ним, тобто .


Продовжуючи одну із сторін трикутника , отримуємо зовнішній кут

6. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
7. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині для будь-якого виду трикутників, дорівнює .

Задачі на трикутник — приклад:

В рівнобедренному трикутнику  сторони та рівні, а . Знайти .

Перейшовши до розв'язку, на першому кроці, позначимо величину кута через . Тоді, виходячи з того, що в рівнобедреному трикутнику, проти рівних сторін, лежать рівні кути, отримаємо: . Далі, скориставшись властивістю про суму кутів трикутника, знаходимо значення невідомої : . Звідси, шуканий кут трикутника дорівнює градусів ().

Блок-схема алгоритму перевірки існування трикутника