Власні значення та власні вектори матриці. Метод розкриття характеристичного визначника

Власними значеннями матриці Власні значення матриці називають такі величини metod_rozkryttja_harakterystychnogo_mnogochlena2, які є коренями рівняння Власні значення матриці або Власні значення матриці. Звідси, якщо Власні значення матриці, попереднє рівняння перепишемо у наступному вигляді Власні значення матриці. Якщо даний визначник розкрити відносно metod_rozkryttja_harakterystychnogo_mnogochlena2, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці Власні значення матриці у вигляді полінома степені Власні значення матриці відносно власних значень:

Власні значення матриці

де Власні значення матриці — сума всіх діагональніх мінорів першого порядку матриці Власні значення матриці; Власні значення матриці — сума всіх діагональних мінорів другого порядку матриці Власні значення матриці; Власні значення матриці — сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці Власні значення матриці;...; Власні значення матриці — детермінант матриці Власні значення матриці.

Власні значення матриці

Проте, практична реалізація цього за суттю простого підходу пов'язана з низкою труднощів, що зростають зі збільшенням розмірності розв'язуваної задачі. Ці труднощі зумовлені розагортанням характеристичного визначника Власні значення матриці та знаходження його коефіцієнтів Власні значення матриці, яке вимагає обчислення великої кількості діагональних мінорів. Тобто, легко переконатись, що обчислення діагональних мінорів Власні значення матриці-го порядку матриці Власні значення матриці дорівнює:

Власні значення матриці

Звідси випливає, що процес обчислення коефіцієнтів характеристичного многочлена вимагає знаходження Власні значення матриці визначників різних порядків. Тому з огляду на це такий безпосередній підхід до розв'язування алгебраїчної проблеми власних значень застосовують лише за малих розмірностей матриці Власні значення матриці. А вже при Власні значення матриці, на перший план виходять спеціальні чисельні методи розв'язування таких задач.

Блок-схема програмної реалізації методу розкриття характеристичного многочлена для знаходження власних значень матриць, розмірність яких не перевищує 3:

Власні значення матриці

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар