Види трикутників. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника

Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки — його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник , де  — вершини трикутника, і відрізки  — його сторони.

Різносторонній трикутник

Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.

Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.

Отже, трикутник називають різностороннім, якщо всі його сторони мають різну довжину. Як видно з рисунка вище, виходячи з того, що , приходимо до висновку, що трикутник  — різносторонній.

Трикутник називають рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називають бічними сторонами і третю — основою рівнобедреного трикутника. У трикутнику , який зображено нижче, сторони являються бічними, а сторона  — основою.

Рівнобедрений трикутник

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним. На наступному малюнку зображено рівносторонній трикутник ().

Рівносторонній трикутник

Далі, розглянемо, яким чином класифікують трикутники за величиною кутів. Отже, трикутник називають тупокутним, якщо один з його кутів тупий. Відмітимо, що перший з зображених вище трикутників, крім того, що відноситься до типу різносторонніх, також і являється тупокутним (величина одиного з його кутів, а саме , є більшою за і меншою від ).

Трикутник називають прямокутним, якщо один з його кутів є прямим. У прямокутному трикутнику сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута — гіпотенузою. Зображений вище рівнобедрений трикутник , виходячи з того, що кут є прямокутним.

Трикутник називають гострокутним, якщо всі його кути є гострими. Рівносторонній трикутник  (останній з зображених трикутників) є гострокутним (величина кожного з його кутів більша від і менша за ).

Після того як з класифікацією розібрались, коротко розглянемо основні властивості елементів трикутника і на цьому, вивчення геометричної фігури такого типу, в даному параграфі, завершимо:

1. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін (дана властивість також відома як нерівність трикутника). Ця властивість виконується для будь-якого виду трикутників — рівнобедрених, рівносторонніх та інших. Нерівність трикутника є умовою існування трикутника.
2. Проти більшої сторони трикутника лежить більший його кут, і навпаки.
3. Проти рівних сторін трикутника лежать рівні кути, і навпаки. Зокрема, всі кути в рівносторонньому трикутнику рівні.
4. Сума кутів трикутника дорівнює . З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут в рівносторонньому трикутнику дорівнює .
5. Продовжуючи одну із сторін трикутника, наприклад, сторону , отримуємо зовнішній кут . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з ним, тобто .



Зовнішній кут трикутника

6. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
7. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині для будь-якого виду трикутників, дорівнює .

Задачі на трикутник — приклад:

В рівнобедренному трикутнику  сторони та рівні, а . Знайти .

Трикутник ABC

Перейшовши до розв'язку, на першому кроці, позначимо величину кута через . Тоді, виходячи з того, що в рівнобедреному трикутнику, проти рівних сторін, лежать рівні кути, отримаємо: . Далі, скориставшись властивістю про суму кутів трикутника, знаходимо значення невідомої : . Звідси, шуканий кут трикутника дорівнює градусів ().

Блок-схема алгоритму перевірки існування трикутника