Транспортна задача лінійного програмування

Під назвою транспортна задача поєднується широке коло задач з єдиною математичною моделлю. Дані задачі відносяться до класу задач лінійного програмування і тому можуть бути вирішені відомим симплексним методом. Однак, звичайна транспортна задача має велике число змінних і розв'язання її симплексним методом може виявитись знадто громіздким. З іншого боку матриця системи обмежень транспортної задачі вельми своєрідна, тому для її рішення розроблені спеціальні методи. Ці методи, як і симплексний метод, дозволяють знайти початкове опорне рішення, а потім, поліпшуючи його, отримати послідовність опорних рішень, яка завершується оптимальним рішенням.

Перш ніж перейти до розгляду основних методів розв'язання транспортної задачі, визначимо принципи її формулювання. Отже, нехай маємо  пунктів відправлення вантажів (постачальників) , на яких зосереджені запаси якого-небудь однорідного вантажу в обсягах  одиниць відповідно. Величини , при цьому, визначають максимально можливі розміри вивозу вантажу з пунктів відправлення. Сумарний запас вантажу у постачальників становить одиниць. Крім того, є  пунктів призначення (споживачів) , які подали заявки на поставку вантажу в обсягах  одиниць. Сумарна величина заявок становить . Вартість перевезення однієї одиниці вантажу від постачальника  до споживача  подані як лементи матриці (транспортні тарифи):

Тоді транспортна задача формудіруется наступним чином: необхідно скласти оптимальний план перевезень, тобто знайти такі значення об'єму перевезень , щоб вивести всі вантажі від постачальників, задовольнити заявки всіх споживачів і забезпечити мінімальні транспортні витрати на перевезення вантажу. Зазначимо, що для зручності, умову транспортної задачі, зазвичай, подають у вигляді настуної таблиці:

Представлення транспортної задачі у вигляді таблиці

В даному випадку математична модель транспортної задачі полягає в мінімізації функції:

при умовах:

Будь-яке невід'ємне рішення системи лінійних рівнянь (2), (3), яке визначається матрицею , називається планом перевезень транспортної задачі. План перевезень, що має не більше відмінних від нуля змінних , називається опорним. Якщо число відмінних від нуля компонент в опорному плані, в точності, дорівнює , то план перевезень називається невироджених, якщо менше цього числа, то виродженим.

План перевезень , при якому функція (1) приймає своє мінімальне значення, називається оптимальним планом транспортної задачі.

На практиці при перевезенні вантажів можуть виникати такі ситуації:

  1. Кількість одиниць вантажу у постачальників відповідає заявками або попиту з боку споживачів:

    Така транспортна задача є збалансованою, а модель транспортної задачі — закритою. Математична модель такої задачі записується у вигляді (1) — (4).

  2. Кількість вантажу у всіх постачальників більше, ніж потреб в цьому вантажі у споживачів:

    Зазначимо, що в даному випадку, частина вантажу у постачальників залишається в залишку, а споживачі отримують весь необхідний вантаж. Математична модель транспортної задачі такого типу буде мати вигляд:

  3. Кількість вантажу у всіх постачальників менша за потреби в даному вантажі у всіх споживачів:

    У цьому випадку кожен постачальник весь свій вантаж вивезе, а частина споживачів отримає вантаж менше необхідної кількості. Тоді модель транспортної задачі буде мати вигляд:

Зазначимо, що математичні моделі (7) та (9) називаються відкритими, а відповідні їм задачі — незбалансованими. В даному випадку, їх необхідно звести до закритого типу. У разі перевищення загального попиту над запасами (випадок 3) це здійснюється введенням фіктивного (умовного) постачальника  з ресурсним запасом:

Якщо ж загальні запаси постачальників перевищують попит споживачів (випадок 2), то до закритого типу задача зводиться введенням фіктивного (умовного) споживача з потребами:

Вартість перевезення одиниці продукції від фіктивного постачальника (або фіктивного споживача) до кожного зі споживачів (постачальника), при цьому, має дорівнювати нулю або бути набагато більшою за реальні витрати.

Математична модель транспортної задачі — приклад:

Заводи деякої автомобільної фірми (постачальники) розташовані в містах . Основні центри розподілу продукції (споживачі) зосереджені в містах . Обсяг виробництва зазначених трьох заводів дорівнює автомобілів щоквартально. Величини квартального попиту в центрах розподілу становлять  автомобілів відповідно. Вартість перевезення автомобілів по кожному з можливих маршрутів подані як елементи матриці :

Побудувати математичну модель транспортної задачі, яка б дозволила визначити кількість автомобілів, що перевозяться з кожного заводу в кожен центр розподілу, таким чином, щоб загальні транспортні витрати були мінімальні.

Отже, як видно з розгляду вихідних даних задачі, сумарне виробництво автомобілів становить одиниць за квартал, а сумарна потреба всіх пунктів розподілу становить одиниць відповідно. Звідси, розглядувана транспортна задача являється незбалансованою (попит на автомобілі перевищує обсяг їх виробництва). Для встановлення балансу введемо додатковий фіктивний завод з щоквартальним обсягом виробництва автомобілів щоквартально. Фіктивні тарифи та , при цьому, прирівняємо до нуля (так як перевезення в дійсності здійснюватися не будуть).

Далі, позначимо кількість автомобілів, що перевозяться з -го заводу в -й центр розподілу через  і, для зручності, представимо умову задачі у вигляді транспортної таблиці. Згідно з результатами перевірки збалансованості, в даній таблиці має бути чотири рядки, які відповідають заводам і два стовпці, які відповідають центрам розподілу.

Транспортна таблиця задачі

Звідси, математична модель даної задачі полягає у мінімізації цільової функції (визначає сумарні витрати в грошових одиницях на щоквартальне перевезення автомобілів):

невідомі величини якої повинні задовольняти наступним обмеженням:

Зазначимо, що, при цьому, перша група обмежень (обмежуючі умови для постачальників), кількість яких дорівнює 4, відображає той факт, що всі виготовлені автомобілі кожного заводу повинні бути повністю вивезені. І друга група — кількість яких дорівнює 2, відображає той факт, що потреба в автомобілях кожного центру розподілу повинна бути повністю задоволена.

Також математичну модель слід доповнити умовою невід'ємності змінних:

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар