Властивості та сума членів геометричної прогресії
Як і у випадку з арифметичною прогресією, при розгляді задач пов'язаних з геометричною прогресією основними являються два питання. Перше з них полягає у знаходженні будь-якого члена прогресії . І друге — у знаходженні суму
членів прогресії. Виходячи з того, що відповідь на перше питання відома (обчислюється за формулою
), то, в даному параграфі, зосередимо свою увагу на виводі формули обчислення суми, але для початку, розглянемо та доведемо деякі властивості геометричної прогресії.
-
Кожен член знакододатної геометричній прогресії представляє собою середнє геометричне його сусідніх членів (виняток представляє перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).
Доведемо істенність даного твердження. Отже, для члена
, члени
і
будуть сусідніми. За означенням прогресії маємо:
. Звідси,
. Перемножимо ці рівності і візьмемо корінь квадратний з отриманого результату. В результаті будемо мати
, що і треба було довести.
-
У скінченній геометричній прогресії добуток членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють добутку крайніх членів.
Доведемо дане твердження також. Так само як і для арифметичної прогресії, на
-му місці від початку і від кінця геометричної прогресії, що має
членів, перебувають члени
і
відповідно. Скориставшись формулою загального члена прогресії, знайдемо добуток цих елементів. В результаті будемо мати:
. Звідси, виходячи з того, що
, отримаємо
, що і треба було довести.
Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної геометричній прогресії, що містить членів. Отже, позначивши цю суму через
, запишемо її вираз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів:
Помножимо обидві частини цієї рівності на знаменник геометричної прогресії :
Далі, виходячи з того, що , остання рівність перепишеться у наступному вигляді:
Віднімемо тепер з отриманої рівності вираз . В результаті будемо мати:
Звідси, знаходимо формулу для обчислення суми членів геометричної прогресії (відмітимо, що в даній формулі передбачається, що ):
Зауваження: якщо у формулі (1), замість члена підставити його вираз через
і знаменник
, то формула суми членів геометричної прогресії перепишеться в дещо іншому вигляді:
Властивості та сума членів геометричної прогресії — приклад 1:
Знайти суму семи членів геометричної прогресії, якщо її периший член і знаменник
.
Отже, скориставшись формулою (2) (для даного випадку являється більш підходящою), отримаємо розв'язок поставленої задачі:
Властивості та сума членів геометричної прогресії — приклад 2:
Три числа , в зазначеному порядку, утворюють спадну геометричну прогресію, причому, приймається що жодне з цих чисел не дорівнює нулю. Знайти значення невідомої
та знаменник заданої прогресії.
Для цього, скориставшись першою з розглянутих вище властивостей, отримаємо:
Тобто, в результаті виконання даного кроку, поставлена задача зводиться до розв'язку квадратного рівняння, яке має два корені. Перевіримо, який з цих коренів є рішенням задачі. Отже, якщо , то виходить геометрична прогресія
з знаменником
. Якщо
, то виходить прогресія
з знаменником
. Звідси,
і
.
Властивості та сума членів геометричної прогресії — приклад 3:
Знайти десятий член геометричної прогресії, у якої і
.
Для цього, на першому кроці, скориставшись формуло загального члена геометричної прогресії, будемо мати: або
. З іншого боку, скориставшись формулою (2), що міститься вище, отримаємо наступне:
Але, як нам відомо . Підставивши цей вираз в останню рівність, визначаємо знаменник заданої геометричної прогресії:
Далі, знаючи та
, легко знаходимо необхідний член геометричної прогресії:
.