Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки – його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник , де
– вершини трикутника, і відрізки
– його сторони.
Різносторонній трикутник
Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.
Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.
Отже, трикутник називають різностороннім, якщо всі його сторони мають різну довжину. Як видно з рисунка вище, виходячи з того, що , приходимо до висновку, що трикутник
– різносторонній.
Трикутник називають рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називають бічними сторонами і третю – основою рівнобедреного трикутника. У трикутнику , який зображено нижче, сторони
являються бічними, а сторона
– основою.
Рівнобедрений трикутник
Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним. На наступному малюнку зображено рівносторонній трикутник (
).
Рівносторонній трикутник
Далі, розглянемо, яким чином класифікують трикутники за величиною кутів. Отже, трикутник називають тупокутним, якщо один з його кутів тупий. Відмітимо, що перший з зображених вище трикутників, крім того, що відноситься до типу різносторонніх, також і являється тупокутним (величина одиного з його кутів, а саме , є більшою за
і меншою від
).
Трикутник називають прямокутним, якщо один з його кутів є прямим. У прямокутному трикутнику сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою. Зображений вище рівнобедрений трикутник , виходячи з того, що кут
є прямокутним.
Трикутник називають гострокутним, якщо всі його кути є гострими. Рівносторонній трикутник (останній з зображених трикутників) є гострокутним (величина кожного з його кутів більша від
і менша за
).
Після того як з класифікацією розібрались, коротко розглянемо основні властивості елементів трикутника і на цьому, вивчення геометричної фігури такого типу, в даному параграфі, завершимо:
-
- У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін (дана властивість також відома як нерівність трикутника). Ця властивість виконується для будь-якого виду трикутників – рівнобедрених, рівносторонніх та інших. Нерівність трикутника є умовою існування трикутника.
- Проти більшої сторони трикутника лежить більший його кут, і навпаки.
- Проти рівних сторін трикутника лежать рівні кути, і навпаки. Зокрема, всі кути в рівносторонньому трикутнику рівні.
- Сума кутів трикутника дорівнює
. З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут в рівносторонньому трикутнику дорівнює
.
- Продовжуючи одну із сторін трикутника, наприклад, сторону
, отримуємо зовнішній кут
. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з ним, тобто
.
Зовнішній кут трикутника
- Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
- Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині для будь-якого виду трикутників, дорівнює
.
Задачі на трикутник – приклад:
В рівнобедренному трикутнику сторони
та
рівні, а
. Знайти
.
Трикутник ABC
Перейшовши до розв’язку, на першому кроці, позначимо величину кута через
. Тоді, виходячи з того, що в рівнобедреному трикутнику, проти рівних сторін, лежать рівні кути, отримаємо:
. Далі, скориставшись властивістю про суму кутів трикутника, знаходимо значення невідомої
:
. Звідси, шуканий кут трикутника дорівнює
градусів (
).